前言
数学，是一门奇怪的学科。怕它、恨它的人，把它视为魔鬼；爱它、喜欢它的人，却对它迷恋得如痴如醉。怕它、恨它的人觉得自己不是学数学的料，羡慕别的同学有颗“数学脑”。其实，学好数学主要不是靠天赋，而是靠后天的努力，尤其要掌握数学的特点和学习方法。你的“数学脑”只是没有被开发出来而已！
这本书就想和青少年朋友谈谈怎样学好数学的问题，怎样使自己也有一颗“数学脑”。
首先，要掌握正确的数学学法。我小时候就不“聪明”，还留过级，长大懂事以后，却一下子考进了名校——上海中学，而且还得过“全五分”的成绩，被评为校级优秀学生。可以这样说，我对学习有着正、反两方面的体会。
我最初曾在中学从教 12 年，之后的 37 年里一直做教师培训工作。接受过我培训的老师之中有多位已成为特级教师或校长。我认识到，为了做好“老师的老师”，自己首先应该做好一名学生。于是，我认真学习了许许多多优秀教师学习数学的经验，比如赵宪初老师的“学数学有时就是要咬文嚼字”“要先举三反一，才能举一反三”的观点；孙维刚老师的“一题多解，多解归一，多题归一”的观点；傅学顺教授的“反应块”理论；张景中院士的“中巧说”，等等。我也总结过自己的一些经验，如停留性错误、解题模块、命题联想、数学学习的“三难”等。记得当初，我发表了《数学难》这篇文章之后，读者们纷纷“点赞”，说这篇文章用“大白话”点破了学数学的三种不同的难。
如今我已是耄耋之年，本书中的学习方法也是我多年逐渐认识、体会，并最后总结出来的。对于同学们来说，这些经验或许可以让大家少走不少弯路。
其次，要了解数学的特点。任何学科都有自己的特点，要学好数学当然应该了解数学的特点。譬如，数学家看问题特别强调基本量和确定性；又譬如，解决数学问题会运用抽屉原则、特殊值法、平均值原理、正难则反、反客为主、举三反一等方法。这些思想和方法充满了辩证观点，因此也可以指导我们日常的工作和生活。
过去，由于应试的压力，有些中小学生的知识面或许比较狭窄。我们在课堂上几乎没有接触过飞速发展的现代数学。特别是，由于计算机的兴起，数学学习已经发生了不小的变化，产生了好多新思想、新原理和新方法。比如，大家在中学阶段遇到的一元二次方程的求根公式、韦达定理，这些东西或许已经被你们用得很熟了，难题你们也做了不少吧？但是，今天的数学家几乎已经不再用它们了，而是用迭代等方法来求根。所以，大家应该扩大知识面，开阔眼界。
本书除了介绍中学数学学习中的一些常见思想和方法之外，还特意针对中小学生，对现代数学的一些新思维和新方法，如算法和迭代等做了适当介绍。尽管这些内容未必对中考和高考提分起到立竿见影的效果，但我坚信，掌握这些知识对青少年朋友来说将是终生有益的。
再次，要了解一点儿与数学相关的逻辑。已故的著名数学家谷超豪院士曾因平面几何在教学中的分量被削弱，导致孩子们逻辑思维能力培养得不够而表示担忧，大家称之为“谷超豪之忧”。我觉得谷院士的担忧不无道理。我也认为，我们对逻辑相关知识的教育还很薄弱。过去，大家知道的只有命题的四种形式、反证法等，这些都属于传统逻辑的范畴。其实，中小学数学学习已经用到了数理逻辑的一些基本知识，如“与或非”“每一个”和“有一个”，等等。这些基本知识在中学数学学习中有着重要的应用，比如存在问题、定值问题、恒成立问题等。所以，本书还特别介绍了与此相关的逻辑知识——“一致性命题”。知道了它，你或许可以想通好多问题，一下子有豁然开朗的感觉。我自己把它誉为数学中的瑰宝。
我虽然不是逻辑专家，但在数学教学中的逻辑问题方面是下了一点儿功夫的，比如“一致性命题”就是我在 20 世纪 90 年代提出的一种说法。
最后，要了解一点儿与数学相关的语言问题。前辈数学教育家赵宪初先生说过：“数学里的语文知识，语文老师教不了，应该由数学老师来承担。”我作为数学教师中的一员，理应承担这个教学责任。
我对数学教学中的语言问题也做了很多研究，还曾和青年教师们合作开展过千人调查，并撰写了《数学教学中的语言问题》一书——这可能是我国第一本系统讨论该问题的专著吧。如果不好好掌握逻辑和语言，它们都将变成数学学习道路上的“拦路虎”。本书对数学学习所涉及的逻辑和语言问题做了适当的介绍，希望能帮助大家借此学好数学。
我个人十分喜欢从实际的教学工作中提炼经验，因此，这本书有我自己独特的观点和做法。可以这样说：这本小册子凝聚了我毕生的经验和心血。我很有信心说：这本书对青少年朋友会大有帮助。
为了让青少年朋友有兴趣来看这本书，我在写法上避免了枯燥的说教，而往往从小处着手，然后阐述一个大道理。有时，我还引用了一些趣味故事。本书的例题大多也不难。我更不搞“刷题战术”，而把重点放在让大家掌握数学的正确学法上，帮助大家自己慢慢体会数学的特点，扩展思路，从而融会贯通。
在写作过程中，我得到了黄喆老师、傅琳老师和郑熠晟老师的帮助，在此对他们表示感谢。
本书取名为《“数学脑”探秘：一通百通的数学思考法》。我相信大家在读了本书以后，脑袋会慢慢地“数学化”，逐渐拥有数学家的眼光和数学家的思维方式。最后，祝青少年朋友们将来为祖国效力，对社会有所贡献！
陈永明 时年八十又二
2022 年 5 月