1.6.2 信号调理的方法
本节将介绍信号调理的方法，内容包括抽样定理、抗混叠滤波和信号放大。
1.抽样定理
在时域中，用时间函数x(t)表示一个信号，用频率函数X(jω)表示信号的频谱分布。x(t)与X(jω)为一个傅里叶变换对。香农等人于1948年提出了抽样定理，用于说明x(t)的抽样序列x(nT)与x(t)之间的关系。
抽样定理描述为：设x（ t）是一频带宽度有限的信号，即当|ω| ＞ωm时， X（jω）=0。当以大于2ωm的抽样率ωS （等于2π/T） 对信号x（ t）进行抽样时，得到的抽样序列x（ nT）可以完全确定x（ t），其中fS=2ωm的抽样频率也称为奈奎斯特频率。
抽样过程如图1.8所示，连续信号f(t)抽样前后的表示如图1.9所示，连续信号f(t)抽样前后的频谱分布如图1.10所示。
图1.8 抽样过程
图1.9 连续信号f（t）抽样前后的表示
图1.10 连续信号f（t）抽样前后的频谱分布
当抽样脉冲p(t)为理想抽样信号时，表示为
式中，TS为采样的周期，且1/TS=fS为采样频率；角频率ωS=2π/TS。
抽样信号fS(t)可以表示为
fS(t)=f(t)·δT(t)
根据卷积定理可知：
又因为周期信号p(t)的傅里叶变换可以表示为
又因为Fn可以表示为
所以：
从图1.10可以看出：
（1）当采样频率ωS≥2ωm（ωm为带限信号的最高频率，也就是说在该频率上有能量的分布）时，周期延拓的F（ω）的频谱不会互相重叠在一起。
（2）当采样频率ωS<2ωm时，周期延拓的F（ω）的频谱就会互相重叠。这样，就会在后续还原信号时造成信号的失真，使得信号无法恢复。
所以，奈奎斯特定理是保证在对连续信号进行采样时不会发生“混叠”的最基本条件。在实际应用中，如果要恢复完整的信号，采样频率就应该为信号最高频率的10倍以上。
2.抗混叠滤波
当在低于奈奎斯特频率下采样一个基带信号时，就会丢失信号的频谱信息，这就是通常所说的混叠现象。
如果一个信号存在大于fS／2的频率分量，则将会发生混叠现象。混叠就意味着信号的失真，在没有抗混叠和重构滤波器的数字信号处理系统中，输入一个6kHz的正弦信号，而采样频率为10kHz，采样后的信号为一个4kHz的正弦信号。很明显，这是一个非线性的系统。
注：测试系统线性特性最简单的方法就是输入一个单频正弦信号，如果输出不是同频的正弦信号，也就是可能包含其他的谐波分量，则该系统是非线性的。
用10kHz的采样率采样一个9kHz的语音信号，如图1.11所示。很明显，这是一个高于fS/2=5kHz的信号，所以对9kHz的信号采样将发生频谱混叠。从图1.11中可以看出，当重构这个信号的时候，得到了一个1kHz的正弦波。
图1.11 信号混叠（1）
注：信号的相位也发生变化，与输入9kHz频率的信号相比，相移180°。
根据fS和输入频率的知识，可以直接计算出大于fS/2的输入信号混叠分量的频率。如果只观察经过采样又经过适当重构之后的输出信号，便无法确定哪个输入信号发生了混叠。
很显然，当对上面的系统使用10kHz的频率采样时，最好将输入信号的频率限制在5kHz以内。
但是，当解调一个信号时，可以利用混叠现象，如图1.12所示。当使用采样率为20000sps，直接数字下变频可以被用来对60~70kHz带宽的信号解调，即可以发生向下混叠，将其混叠到10kHz（ADC的前端必须能够在相当于信号带宽的时间间隔内对信号积分）。
图1.12 信号混叠（2）
如果带限信号，则输出信号将会在基带频率处混叠出相同的形状，如图1.13所示。
图1.13 信号在低频处混叠
频率混叠的具体分析如图1.14所示。在设计中，采样频率为fS=1kHz。
图1.14 频谱混叠分析
如果遵守奈奎斯特定律，以1000Hz采样所合成的正弦信号和ω(t)，就可以把将要采样的信号表示为一个简单的(正弦波幅度)频谱。
当然，如果已经采样了信号x（t），也就是说，以1000Hz 采样900Hz、750Hz和600Hz信号，则由于不满足奈奎斯特定律，因此这些正弦波将会分别混叠到100Hz、250Hz和400Hz频率上，也就是说，在这些频率点上存在着分量（能量分布）。
类似地，如果以1000Hz采样信号y0(t)，也就是说，在1100Hz、1250Hz和1400Hz的正弦波，则由于不满足奈奎斯特定律，所有这些正弦波将会分别混叠到100Hz、250Hz和400Hz频率上。
注意，频谱的混叠如图1.15所示。
图1.15 频谱图的混叠
为了避免在一般情况下出现频谱混叠，在将模拟量输入到模数转换器（ADC）之前，需要滤除所有频率高于fS/2的分量，如图1.16所示。抗混叠滤波器是一个模拟的理想矩形滤波器，其截止频率为fS/2Hz。
图1.16 抗混叠滤波器
思考与练习1-1：很明显，矩形滤波器是无法物理实现的，请说明原因。
在实际中，应该将理想矩形滤波器转换为有足够滚降和衰减的非理想矩形滤波器，如图1.17所示。同时，还应该保证所设计的滤波器具有理想的线性相位。因此，抗混叠滤波器的设计并不是一件容易的事情。图1.17中，0dB对应的衰减为1，Vout=Vin；-40dB对应的衰减为0.01，Vout=0.01Vin。
图1.17 抗混叠滤波器特性
3.信号放大
在模拟信号被输入到ADC之前，需要放大器对模拟信号进行放大，以确保模拟信号能够使用ADC的满量程电压输入范围，这个过程也被称为信号调理，如图1.18所示。
图1.18 信号调理
对于上面的ADC，满量程输入电压的摆动范围为-2~+2V，所以需要将传感器的输出电压放大到-2~+2V的摆动范围，使得放大器的输出电压和ADC的输入电压范围相匹配。
如果一个模拟信号的幅值变化范围大于ADC的允许输入范围，那么ADC将会对该信号进行限制，如图1.19所示，即去掉信号中任何大于或小于ADC输入范围的电压。这样，就会造成信息的丢失（损失）。换句话说，当对输入信号进行放大时，如果放大后的信号摆幅大于放大器的供电电压，放大器将出现剪切效应。
图1.19 放大器剪切效应
注：在设计模拟信号调理电路时，需要确保不会出现这种情况，至少在感兴趣的信号范围内不要发生这种情况。