9.2 相平面法

相平面法是庞加莱（Poincare）于1885年首先提出的，它是一种求解一、二阶常微分方程的图解方法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统运动规律的全部信息，可以用来分析一、二阶线性和非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。由于它能比较直观、全面地表征系统的运动状态，因而得到广泛应用。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统。

9.2.1 相平面法的基本概念

1.相平面图的概念

二阶系统可以用下列常微分方程来描述

式中，为x和的线性或非线性函数。该系统的时间响应一般可以用两种方法来表示：一种是分别用x（t）和与t的关系图来表示；另一种是在x（t）和中消去t，把t作为参变量，用x（t）和的关系图来表示。用x和分别作为横坐标和纵坐标的直角坐标平面称为相平面。该系统在每一时刻的运动状态都对应相平面上的一个点，称为相点。当时间t变化时，该点在平面上便描绘出一条表征系统状态变化过程的轨迹，称为相轨迹。在相平面上，由不同初始条件对应的一簇相轨迹构成的图形，称为相平面图。所以，只要能绘出相平面图，通过对相平面图的分析，就可以完全确定系统的稳定性、静态和动态性能，这种分析方法称为相平面法。

例如，典型线性二阶系统自由运动的微分方程为

若0<ζ<1，在初始条件x（0）>0，的作用下，其响应x（t）、如图9-7a、b所示。对应的相平面图如图9-7c所示。

图9-7 时域响应与相轨迹

绘制图9-7的MATLAB程序：prog91.m

t=0:0.01:10;x0=[11]';

[t,x]=ode45（'sys61',t,x0）;

subplot（1,3,1）;plot（t,x（:,1））;grid

subplot（1,3,2）;plot（t,x（:,2））;grid

subplot（1,3,3）;plot（x（:,1）,x（:,2））;grid

调用函数:sys91.m

function dx=sys91（t,x）

dx1=x（2）;

dx2=-0.5*x（2）-x（1）;

dx=[dx1 dx2]';

2.相轨迹的特点

（1）相轨迹的走向

若，则x增大；若，则x减小。因此，在相平面的上半部，相轨迹从左向右运动；而在相平面的下半部，相轨迹从右向左运动。

（2）相轨迹的普通点和奇点

相轨迹在相平面上任意一点处的斜率为

只要在点）处不同时满足和，相轨迹的斜率就是一个确定的值。这样，通过该点的相轨迹只有一条，相轨迹不会在该点相交，这些点是相平面上的普通点。相平面上同时满足和的点处，相轨迹的斜率为

即相轨迹的斜率不确定，通过该点的相轨迹不止一条，这些点是相轨迹的交点，称为奇点。显然，奇点只分布在相平面的x轴上。由于在奇点处，，故奇点也是系统的平衡点。稳定系统一般稳定在奇点上。

（3）相轨迹通过x轴的方向

相轨迹总是以垂直方向穿过x轴的普通点。因为在x轴上的所有点均满足，所以除去其中的奇点外，在其他点上的斜率。

（4）相轨迹的对称性

相轨迹的对称性是通过对称点上相轨迹的斜率来判断的。相轨迹对称于横轴或纵轴的条件是：对称点上的相轨迹曲线斜率大小相等、符号相反；对称于坐标原点的条件是：对称点上的曲线斜率大小相等、符号相同。若，即是的偶函数，则相轨迹对称于x轴；若，即是x的奇函数，则相轨迹对称于轴；若，则相轨迹对称于坐标原点。

（5）渐近线

在相平面图中，一种孤立的斜率等于常值的相轨迹称为渐近线。所谓孤立，是指在渐近线相轨迹的邻近区域内，其他相轨迹的斜率均不为常值。由于渐近线的斜率等于常值，表明渐近线必为直线，因此只有线性系统才可能有渐近线。

（6）极限环

极限环是指在相平面图中存在的一种孤立的封闭相轨迹。所谓孤立的封闭相轨迹是指在这类封闭曲线的邻近区域内只存在着卷向它或起始于它而卷出的相轨迹。极限环把相平面分为其内部平面和外部平面。相轨迹不能从环内穿越极限环进入环外，也不能从环外直接进入环内。极限环有稳定、不稳定和半稳定之分。分析极限环邻近相轨迹的运动特点，可以判断极限环的类型。

