03　“数学难”之“理不清”

有时，一道数学问题涉及了方方面面，十分复杂，使人顾此失彼，混淆概念，导致“理不清”的情况。

一种情况是，题目涉及了多方面的知识点，集中了各种难点。比如列方程解应用题，列方程本身学起来已经让人感到困难，加之同学们可能生活经验不足，“相向而行”这种语言表达也可能干扰大家对题目的理解，进而产生混淆。比如平行四边形的证明问题，其涉及性质定理和判定定理，文字上看起来差不多，但它们是互逆的：一个是“已知平行四边形，推出对边相等的结果”，另一个是“从两组对边相等的条件，推出是平行四边形”。这里面有数学问题，也有语言问题和逻辑问题。再如在教科书上，数学归纳法一开始出现的例题常常是关于数列的，也容易让人糊涂。我们看一道例题。

例 1　求证：。

证明：假定 时等式成立，即

那么当 时，有的同学往往简单地代入等号左边的末项中，得

进一步解下去的时候，我们发现总有点儿别扭。其实当 时，不仅等号左边的末项发生了变化，连项数也变了：当 时，只有 项；当 时，有 项——多了一项！应有下式：

数学归纳法本身是一大难点，这次又遇到了数列的项数变化，难点混在一起了。

第二种情况是，我们遇到两个概念，它们既有相似的地方，又有不同的地方，从心理学角度来说，这是最容易混淆的。譬如，前面说到的平行四边形的性质定理和判定定理；分数问题中的“占”和“ 吨”，看着形式相似，其实意义大不一样。除此之外，还有很多看着相似，其实不同的概念：

• 极大值和最大值；
• 倒数和相反数；
• 幂函数和指数函数；
• 绝对不等式和含有绝对值符号的不等式；
• 相等、全等、恒等、等积；
• 整除和除尽；
• 质数、质因数和互质数；
• 两数和的平方与两数平方的和；
• 相交和两两相交；
• 交和交集；
• 项和因子；
• 抵消和约去；等等。

这中间，有的是词语的顺序不同，如“两数和的平方”“两数平方的和”；有的是数与量不同，如“相交”“两两相交”；有的是程度不同；有的是形式不同；有的是同一个大概念下的两个小概念；有的根本不在同一个大概念里；有的是本质上就不同，而仅仅是用词上相似，如“绝对不等式”“含有绝对值符号的不等式”。

第三种情况是知识和技能之间的互相干扰，导致产生混淆，这也是理不清的原因。譬如，大家学习有理数的运算，是先学了加减法，后学乘法——这一般都能过关。但在复习阶段，当回头再做有理数加减法的题目时，有的同学竟然把乘法的符号法则“负负得正”这种后面学到的知识，用到了加减法上。这是一种“负迁移”。

引入新知识后，你的思维还常常停留在原来的知识里吗？比如在学习字母代表数时，你会不会总以为字母是“正数”，总觉得 一定成立？到了复数阶段，你还认为。这就是把实数范围里的大小关系误用到复数范畴里去了。我把这类错误称为“停留性错误”（后文有专门的分析）。

第四种情况在心理学和脑科学上叫“注意力的分配水平不够”，说白了就是遇到的事情太多，顾了这个，丢了那个。有人看书，就听不见旁人的呼唤，这是注意力集中。注意力除了会“集中”之外，还有好多“品质”，“分配”就是一种。比如作为汽车驾驶员，你需要注意的事情实在太多了：前方、左右方向、速度……你必须合理分配自己的注意力，照顾到方方面面。在数学问题上，例如合并同类项问题，你既要注意字母，又要注意字母的幂次、项的系数以及系数的正负符号，有时题目中还有括号，大家往往容易顾此失彼。

数学思维的特点之一就是有条有理，有根有据，不重不漏。同学们应该学会在混乱中理出头绪。那么，怎么对待这类“理不清”的情况呢？

辨析

概念、法则之间有时会混淆，对此应进行辨析，对比异同。甲和乙两样东西，要进行辨析，就是要找它们的共同点和差异点。表面上的比较还算容易，比如分数和分式的对比，全等和相似的对比。

但深层次的比较就不容易了。譬如前面提到的“占”和“ 吨”，前者是分率（不名数），它没有单位；后者则是数，它是有单位的。前者具有相对性，一定要讲“谁的”，而后者是独立的。

再如，有的数学书会笼统地、并列地列出以下几个标题：子集、并集、交集、补集。这是表面上的比较和总结，这样一来总让人觉得，这几个概念似乎是在同一个大概念之下的。其实“子集”涉及的是两个集合之间的关系，而“并集”“交集”“补集”涉及的是两个集合的运算。并且，有些同学会误认为只有互相交叉的两个集合才可以求交集。其实，两个集合如果没有公共元素，也可以求它们的交集，只不过这个交集是空集而已。

简单地说，集合间的关系（主要是从有没有公共元素的角度分析）是不产生后果的。子集这个概念反映了集合之间的关系，如果集合 的元素全都包含在集合 里，就说集合 是集合 的子集。这就像数之间的关系，如数 3 和 4，从大小角度来看，它们的关系是；从倍数关系的角度来看，4 不是 3 的倍数。

集合间的运算是会产生“后果”的，两个集合的交集就是求交运算的结果，这个结果也是一个集合，叫交集——既在这个集合里又在那个集合里的元素所构成的新集合。正如两个数做加法（运算），产生的结果就是新的数（和），如 等于一个新的数 7。

