1.2 数字分类：从复数到自然数
本节介绍数字分类，介绍的数字类型如图1.6所示。
图1.6 数字分类
复数
复数（complex number）包括实数（real numbers）和虚数（imaginary number）。复数集（the set of complex numbers）的记号为
。
集合（set），简称集，是指具有某种特定性质元素（element）的总体。通俗地讲，集合就是一堆东西构成的整体。因此，复数集是所有复数构成的总体。
复数的具体形式为
其中：a和b是实数。
式（1.1）中，i是虚数单位（imaginary unit），i的平方等于-1，即
笛卡儿（René Descartes）最先提出虚数这个概念。而后，欧拉（Leonhard Euler）和高斯（Carl Friedrich Gauss）等人对虚数做了深入研究。注意，根据ISO标准叙述单位i为正体，即非斜体。
有意思的是，不经意间，式（1.1）中便使用a和b来代表实数。用抽象字母来代表具体数值是代数的基础。代数（algebra）的研究对象不仅是数字，还包括各种抽象化的结构。
实数
实数集（the set of real numbers）记号为
。实数包括有理数（rational numbers）和无理数（irrational numbers）。
式（1.1）中，b=0时，得到的便是实数。如图1.7所示，实数集合可以用实数轴（real number line或real line）来展示。
图1.7 实数轴
数轴和坐标系的发明让代数和几何前所未有地结合在了一起，这是本书第5、6章要介绍的内容。
无意之间，我们又用到了解析几何中重要的工具之一——数轴（number line）。图1.7这看似平凡无奇的一根数轴，实际上是人类的一个伟大发明创造。
数轴描述一维空间，两根垂直并相交于原点的数轴可以张成二维直角坐标系，即笛卡儿坐标系（Cartesian coordinate system）。在二维直角坐标系原点处升起一根垂直于平面的数轴，便张成了三维直角坐标系。
目前，数学被分割成一个个板块——算数、代数、几何、解析几何、线性代数、概率统计等。这种安排虽然有利于特定类别的数学工具学习，但是板块之间的联系被人为割裂。本书的重要任务之一就是强化各个板块之间的联系，让大家看见“森林”，而不是一棵棵“树”。
有理数
有理数集合用
表示，有理数可以表达为两个整数的商（quotient of two integers），形如
其中：a为分子（numerator）；b为分母（denominator）。式（1.3）中分母不为零（The denominator is not equal to zero）。
有理数可以表达为有限小数（finite decimal或terminating decimal）或者无限循环小数（repeating decimal或recurring decimal）。小数中的圆点叫作小数点（decimal separator）。
无理数
图1.7所示的实数轴上除有理数以外，都是无理数。无理数不能用一个整数或两个整数的商来表示。无理数也叫无限不循环小数（non-repeating decimal）。
很多重要的数值都是无理数，如图1.7所示数轴上的圆周率π（pi）、
（the square root of two）、自然常数e（exponential constant）和黄金分割比（golden ratio）等。自然常数e也叫欧拉数（Euler’s number）。
执行Bk3_Ch1_01.py代码，可以打印出π、e和
的精确值。代码使用了math库中函数，math库是Python提供的内置数学函数库。
打印结果如下：
pi = 3.141592653589793
e = 2.718281828459045
sqrt(2) = 1.4142135623730951
下面，我们做一个有趣的实验——打印圆周率和自然常数e小数点后1,000位数字。图1.8所示为圆周率小数点后1,000位，图1.9所示采用热图的形式展示圆周率小数点后1,024位。图1.10所示为自然常数e小数点后1,000位。
中国古代南北朝时期数学家祖冲之（429—500）曾刷新圆周率估算纪录。他估算圆周率在3.1415926到3.1415927之间，这一记录在之后的约1,000年内无人撼动。圆周率的估算是本书的一条重要线索，我们将追随前人足迹，用不同的数学工具估算圆周率。
图1.8 圆周率小数点后1,000位
图1.9 圆周率小数点后1,024位热图
图1.10 自然常数e小数点后1,000位
Bk3_Ch1_02.py打印圆周率、
和自然常数e，小数点后1,000位数字。mpmath是一个任意精度浮点运算库。
目前，背诵pi小数点后最多位数的吉尼斯世界纪录是70,000位。该纪录由印度人在2015年创造，用时近10小时。这一纪录需要背诵的数字量是图1.8所示的70倍，感兴趣的读者可以修改代码获取，并打印保存这些数字。计算取决于个人计算机的算力，这一过程可能要用时很久。
观察图1.8所示的圆周率小数点后1,000位数字，可以发现0~9这十个数字反复随机出现。这里，“随机（random）”是指偶然、随意、无法预测，《统计至简》将会大量使用“随机”这个概念。
大家能否凭直觉猜一下哪个数字出现的次数最多？圆周率小数点后10,000位、100,000位，乃至1,000,000位，0~9这十个数字出现的次数又会怎样？
答案就在Streamlit_Bk3_Ch1_02.py文件中。我们用Streamlit创作了一个数学动画App展示圆周率小数点后0~9这十个数出现的次数。
整数
整数（integers）包括正整数（positive integers）、负整数（negative integers）和零（zero）。正整数大于零（greater than zero）；负整数小于零（less than zero）。整数集用
表示。
整数的重要性质之一是——整数相加、相减或相乘的结果还是整数。
奇偶性（parity）是整数另外一个重要性质。能被2整除的整数称为偶数（an integer is called an even integer if it is divisible by two）；否则，该整数为奇数（the integer is odd）。
利用以上原理，我们可以写一段Python代码，判断数字奇偶性。请大家参考Bk3_Ch1_03.py。代码中，%用于求余数。
自然数
自然数（natural number或counting number）有时指的是正整数，有时指的是非负整数（nonnegative integer），这时自然数集合包括“0”。“0”是否属于自然数尚未达成一致意见。
至此，我们回顾了常见数字类型。表1.1中总结了数字类型并给出了例子。
表1.1 不同种类数字及举例