1）稳定极限环。如果在极限环附近，起始于极限环外部和内部的相轨迹都趋于该极限环，即环内的相轨迹发散到该环，环外的相轨迹收敛到该环，则这样的极限环称为稳定极限环，如图9-8a所示。具有稳定极限环的系统将出现自持振荡。因为稳定极限环内部的相轨迹都发散至极限环，而外部的相轨迹都收敛于极限环，从这种意义上讲，极限环内部为不稳定区域，而外部为稳定区域。对具有稳定极限环的控制系统，设计准则通常是尽量减小极限环的大小，使自持振荡的振幅尽量减小，以满足准确度的要求。

图9-8 极限环

a）稳定极限环 b）半稳定极限环1 c）半稳定极限环2 d）不稳定极限环

2）半稳定极限环。半稳定极限环如图9-8b和图9-8c所示，有两种不同的情况。一种是起始于极限环外部的相轨迹收敛于极限环，起始于极限环内部的相轨迹收敛于环内的奇点。它反映小偏差时系统稳定，大偏差时系统等幅振荡。另一种情况相反，起始于极限环外部的相轨迹从极限环发散出去，而起始于极限环内部的相轨迹发散到极限环。它反映小偏差时系统等幅振荡，大偏差时系统不稳定。

3）不稳定极限环。如果在极限环附近起始于极限环内部的相轨迹离开该极限环逐渐收敛，而起始于极限环外部的相轨迹离开该极限环而发散，则该极限环称为不稳定极限环，如图9-8d所示。在相平面上，不稳定极限环内部是稳定区域，外部是不稳定区域。对具有不稳定极限环的非线性系统，会出现小偏差时系统稳定、大偏差时系统不稳定，设计时应尽量扩大极限环，以扩大稳定区。

应当指出，只有稳定极限环所对应的周期运动在实际系统运动过程中才可以观察得到。系统中可能有两个或两个以上的极限环，但在相邻的两个极限环之间存在着卷向某个极限环，或从某个极限环卷出的相轨迹。只有非线性系统才可能出现极限环，它是非线性系统所特有的自持振荡在相平面图中的体现。

9.2.2 相平面图的绘制

1.线性系统的相轨迹

线性系统是非线性系统的特例。对于许多非线性一阶和二阶系统（系统中所含非线性环节可用分段折线表示），常可以分成多个区间进行研究，而在各个区间内，非线性系统的运动特性可用线性微分方程描述。此外，对于某些非线性微分方程，为研究各平衡状态附近的运动特性，可在平衡点附近作增量线性化处理，即对非线性微分方程中的各非线性函数作泰勒级数展开，并取一次项近似，获得平衡点处的增量线性微分方程。因此，研究线性一阶、二阶系统的相轨迹及其特点是十分必要的。下面研究线性一阶、二阶系统自由运动的相轨迹，所得结论可作为非线性一阶、二阶系统相平面法分析的基础。

（1）线性一阶系统的相轨迹

描述线性一阶系统自由运动的微分方程为

相轨迹方程为

设系统的初始条件为c（0）=c0，，相轨迹如图9-9所示。

图9-9 线性一阶系统的相轨迹

a）T<0 b）T>0

由图9-9可知，相轨迹位于过原点，斜率为-1/T的直线上。当T>0时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当T<0时，相轨迹沿该直线发散至无穷远处。

（2）线性二阶系统的相轨迹

若在式（9-7）中，是x和的线性函数，则线性二阶系统自由运动的微分方程可以表示为

分别取x和为相平面的横坐标与纵坐标，并将上式改写成

式（9-10）代表描述线性二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率。令

则有x=0，，即系统奇点的位置在坐标原点（0，0）。当ζ取不同值时，系统的特征根在复平面上的分布情况不同，相应奇点的类型也不同。

1）中心点。当ζ=0时，系统的特征根是一对纯虚根，位于复平面的虚轴上。系统的时域响应为不衰减的正弦振荡，相平面图是一簇围绕原点的椭圆。这种情况下的奇点称为中心点。

2）稳定焦点。当0<ζ<1时，系统的特征根是一对具有负实部的共轭复根，位于复平面的左半部。系统的时域响应为收敛于平衡点的周期性衰减振荡，相平面图是一簇收敛于原点的对数螺线。这种情况下的奇点称为稳定焦点。

3）稳定节点。当ζ≥1时，系统的特征根是两个负实根，位于复平面的负实轴上。系统的时域响应是收敛于平衡点的非周期性衰减运动。这种情况下的奇点称为稳定节点。

4）不稳定焦点。当-1<ζ<0时，系统的特征根是一对具有正实部的共轭复根，位于复平面的右半部。系统的时域响应是发散的周期性振荡，相轨迹的曲线也是向外发散的。这种情况下的奇点称为不稳定焦点。

