01　“数学难”之“想不通”

季羡林是我国当代的大学问家，早年留学国外，通晓英文、德文、梵文、巴利文，能阅读俄文、法文，尤精于吐火罗文——你听说过这种语言吗？他是世界上精于此种语言的仅有的几位学者之一，那真是凤毛麟角啊！复旦大学的钱文忠教授是季羡林老师的关门弟子，出于对恩师的崇敬，钱教授写了一本书，叫《季门立雪》。当年，为了撰写这本书，钱文忠曾翻阅了大量资料，并和季老多次交谈。季老是清华学子，钱文忠想了解老师在清华大学时的学习情况，于是问他：“您当年入学考试时的数学成绩怎么样？”原本对于钱文忠的采访，季老一向积极配合，爽快回答，但这一次，他却支支吾吾起来。在钱文忠的追问下，季老不得不开口。他只是低声说：“很低的。”钱文忠见老师不愿意正面回答，就去查了档案，一查，惨了：老师当年数学只考了 4 分——注意哦，这是百分制的 4 分。原来大名鼎鼎的季羡林是数学差生！其实，很多知名学者的数学成绩都不好，除了季羡林，还有钱钟书、闻一多、臧克家等人也曾被数学拖了后腿。假如放到现在，这些大人物可能都无缘上大学了啊。

是的，有很多人觉得数学难。但是你想过没有，数学到底难在哪里？我们不能笼统地说“数学难”，因为这个“难”有多种多样的难法：有的学生根本听不懂老师在讲什么；有的学生听懂了，但轮到自己上手就不知道怎么办。这就是不同的难。数学难，在我看来主要有以下三个“不”：一是想不通，二是想不到，三是理不清。

我们先谈谈“想不通”这件事。为什么会想不通？大致有以下几种情况。首先，可能是你遇到了新的概念和法则，这些新知识的本质就是引入了一种新的数学思想，而它往往和学生的经验有冲突。比如，以字母代表数，未知数居然就可以参与运算了，而且最后还引出了方程——实在想不通！明明从图形上就可以看出两条线段的长度是相等的，却不能借助直观直接解答，非要证明——你说痛苦不痛苦？除此之外，还有复数没有大小、异面直线、 竟然等于 1、归纳法、概率……很多知识点都是不容易相通的。其次，数学大量运用了字母和符号，这样做的好处是我们把思维压缩了、精简了，但对于初学者来说，这有时简直像天书一般难懂。再次，你可能遇到了逻辑知识。事实证明，人类头脑里的逻辑思维并不是与生俱来的。复杂、难懂的逻辑知识，如逻辑分类、反证法、同一法、“每一个”和“有一个”的区别、轨迹、恒成立问题等，都是学生面临的一大难关。

那么，遇到了想不通的情况，我们该怎么办呢？

领会本质

数学的新概念、新思想常常和你头脑里原有的东西相冲突。在初次接触一个知识点时，要透过表面领会本质，力求想通，并在以后的学习中加深领会。而很多同学只是满足于解题的“套路”，不领会本质。

譬如，有人只是利用它做题目，却不理解这其实是一个定义，而不是推导出来的结论。在数学学习中，每出现一个新概念，我们一定要明确它的意义，也就是要给出定义——这往往会突破我们原始的思维框框。要知道，原先是不允许指数为 0 的，因此 应该是没有意义的。这好比家里又生了个二胎宝宝，应该给宝宝起个名字，所以我们也应该给 下一个定义。而且，定义还不能瞎来，就像我们给新生的宝宝起名字，叫“张老大”肯定不合适，因为上面已经有哥哥或姐姐了。那么，我们怎么定义 才合适呢？

我们希望出现了 之后，原来的幂的运算法则仍能延续，因此定义它等于 2 就不合适，因为假如这样的话：，而，如此一来， 就不等于，矛盾！也就是说，原先的运算法则“同底相除，底数不变，指数相减”就不能延续了。为了使整个法则能够延续，定义 才是合适的。

你看，这就是本质：新概念必须定义，而定义要合理。

但是，人的认识不会一次完成，我们需要在以后的学习中不断加深理解。比如，人们后来又定义了负指数幂、分数指数幂——这都是“规定”的，而不是“推出来”的！甚至后来见到的意义也是规定。慢慢地，我们对“新概念必须定义”这个本质问题的理解就深刻了。

咬文嚼字

老一辈数学教育家赵宪初先生说过：“学数学有时就是要咬文嚼字。”我们在理解一个数学概念或定理时，就要弄懂这个概念的内涵和外延（第 12 章“定义”还要专门讨论），这时候，我们往往要字斟句酌。对定义的文句要认真分析清楚：大概念是什么？有哪些限制词？少一点儿行不行？多一点儿有没有必要？抽换掉一些东西可不可以？

