1.2 随机事件的概率

在一个随机试验中，往往有多个随机事件，有些事件出现的可能性大些，有些出现的可能性小些. 事件出现的可能性大小是客观存在的，它揭示了随机现象的内在规律性.

为了研究事件发生的可能性，就需要用一个数字来描述这种可能性的大小. 我们称描述一个事件出现的可能性大小的实数为该事件的概率. 事件A，B，C，…的概率分别用P（A），P（B），P（C），…表示.

对于随机试验，给定的事件A发生的概率P（A）到底是一个什么数？怎样能求出这个数？本节我们就来讨论这些问题.

1.2.1 概率的公理化定义

任何一个数学概念都是对现实世界的抽象，这种抽象使得其具有广泛的适用性. 从概率论有关问题的研究算起，经过近三个世纪的漫长探索历程，人们才真正完整地解决了概率的严格数学定义. 1933年，前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫，在他的《概率论的基本概念》一书中给出了现在已被广泛接受的概率公理化体系，第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.

定义1.1　设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋于一个实数，记为P（A），若P（A）满足下列三个条件（称为概率的三条公理）：

（1）非负性：对每一个事件A，有

（2）规范性：对于必然事件S，有

（3）可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即若i≠j，则AiAj=ø，i，j=1，2，…，有

则称P（A）为事件A的概率.

1.2.2 概率的性质

性质1

证　令An=ø（n=1，2，…），则，且AiAj=ø，i≠j，i，j=1，2，…，由概率的可列可加性得

由概率的非负性知，P（ø）≥0，故由上式知P（ø）=0.

性质2（有限可加性）　若A1，A2，…，An是两两互不相容的n个事件，则有

上式称为概率的有限可加性.

证　令An+1=An+2=…=ø，即有i≠j，AiAj=ø，i，j=1，2，…，则有

性质3（减法公式）　设A、B是两个事件，则有

特别地，若A⊂B，则P（B-A）=P（B）-P（A），从而P（B）≥P（A）.

证　B=AB∪（B-A），且AB∩（B-A）=ø，再由概率的有限可加性，得

P（B）=P（AB）+P（B-A）

故

P（B-A）=P（B）-P（AB）

若A⊂B，则A∩B=A，由减法公式得

P（B-A）=P（B）-P（A）

又由概率的非负性，P（B-A）≥0知

P（B）≥P（A）

性质4　对于任一事件A，

证　因A⊂S，由性质3得

P（A）≤P（S）=1

性质5（逆事件的概率）　对于任一事件A，有

证　因，且，得

性质6（加法公式）　设A1，A2，…，An为任意的n个事件，则

特别地，对于任意两事件A，B，有

对于三个事件A，B，C，有

证（仅证两个事件的情况）　因

A∪B=A∪（B-AB）

且

A（B-AB）=ø，AB⊂B

故

P（A∪B）=P（A）+P（B-AB）=P（A）+P（B）-P（AB）

例1.5　已知，P（B）=0.4，求

（1）P（AB）；（2）P（A-B）；（3）P（A∪B）；（4）.

解　（1）因为，且AB与是不相容的，故有

于是

例1.6　已知P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，P（B-A）=0.2，求

解　由P（A-B）=P（A）-P（AB）=0.7-P（AB）=0.3得

P（AB）=0.4

故

例1.7　设AB⊂C，试证明P（A）+P（B）-P（C）≤1.

证　由AB⊂C，所以

P（C）≥P（AB）=P（A）+P（B）-P（A+B）

又由

P（A+B）≤1

得

P（C）≥P（A）+P（B）-P（A+B）≥P（A）+P（B）-1

整理得

P（A）+P（B）-P（C）≤1

一般来说，对于一个随机试验E，要定义其中事件的概率并不容易，只有某些特殊的情况下，定义概率比较容易，下面就介绍三种特殊的概型.