3.7 T趋于零或σ趋于∞时合格率

有两个问题需要在此进行讨论：一个是T趋于零时合格率趋于什么？另一个是σ趋于无穷大时合格率趋于什么？我们先看第一个问题。

T趋于零时合格率趋于什么？

有人说：“当T趋于零时，即dT无穷小时，合格率趋于正态分布曲线的最大值，而不是趋于零。”

在回答该问题之前，让我们回顾一下高中学过的无穷小概念。所谓无穷小就是“要多小，有多小”或“小得不能再小”。无穷小有一个性质，即“有界函数乘以无穷小还是无穷小”，基于此性质的一个推论是：常数乘以无穷小还是无穷小。无穷小是以零为极限的变量，除了“零”这个唯一的数外，任何很小很小的数都不能称其为无穷小。例如，10 -10000，只要能把它写出来，哪怕1后面的0再多——把零写到英国，尽管它很小，但都不能说它是无穷小。

现在，我们用变量y表示合格率（英文合格率“yield”的第一个字母）。对于过程的技术要求[TL, TU]，则服从正态分布的曲线落在区间[TL, TU]内的合格率为，见图3-9。

图3-9 T→0时合格率趋于什么

假设TL固定不变，而TU是变动的（这样做是为了考察各种不同的技术要求，但读者一定要清楚，技术要求一旦给定，天崩地裂都不会改变，除非标准或顾客要求发生了改变），则合格率y是变量TU的函数，即。当TU→TL时，，则y（TU）→0，即y（TU）当TU→TL时以零为极限，则y（TU）是当TU→TL时的无穷小量，简称无穷小。

既然y（TU）是当TU→TL时的无穷小，那么当TU→TL时的合格率y（TU）就不是一个能够说得出来的很小很小的数，那它是什么呢？它以零为极限或者说当TU→TL时，极限为零。

在上述讨论中，TL值被固定在任何位置上，上述讨论结果不变；类似地若把TU值固定且无论固定在什么位置上，而把TL当作变量向右移动无限接近TU，上述结论仍不变。

还有一种方法也能得出上述结论。我们知道连续型随机变量X（服从正态分布）的概率密度函数为, -∞ ＜x＜+∞。当x=μ时概率密度函数的极值为，矩形的面积（用变量A表示，Area），见图3-10。

图3-10 T→0时矩形面积趋于什么

显然，正态分布曲线落在区间[TL, TU]内的合格率小于矩形面积A。由于是一个关于σ的有界函数（无论σ是多大，只要能将其写出来，它都是有界的），而当T→0时，TU-TL→0，所以矩形面积是一个有界函数乘以无穷小。根据无穷小的性质，当T→0时，矩形面积A是一个无穷小。因此正态分布曲线落在区间[TL, TU]内的面积（比矩形面积还小）也是无穷小。即正态分布曲线落在区间[TL, TU]内的面积是当T→0时的无穷小。也就是说，当T→0时区间[TL, TU]内的面积趋于零。

以上我们得出结论：当T趋于零时，合格率趋于零。并非“趋于正态分布曲线的最大值”。

σ趋于∞时合格率趋于什么？

现在我们来看，σ趋于∞时合格率趋于什么。

标准差σ的大小影响正态分布曲线的形状。当σ变小，曲线变得高大和瘦小；当σ变大，曲线变得矮小和扁平。正态分布概率密度函数的最大值是（当X=μ时），当σ→∞，该最大值→0。既然正态分布概率密度函数的最大值都趋于零，那么当σ→∞时，技术公差范围[TL, TU]内的任意一点的函数值也一定趋于零（图略）。由于无论TU和TL如何变化，T=TU-TL都是一个有界函数，所以此时的合格率是有界函数乘以无穷小。根据无穷小性质，此时合格率趋于零。

由此我们得出结论：当σ趋于∞时合格率趋于零。