1.4　抽样误差

推断统计主要建立在三个基础之上：（1）总体参数与样本统计量；（2）抽样随机性（概率理论）；（3）抽样误差。总体参数是推断统计的目的（What要做什么），概率理论是原因（Why为什么），抽样误差是方法（How如何做）。这是5W1H（What, Why, Who, When, Where, How）中，最重要的三个：Know what, Know why, Know how。

因为抽样数据只是总体数据的一部分，所以抽样数据计算出来的统计值（例如：样本平均数），与总体数据计算出来的参数值（例如：总体平均），会不相等，其差异是误差。

误差是“样本数据统计值与总体的参数值”的差（绝对值），误差有：抽样误差和非抽样误差。

定义：抽样误差（sampling error）是因为抽样的“随机性”所造成的误差。

抽样误差是不同组的样本有不同的误差，是因随机性（random）而产生的误差。衡量抽样误差和下列名词有关：样本标准误、残差、置信度、显著性水平（允许误差的概率）、第一类错误（p值）。影响抽样误差的因素有：抽样的样本量（样本量越多，抽样误差越小）、抽样的方法（分层抽样或实验设计等方法）、选择的统计量（请见第9章）。推断统计最主要目的是使变异（误差的平方）减小，使检验结果显著。

抽样误差是推断统计的基础：

（1）描述统计的平均数是：每个变量值和平均数（均值）之差（误差）的平方和最小。

（2）大数法则：当样本容量越大，抽样均值和总体均值的误差（标准误差）越小。

（3）区间估计是：置信度是控制“置信区间不包含总体参数”的误差。

（4）估计的标准误差就是抽样误差，要越小越好，估计才会越准确。

（5）假设检验的显著是：第一类错误（p值）不超过显著性水平。

（6）检验的检验值是统计值与参数值之差除以标准误差，所以，标准误差越小，检验值就越大，才有检验的显著结果。

（7）回归分析的最小二乘法是：每个变量值和回归预测值之差（残差）的平方和最小。

（8）方差分析是：总（误差）平方和=组间（误差）平方和＋组内（误差）平方和，检验各组的均值是否不相等（显著），要看是否组间误差越大，组内误差越小。

（9）分类数据分析是：以样本值和理论值之差（误差）的平方和，检验一个变量的概率，或两个变量的独立性。

定义：非抽样误差（non-sampling error）是在抽样过程中，由于人为错误而造成的误差。

非抽样误差是因“人”（研究者或受测者）而产生的误差。非抽样误差包括：

（1）选择样本抽样框（sampling frame）的错误，样本不能代表总体。抽样框是：抽样个体的名册，用来抽选样本的个体，如：电话簿名册、毕业纪念册、会员名单等。

（2）选择抽样方法的误差，选择抽样方法如：便利抽样——以最方便的方法选择样本，如街头调查、利用学生做实验；还有，自发性响应样本——样本以自动应答的方式取得，如电视电台的来电（call-in）或报纸杂志的来信（write-in），其回答的样本都是有心人，与例题1.5报考多益的中国台湾高中生相似，都不能代表总体。

（3）取得数据的误差：问卷设计不好，存在敏感的问题，导致受访者不愿答或故意答错以及回收率低的误差（未回应的误差，邮寄问卷回收率低，大多数都会有问题）。

（4）量测误差：记录数据的误差（记载错误或笔误）、计算数据的误差（输入错误或计算错误）等。

非抽样误差要在实验与调查的设计上考虑，注意抽样对象是否有代表性，注意问卷的设计，尽量避免这项误差。增加样本量，并不能减少非抽样误差。如例题1.4。

抽样误差是得到样本数据之“后”的差异。非抽样误差是得到样本数据之“前”的错误。推断统计学是考虑“抽样误差”。统计工作和统计资料，要考虑“非抽样误差”，如图1.4所示。统计学是“数据进，信息出”（Data in, information out）；如果有非抽样误差，则是“垃圾进，垃圾出”（Garbage in, garbage out）；如果用错统计方法，就是“数据进，垃圾出”（Data in, garbage out）。

（统计学）方法的一个最大特征是：统计学家深切地认识到误差的存在，并积极地面对可能的误差，而使得经过这套方法所导出的结论，其因误差而产生的暧昧减少。统计学的方法并不能无中生有，但它的确致力于尽量滤去误差，而得到传统方法所不能得到的结论。误差如水，真相若石。水落，所以石出。如果水中原本无石，水落当然也仍然无石。统计方法：围绕着包含了误差的数字，所做的种种精巧的努力。

——赵民德（1999）

以上所说的“误差”是“抽样误差”。本书第16章总复习，“误差”的名词与关联性。