1.4 几何概率与统计概率

古典概率定义是在样本空间的基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相等的条件下给出的，对于样本空间为无穷多个的情况，古典概率的定义就不适用了. 本节我们介绍两种在样本空间的基本事件为无穷多个下的概率定义.

1.4.1 几何概率

首先我们研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等可能随机试验的概率模型——几何模型.

定义1.3　向区域S上随机投掷一点，该点落入S内任何子区域A上（该事件仍记为A）的可能性只与区域A的度量（长度、面积、体积等）L（A）成正比，而与区域A的位置和形状无关（图1.9），这一实验称为几何概型，在几何概型中事件A的概率定义为

如果问题可以化为向某个区域上投质点，求质点落入其某个子域上的概率，就可以用几何概型.

例1.16　某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每个整点报时一次，求他等待时间短于10分钟的概率.

解　以分钟为单位，记上一次报时到下一次报时的间隔时间为60，于是这个人打开收音机的时间必在（0，60）内，记A=“等待时间短于10分钟”，则

S=（0，60），L（S）=60，A=（50，60）⊂S，L（A）=10

于是.

例1.17（会面问题）　甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候后者20分钟，过时就离开. 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达，试计算两人能够会面的概率.

解　记7点为计算时刻的0时，以分钟为单位，x、y分别记甲、乙到达指定地点的时刻，如图1.10所示，则样本空间为

S={（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}

以A表示事件“两人能会面”，则显然有

A={（x，y）|（x，y）∈S，|x-y|≤20}

根据题意，这是一个几何概型问题，于是

1.4.2 统计概率

古典概率和几何概率都是以等可能性为基础的，有很大的局限性. 实际中有很多试验，它们试验的结果不具备等可能性，古典概率和几何概率就不适用了，为了描述一般试验中事件出现的可能性，我们引入统计概率的定义.

首先，我们分析一下掷硬币试验的例子，我们把部分试验者的试验结果列于表1.2中.

由上表可见，随着试验次数的增加，比值逐渐稳定在0.5附近，即0.5可以描述掷一枚硬币，正面出现的可能性，可以认为正面出现的概率为0.5.

定义1.4　在相同条件下重复进行n次试验，其中事件A发生的次数为nA次，则称fn（A）=为事件A发生的频率.

易见，频率具有下述基本性质：

（3）若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则

定义1.5　在相同条件下重复进行n次试验，若事件A发生的频率随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数p（0≤p≤1）附近摆动，则称p为事件A的统计概率，记为P（A）.

频率的稳定值是概率的外在表现，并非概率的本质. 据此确定某事件的概率是困难的，但当进行大量重复试验时，频率会接近稳定值，因此，在实际应用时，往往是用试验次数足够大的频率来估计概率的大小，且随着试验次数的增加，估计的精度会越来越高.

显然，几何概率和统计概率都满足概率的三条公理.

例1.18　从某鱼池中捞取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中. 待充分游开后从该池中任意捉来40条鱼，发现其中两条有记号，问池内大约有多少条鱼？

解　设池内有n条鱼，则从池中捉到一条有记号鱼的概率为，它近似于捉到有记号鱼的频率，即，n=2000，故池内大约有2000条鱼.