因此，这里有两个概念需要辨析清楚：集合间的关系、集合的运算。理解了这一点，我们就可以完整地讨论集合间的关系。两个集合间的关系如图 3.1 所示。

图3.1

可见，子集仅仅是包含关系中的一个名词，和运算无关。

在这样的辨析之后，你的头脑里就清清楚楚了。辨析清楚了，就不会产生混淆。但是，要辨析清楚可不太容易，要有一定的数学功底和严密的逻辑思维。

分解

假如一个问题里的难点很集中，那就宜将难点分解出来——有经验的老师通常都会这样做，这叫分解难点。即使老师讲解得很清晰，却没有明确分解难点，我们自己也要善于分解难点，搞清楚题目中一共遇到了几个难点，然后一一把它们想通。这时候，预习有一定的好处。

譬如无理方程也算是个不小的难点了，难在哪里？

• 首先是根式的意义。目前在大多数情况下，我们只讨论二次根式，所以你至少应该知道：一，二次根式的被开方数应该非负；二，“ 开两次方”和 的意义不同。
• 其次，解无理方程的基本方法是等式两边平方，但这一步不是同解变换，会产生增根，因此需要检验。这里考查了对增根的认识和处理。
• 最后，有时要应用“换元”等技巧。

这些知识点不是每一位同学从一开始就理解的，难点集中了，就形成困难了。这几个难点，有的应该在学无理方程之前就弄清楚，如二次根式的意义和性质；有的应该在学习的过程中弄清楚，如基本解法（两边平方）及增根的道理和做法。这就是分解难点。

抓住关键

牵牛要牵牛鼻子。有时候，问题看起来很杂乱，其实它常常有一个关键点，抓住关键，有针对性地设计一种办法，难点就会顺利化解。

比如在初学几何时，不少同学不会画三角形的高，特别是钝角三角形的高。画钝角三角形的高为什么会比较难？首先，因为有些同学其实没明白“高”的定义：一是“从一个顶点出发”，二是“作对边的垂线”。他们往往只关注“垂线”，忽视了“从一个顶点出发”，于是就找不到相应的顶点和对边了。这让初学者感到很难，常常手忙脚乱，总是画不对。其次，有人能够画出处于水平的边上的高，却画不出斜置的边上的高，这就是图形的位置在干扰。最后，对于钝角三角形，往往需要作一条边的延长线段之后，才可以在延长线上画垂线，即“高在形外”，这种情况或许和同学们的固有想象不一致。

上海华东理工大学附中的童立贤老师教给学生们一句口诀：“一贴二靠。”第一步，用一把三角尺的一条直角边紧贴三角形顶点的对边；第二步，用另一把三角尺的一条直角边靠着第一把三角尺的上述直角边滑动，一直滑动到第二把三角尺的另一条直角边到达该顶点为止，该顶点对应的高马上就可以画出来。抓住了关键，难点迎刃而解。

再如，不少数学书认为，列方程解应用题的关键是找等量关系，其实，关键是理清数量关系。在初中的应用题里，理清数量关系的最好方法是列表和线段图，数量关系弄清楚了，题目中必定还有一个条件（等量关系）没有用到过，就用它列出方程即可。

有序运算

计算中的粗心问题就像牛皮癣一样，死不了人，但让人十分难受，且难以根治。这也是一个老生常谈的问题了。“粗心”的原因往往在于，大家在运算时所要考虑的事情太多，顾不过来，这就是注意力的分配水平不够。

比如，计算

我们要将 乘第一个括号里的 4 项，这时尤其是最后一项的 1 往往会被漏乘；之后要将 乘第二个括号里的各项，这时往往会疏忽 前面的负号；然后还要合并同类项，这时候又要顾及各项的符号、指数、系数……因此在运算时，如合并同类项时，我们要“强迫”自己按顺序做：先用下划线标出同类项，再各自合并。

如今，我们已经淡化了对数计算的要求。当年在我求学时，大家要运用对数表，一会儿确定首数，查表求尾数，一会儿运用反对数表，查有效数字，确定小数点位置……绝对能把你绕得晕头转向。然而，如果事先设计好步骤，要查表的时候一起查，要确定小数点位置的时候统一确定，这样有序化、算法化的做法，可以大大提高计算的准确率。我本是个大大咧咧的人，但在该仔细的时候却不含糊。在一次对数计算的测验中，全班只有我一人得了全 5 分，直到今天，一个甲子过去了，我还感到有点儿自豪呢。

尽管现在不再有这样的题型，但这种思维方式和做题习惯仍然非常典型，我还是举个例子，给大家作为参考吧。

例 2　求。

分析：用对数进行乘除法计算的方法是，第一步取对数，把原先的乘除法转化为它们对数的加减；第二步，将这几个对数加减，得到一个对数；第三步，求这个对数的反对数，这就得到了 的值了。

解：设

则

这样，此式归结为三个对数式的加减。我们不妨设计一个竖式图，反映几个数的运算过程（但不管这些数等于几）。运算过程是：前两个数相加，得到的和去减第三个数，最后得到的还是一个对数式。

画好这个竖式图之后，接下来第一步求①②③的值，即求出对数。实际上这里面还有两个过程，先要确定对数的首数（不需要查对数表），再查表确定对数的尾数。具体操作时先根据规则确定全部数据的首数，然后再统一查表。第二步做加减法，①+②得，再-③得。第三步是由 求出反对数（需要查反对数表）。实际上这里面还有两个过程：先查反对数表，再确定有效数字（不需要查表）。这样 就得到了。烦不烦？查表的时候统一查表，计算的时候统一计算，这样就不易弄错。这就是有序计算。