例如以下这句定义：“在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线。”句子中的“在同一平面内”不可略去，“两条”不可改为一条，“直线”不可改为“线段”或“线”，“不相交”更不可以抽去或更换。

通过这样咬文嚼字的分析，会对概念理解得比较清晰。同样，拿到一个题，对它的条件、结论也要字斟句酌，这样才可以吃透题意。可惜，现在有的老师只要求学生死背定义的文句。

感悟

感悟也很重要。感悟，就是用具体化、形象化的方法，帮助理解抽象的数学概念和法则的意义，有时，我们甚至要“退回”到“原始状态”去思考。这种方法尽管看起来有点儿笨，但只有真正想通了，才能比较彻底地弄明白。

某个概念或法则的本质是什么？为什么要引入这个概念或法则？这个概念或法则被引入之后会带来什么变化？和旧的思维框框有哪些冲突？可惜，在大多数的学习中，概念和法则的引入被两三句话带过，接下来，大家就进入无尽的解题阶段。对概念或法则一知半解，就要解题了，结果是囫囵吞枣，依样画葫芦，生搬硬套解题步骤……其实，很多人并没有真懂、真感悟。

我们拿参数举个例子。在初学时，这个概念其实不易理解，但耐人寻味的是，尽管不少同学不十分理解，相关的题倒是解得非常娴熟，这就是“操练”的结果。如下面这道题：

方程 有不相等的两个实根，求 的取值范围。

有的同学可能开始套方法：一，先求出判别式（）；二，让判别式大于 0；三，解出 的值。但这些同学未必理解参数 的意义和作用。

在初学时，建议大家多花点儿时间，做一件“笨”事情：

• 假定，方程的根的状况怎样呢？此时方程为，显然没有实数解，即 0 不在所求的范围之内；
• 假定，此时，，还是没有实数解，即 1 不在所求的范围之内；
• 假定，此时，，有相等的实数解，即 2 不在所求的范围之内；
• 假定，此时，，有不相等的两个实数解，所以 3 在所求的范围内……

这样的例子举得完吗？当然是举不完的。接下来，我们要升华：思考一下，前面所做的无非是计算 的值： 是否大于 0，其实也就是研究 什么时候大于 0。这样一来，说明同学们最开始套用的“解法”是顺理成章的。

但我们还应再进一步。从上述分析看，参数 也是未知数，我们研究 什么时候大于 0，其实是在解含有未知数 的不等式。知道了参数实际上也是未知数，我们的认识就上升了一步。只是，参数 和题目中的未知数 不在同一层面上，为了把它们区别开来， 就叫参数，而不称未知数了。

为什么说参数和原来的未知数不在同一层面上呢？ 是我们要找的，它的值适合这个方程；而添加了参数 之后，题目发生了什么变化呢？ 的一个值决定了一个方程； 的不同值决定了不同的方程，因此，参数 的出现意味着有 类似的许许多多的方程，或者说，一族方程。 确定了，方程就确定了；方程确定了， 的值（根）才能确定。所以说，二者不在同一层面上。

能够认识到这一点，我们的理解就更深刻了——这就叫感悟。不要以为这样做是在浪费时间，这样做虽然“笨”，但华罗庚先生早就说过：“妙算还从拙中来。”

再看一个例子。

有一段篱笆总长为 20 米，用它围成一个一边靠墙的矩形，问：边长各是几的时候，该矩形面积最大？

刚学习这类题时，不少同学因为之前学了列方程，常常从列方程的角度去想。但是，无论设一个未知数还是两个未知数，此时都无法列出方程。其实，这里只能列出函数，然后求这个函数的最大值——一下子想不通，不要紧，可以举例子啊。

• 设和墙平行的那段篱笆长为 2 米，那么另外两条边长 9 米，矩形面积为 18 平方米。
• 设和墙平行的那段篱笆长为 4 米，那么另外两条边长 8 米，矩形面积为 32 平方米——比刚才的大了。

• 设和墙平行的那段篱笆长为 10 米，那么另外两条边长 5 米，矩形面积为 50 平方米——这下更大了。

  ……

我们发现，不同的长与宽的值，对应的矩形面积是不同的。试几次就会发现：噢！这实际上是在求函数的最大值的问题啊。这下子，我们就能领会本题的本质不是列方程，而是研究函数的最大值。根据题设，矩形面积是不确定的，它因一边长的不同而不同，可见，矩形面积值是关于（平行于墙的）边长 的函数。不难列出函数式

现在就是要求这个函数在什么时候取最大值。

这样举例可以得到感悟，理解函数最大值的意义，后面列出函数式，也显得自然了。