1.1 数字和运算：人类思想的伟大飞跃
数字，就是人类思想的空气，无处不在，不可或缺。
大家不妨停止阅读，用一分钟时间，看看自己身边哪里存在数字。
举目四望，你会发现，键盘上有数字，书本上印着数字，手机上显示数字，交易媒介充满了数字，食品有卡路里数值，时钟上的数字提醒我们时间，购物扫码本质上也是数字。一串串手机号码让人们联通，身份编号是我们的个体标签……
当下，数字已经融合到人类生活的方方面面。多数时候，数字像是空气，我们认为它理所应当，甚至忽略了它的存在。
数字是万物的绝对尺度，数字更是一种高阶的思维方式。远古时期，不同地域、不同族群的人类突然意识到，2只鸡、2只兔、2头猪，有一个共性，那就是——2。
2和更多数字，以及它们之间的加、减、乘、除和更多复杂运算被抽象出来，这是人类思想的一次伟大飞跃，如图1.1所示。
数字这一宝贵的人类遗产，在不同地区、不同种族之间薪火相传。
5000年前，古巴比伦人将各种数学计算，如倒数、平方、立方等刻在泥板上，如图1.2所示。古埃及则是将大量数学知识记录在纸草上。
图1.1 数字是人类抽象思维活动的产物
图1.2 古巴比伦泥板（图片来自Wikipedia）
古巴比伦采用六十进制。不谋而合的是，中国自古便发明了使用天干地支六十甲子为一个周期来纪年。
今人所说的“阿拉伯数字”实际上是古印度人创造的。古印度发明了十进制（decimal system），而古阿拉伯人将它们发扬光大。中世纪末期，十进制传入欧洲，而后成为全世界的标准。中国古代也创造了十进制。
有学者认为，人类不约而同地发明并广泛使用十进制，是因为人类有十根手指。人们数数的时候，自然而然地用手指记录。
虽然十进制大行其道，但是其他进制依然广泛运用。比如，二进制（binary system）、八进制（octal system）和十六进制（hexadecimal system）经常在电子系统中使用。
日常生活中，我们不知不觉中也经常使用其他进制。十二进制（duodecimal system）常常出现，比如十二小时制、一年十二个月、黄道十二宫（zodiac）、十二地支（Earthly Branches）、十二生肖（Chinese zodiac）。四进制也不罕见，如一年四个季度。二十四进制用在一天24小时、一年二十四节气。六十进制也很常用，如一分钟60秒、一小时60分钟。
随着科学技术持续发展，人类的计算也日趋复杂。零、负数、分数、小数、无理数、虚数被发明创造出来。与此同时，人类也在发明改进计算工具，让计算更快、更准。
算盘，作为一种原始的计算工具，现在已经基本绝迹。随着运算量和复杂度的不断提高，人们对运算速度、准确度的需求激增，人类亟需摆脱手工运算，计算器应运而生。
1622年，英国数学家威廉·奥特雷德（William Oughtred）发明了计算尺。早期计算尺主要用于四则运算，而后发展到可以用于求对数和三角函数。直到二十世纪后期被便携式计算器代替之前，计算尺一度是科学和工程重要的计算工具。
1642年，法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal）发明了机械计算器，这台机器可以直接进行加减运算，如图1.3所示。难以想象，帕斯卡设计自己第一台计算器时未满19岁。
图1.3 帕斯卡机械计算器和原理图纸（图片来自Wikipedia）
1822年前后，英国数学家查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage），设计完成了差分机（Difference Engine）。第一台差分机重达4吨，最高可以存16位数。差分机是以蒸汽机为动力的自动机械计算器，它已经很接近世界第一台计算机。因此，也有很多人将查尔斯·巴贝奇称为“计算器之父”。
1945年，ENIAC诞生。ENIAC的全称为电子数值积分计算机（Electronic Numerical Integrator And Computer）。ENIAC是一台真正意义上的电子计算机。ENIAC重达27吨，占地167平方米，如图1.4所示。
图1.4 ENIAC计算机（图片来自Wikipedia）
20世纪50年代电子计算机主要使用真空管制作，而后开始使用半导体晶体管制作。半导体使得计算机体积变得更小、成本更低、耗电更少、性能更可靠。进入20世纪，计算机器的更新迭代，让人目不暇接，甚至让人感觉窒息。
20世纪70年代，集成电路和微处理器先后投入大规模使用，计算机和其他智能设备开始逐渐步入寻常百姓家。现如今，计算的竞赛愈演愈烈，量子计算机的研究进展如火如荼，如图1.5所示。
图1.5 计算器发展历史时间轴
到这里，不妨停下来，喘口气，回望来时的路。再去看看数字最朴素、最原始、最直觉的形态。