1.3 古典概率
1.3.1 古典概率的定义
引例 掷一颗质地均匀的骰子，考察ei=“出现i点”（i=1，2，…，6），A=“出现偶数点”，B=“出现的点数大于2”这三个事件出现的概率.
由于骰子是均质的，所以出现每种点数的可能性相同，即
事件A={e2，e4，e6}中包含三个基本事件，所以认为
在这个例子中，事件的概率所以能够很容易求出来，是因为试验具有两个特点：
（1）随机试验只有有限个可能的结果，只有6个；
（2）每一个结果发生的可能性大小相同，都是
.
这样一类随机试验是一类最简单的概率模型，它曾经是概率论发展初期主要的研究对象.
定义1.2 设E为一随机试验，若其满足下列两个条件：
（1）随机试验只有有限个可能的结果（有限性）；
（2）每一个结果发生的可能性大小相同（等可能性）.
则称该随机试验E为古典概型的试验，简称为古典概型. 在古典概型中，事件A的概率定义为
称此概率为古典概率. 这种研究概率的方法称为古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题.
显然，古典概率满足概率的三条公理，它是公理化定义的特例.
1.3.2 古典概率的计算举例
利用古典概率求解问题的关键步骤是：
（1）确定该随机试验的基本事件和样本空间；
（2）确认其样本空间是由有限个等可能的基本事件组成；
（3）数清基本事件总数与所关心事件中基本事件个数，代入公式求出概率.
例1.8 抛两枚质地均匀硬币，求出现正面反面各一个的概率.
解 样本空间
S={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}
由硬币的均匀性知4个样本点是等可能的，所以是古典概型.
事件
A=“正面反面各一个”={（正，反），（反，正）}
含两个样本点，故由式（1.12）得
历史上曾有人认为此题的解是1/3，理由是样本空间由e1=“两个正面”，e2=“一个正面一个反面”，e3=“两个反面”三个基本事件组成，这样做的错误在于这三个基本事件不是等可能的.
例1.9 将标号为1，2，3，4的四个球随意地排成一行，求下列各事件的概率：
（1）A=“各球自左至右或自右至左恰好排成1，2，3，4的顺序”；
（2）B=“第1号球排在最右边或最左边”；
（3）C=“第1号球与第2号球相邻”；
（4）D=“第1号球排在第2号球的右边（不一定相邻）”.
解 将4个球随意地排成一行有4！=24种排法，即基本事件总数为24.
（1）A中有两种排法，故有
（2）B中有2×（3！）=12种排法，故有
（3）先将第1，2号球排在任意相邻两个位置，共有2×3种排法，其余两个球可在其余两个位置任意排放，共有2！种排法，因而C有2×3×2=12种排法，故
（4）第1号球排在第2号球的右边的每一种排法，交换第1号球和第2号球的位置便对应于第1号球排在第2号球的左边的第一种排法，反之亦然. 因而第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同，各占总排法数的1/2，故有
例1.10 一个袋子中装有10个大小相同的球，其中3个黑球，7个白球，求
（1）从袋子中任取一球，这个球是黑球的概率；
（2）从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.
解 （1）设事件A=“取到的球为黑球”. 10个球中任取一个，共有
种. 从而根据古典概率计算
（2）记B=“刚好取到一个白球一个黑球”，C=“两个球均为黑球”，10球中任取两球的取法有
种，其中刚好一个白球，一个黑球的取法有
种取法，两个球均是黑球的取法有
种，则
例1.11 一个袋子中装有a个黑球，b个白球，随意的每次从中取出一个球（不放回），求下列各事件的概率：
（1）第i次取到的是黑球；
（2）第i次才取到黑球.
解 因为所考虑的事件涉及取球的次序，基本事件也应考察顺序，（a+b）次取球的总取法为（a+b）！，（1），（2）中的事件分别为A，B.
（1）第i次取到的黑球可以是a个黑球中任意一个，取出一个后，各次取球必在a+b-1个球中任意选取，共有（a+b-1）！种选法，A中包含的取法有a·[（a+b-1）！]种，故
（2）第i次才取到的黑球可以是a个黑球中的任意一个，第1到第i-1是在b个白球中任选i-1个（共有
种取法），其他各次在剩下的a+b-i个球中任意选取（共有（a+b-i）！），于是B所含的总取法为
，故
例1.12 有M个盒子和n个球（M>n），每个盒子可以装任意多个球，每个球以相同的概率落到每个盒子中，今将球随意的放入盒子中，求下列事件的概率：
A=“某指定的n个盒子中各有一球”；
B=“恰有n个盒子中各有一球”；
C=“某指定的一个盒子中有k个球”.
解 n个球放入到M个盒子中的一种放法是一个基本事件，因为每个盒子可以装任意多个球，所以每个球都有M种放法，即#（S）=Mn
例1.13 从52张扑克牌中取出13张牌，求有5张黑桃、3张红心、3张方块、2张草花的概率？
解 设A=“13张牌中有5张黑桃、3张红心、3张方块、2张草花”，则
例1.14 在电话号码簿中任取一个号码（电话号码由7个数字组成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？
解 设A=“取到的号码由完全不同的数字组成”，则
这个问题也可以看成摸球问题，将这10个数字看成10个球，从中有放回地取7次，要求7次取得的号码都不相同.
例1.15 在1～2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？
解 设A=“取到的数能被6整除”，B=“取到的数能被8整除”，则所求概率为
由
得
由
得
又由于一个数同时能被6与8整除，就相当于能被24整除.
因此，由
得
于是所求概率为
