02　“数学难”之“想不到”

数学的第二种难与第一种不同，不是想不通，而是想不到。譬如，解答几何证明题时如何添辅助线就属于这种情况。一道几何题，百思不得其解，但有人指点一下，立马开窍了，这是怎么回事儿？

数学里的问题，有的有程序性，如大多数代数问题，基本上有章可循，多项式的乘法、解方程就属于这种情形。而“想不到”的问题，一般都涉及思维的发散性和灵活性。几何问题和代数中的因式分解问题，往往没有固定程序，同学们常常会遇到“想不到”的困难。

怎么对待这种难？这就要学会联想，学会发散思维。

或许对于所谓的“天才”来说，他们的思维方式往往具有“异想天开”“天马行空”“极度跳跃”的特质。但是，这样的天才是极少数的。甚至像华罗庚这样的大数学家也不认为自己是天才，他不是说过“聪明在于勤奋，天才在于积累”吗？对大多数的同学来说，尽管咱们不是天才，但咱们的思维都有一定的灵活性、发散性，甚至创造性，如果后天进行培养，这些特性就会变得更好。我们完全不必自卑。

发散，是不是没有规律可循？应该说，有规律，也没有规律。

人类历史上一些伟大的发明和发现，往往是人们得到了某个现象的启发——灵机一动，闪念稍纵即逝，过了这个村就没有这个店了。那我们什么时候才能来灵感？遇到什么事情会得到启发？不知道。因此可以说，这里没有规律。但是，一般的联想和一般的发散还是有规律可循的，联想能力和发散能力可以后天培养。这几十年冒出了一个新学科，叫“创造学”，这里面貌似有不少道理。创造学讲发散思维、灵活性，但是也讲总结规律。既然讲灵活，那还讲规律？没错，创造学所讲的“创造 12 法”就是种种常用的创造方法的总结。原来，发散思维和收敛思维是相辅相成的。

在数学里，特别是在几何领域，同学们有好多“想不到”的困难，就是因为找不到条件和结论之间的联系，实际上，这是找不到法则和题目之间的联系。所以，“想不到”实际上是“联不上”。怎么解决呢？我们应该把联想条理化。

反应块

华南师范大学的傅学顺教授提出了“反应块”理论：“一看到”某些东西，马上就应该“想到”另一件东西（如法则、结论）。这样的“一看到……就想到……”就是一个“反应块”。傅教授说：“反应‘块’积累得多了，你的反应就‘快’了。”

一看到“”，就应该想到“ 同号”。

一看到“”，就应该想到“ 都可以求出来”。

一看到含 30°角的直角三角形，就应该想到一系列的结论：

• 三边长度之比是；
• 斜边长是较短的直角边的 2 倍；
• 如果作斜边上的中线，那么原三角形被分成一个等边三角形和一个等腰三角形；
• 斜边上的中线等于斜边的一半；
• 斜边上的中点是外接圆的圆心……

我们要在学习中和解题过程中积累这样的反应块。

我和傅老师的观点不谋而合，但我更主张尽量将联想形成系统，并提出了“命题联想系统”，即等价命题联想系统、上游命题联想系统和下游命题联想系统，这样我们就可以使思维更有条理，好处多多。

• 等价命题联想系统：和命题 等价的命题 形成一个命题集合；
• 上游命题联想系统：能够推出命题 的命题 组成一个命题集合；
• 下游命题联想系统：能够由命题 推出的命题 组成一个命题集合。

等价命题联想系统

首先，我们要尽量找到某个命题的等价命题。比如，当我们看到这道题：

直线 过点，求 的值。

就应该想到：

• 换位：主语和谓语换一换，看问题的立足点就变了，于是得到一个等价命题：“直线 过点”就是“点 在直线 上”。
• 换系统：几何系统改为代数系统，于是得到一个等价命题：“点 在直线 上”就是“数组 满足函数式”。

于是将 代入式子，可求出 的值。

不要小看这样的转化，有不少同学就是想不到，生生地就在某一步上傻住了。面对一个命题，每个人头脑中的等价命题联想系统是不同的。比较优秀的学生的等价命题联想系统极其丰富，他们会把不同时期学到的知识组合在一起。

比如，当他们看到“ 是非负实数”时，就会想到它与下列命题等价：

甚至和 也是等价的，也就是说，他们的头脑中构成了知识跨度较大的等价命题联想系统。

然而，“学困生”往往缺乏联想，见了这个想不到还可以得到那个，不能从教科书上的知识扩散出其他的知识。在学习数学时，我们经常要换角度解释，原本想不通，换了个角度，可能就想通了；原本想不到，换了个角度，可能就想到了。这就是运用了等价命题联想系统。

上游命题联想系统

我们在学习时应该随时建立一座“仓库”，比如在学了三角形之后，我们就知道了证明两线段相等的好多办法，这就像一座仓库。接下来，我们又学了平行四边形，于是又多了好几个证明办法，如：

• 平行四边形的对边相等；
• 平行四边形的对角线互相平分，即一条对角线被对角线的交点分为相等的两段；
• 矩形的对角线相等；
• 正方形的四条边相等。

这时，我们就要把这些办法也放到那座仓库里——不断充实，形成系统。而且，我们在遇到要证明两线段相等的问题时，就要想起这座仓库，并从中提取需要的“零件”。

例如，证明“矩形判定定理 2”，即“对角线相等的平行四边形是矩形”。有一天，我去听课，老师就问到这个问题，全班同学都没想出办法来。这道题的关键是证明平行四边形的角是直角，怎么办？同学们想到了证明三角形全等啊，三线合一啊……就是想不到一个最最不起眼的方法。其实，证明直角方法的“仓库”里有好多办法：

• 两个角之和等于 180°，且它们是相等的；
• 在一个三角形中，如果有两个内角的和是 90°，那么剩下的那个内角是直角；
• 等腰三角形底边上的中线垂直于底边（三线合一），等等。

在上面所列的几条中，第一条最不起眼：“两个角之和等于 180°，且它们是相等的。”这太平常了，反而最不容易想到，而这里恰恰就要用这一条来证明。如果你平时积累了这么一座仓库，在遇到问题时，就可以对仓库里的办法一条一条地思考，合理筛选，也就不会想不到证明的方法了。

下游命题联想系统

我们在学习时还应该尽量看出从某个命题可以推出什么结论。如图 2.1，在平行四边形 中，对角线交点为，于是可以从中得到很多关系。

图2.1

• 线段关系

  对边相等：，。

  对角线互相平分：，。

• 角的关系

  对角相等：，。

  对顶角相等：，。

  内错角相等：，，，。

  同旁内角互补：，，，，各三角形的内角和等于 180°。

• 直线位置关系：，。

• 三角形全等关系： ≌， ≌， ≌， ≌。
• 三角形等积关系：除上述全等三角形是等积三角形外，还有。

这也是一座大仓库。

除了定理和公式，我们也要研究基本图形的等价命题和下游命题。

我强调在平时训练时“全面罗列”，特别是在初学阶段，不妨全面、系统地把已知条件的等价命题和下游命题，以及欲求结论的等价命题和上游命题，一一列出。这样做便于在解题时进行合理筛选，做到有条有理。其实，这种方法颇具算法思维的色彩。再看下面的例子：用向量证明三角形中位线定理。

如图 2.2，已知 分别是 的中点，证明，。

图2.2

证法如下：

所以，，。

我有一次去听课，老师正好出了这道题。题目一出，全班鸦雀无声。其实关键在第一步：同学们根本没有想到 可以等于向量 与 的和。大家在学习向量的加法法则——三角形法则（图 2.3）时，不妨思考一下：这个公式可以推出哪些等价命题和下游命题？

图2.3

既然

那么

这就是一个等价命题。条件和结论这么“反一反”，考虑问题的出发点就不一样了。如果你脑子里有这么一根弦，那么在遇到这道题时可能就不会觉得困难了。你看，同样一个公式，仅仅是思考问题的角度发生了变化，问题就迎刃而解了，但在关键时刻，你的思维就是转不过来，可见研究等价命题有多重要。

上、下游命题联想，实际上是很多优秀教师的经验。在我求学的时代，老师就讲了要由因索果，执果寻因，其实就是寻找上游命题和下游命题。我强调“尽量形成系统”，尽量全面罗列，这样我们就可以快速、不遗漏地进行合理筛选，从中找到联想的方向。之后，通过联想的条理化，就可以快速提高联想能力。但需要说明的是，我们在中小学数学阶段按部就班培养的联想能力可能还是有一定的局限性，同学们经常还是“联不上”，因此我们自己适当地尝试一题多解，适当地见识一点儿“开放型”题目，是有必要的。