5）不稳定节点。当ζ≤-1时，系统的特征根是两个正实根，位于复平面的正实轴上。系统的时域响应是非周期的发散过程，相轨迹的曲线背离奇点向外发散。这种情况下的奇点称为不稳定节点。

6）鞍点。当出现项时，线性二阶系统的微分方程则表示为

这相当于正反馈系统的情况，这时系统的特征根为一正、一负两个实根。系统的时域响应也是非周期性发散的，相轨迹中有直线和双曲线族。这种情况下的奇点称为鞍点。

这六种不同类型的奇点所对应的特征根的分布及相平面图列于表9-1中。

表9-1 奇点的类型

（续）

2.非线性系统的相轨迹

式（9-7）的非线性二阶系统的微分方程为

若函数是解析的，系统的平衡点是，则可在平衡点处将其进行小偏差线性化近似。具体方法是将在奇点处按泰勒级数公式展开成下式

得增量线性化方程为

然后按线性二阶系统分析奇点类型，确定系统在奇点附近的稳定性。也可以绘制系统的相平面图，全面研究系统的动态特性。

例9-1 已知非线性系统的微分方程为

试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。

解：系统相轨迹的斜率方程为

由，求得系统的两个奇点为（0，0）和（-2，0）0为确定奇点类型，需计算各奇点处的一阶偏导数及增量线性化方程。

在奇点（0，0）处

特征根为s_1，2=-0.25±j1.39，故奇点（0，0）为稳定焦点。

在奇点（-2，0）处

特征根为s₁=1.19，s₂=-1.69，故奇点（-2，0）为鞍点。

根据奇点的位置和奇点类型，结合线性系统奇点类型和系统运动形式的对应关系，绘制系统的相平面图，如图9-10所示。图中，相交于鞍点（-2，0）的两条相轨迹为奇线，将相平面划分为两个区域，相平面图中阴影线内区域为系统的稳定区域，阴影线外区域为系统的不稳定区域。凡初始条件位于阴影线内区域时，系统的运动均收敛至原点；凡初始条件位于阴影线外区域时，系统的运动发散至无穷大。该例说明，非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。

许多非线性系统所含有的非线性特性是分段线性的，或者可以用分段线性特性来近似。用相平面法分析这类系统时，首先根据非线性特性的线性分段情况，用分界线将相平面分成几个线性区域。然后，分别绘出在各线性区域内的相轨迹。最后，将相邻区域内的相轨迹衔接成连续的曲线，即可获得系统的相平面图。

图9-10 例9-1系统的相平面图

3.绘制相轨迹的方法

应用相平面法分析非线性系统，首先要绘制出相轨迹。下面介绍几种常用的绘制方法。

（1）解析法

一般说来，当描述系统的微分方程比较简单，或者可以分段线性化时，可采用解析法绘制相轨迹。用解析法绘制相轨迹时要先求出相轨迹方程，然后根据这个方程在相平面上作图。

解析法求相轨迹方程有两种方法：第一种方法是对斜率方程进行积分求相轨迹方程；第二种方法是根据系统的微分方程分别求出时间解x（t）和，然后再从这两个关系式中消去时间变量t，便得相轨迹方程。

式（9-7）的非线性二阶系统的微分方程为

相轨迹的斜率方程为

若斜率方程比较简单，可直接进行积分，求得包含初始条件的相轨迹方程。

例9-2 卫星控制系统。简单卫星模型的控制系统如图9-11所示，u为推进器提供的转矩，θ为卫星天线的指向角度。图9-11a所示的卫星是由一对推进器控制的旋转惯性体，正向点火时能提供恒值正向转矩U，而反向点火时能提供恒值反向转矩-U。该控制系统的目的是通过合理控制喷嘴的点火，维持卫星天线的指向角度为零，即θ_d=0。试绘制卫星控制系统的相轨迹。

图9-11 卫星控制系统

解：系统的运动方程为

考虑到e=θ_d-θ=-θ，代入运动方程得

可以写为

进行分离变量法积分，得到相轨迹方程为

由上式可知，，，为系统的初始条件。由相轨迹方程可绘制卫星控制系统的相轨迹图如图9-12所示。

绘制图9-12的MATLAB程序：prog92.m

t1=0;0.01:2;t2=0:0.01:4;t3=0:0.01:6;

[t1,x1]=ode45（'sys92',t1,[0 1]）;

[t2,x2]=ode45（'sys92',t2,[0 2]）;

[t3,x3]=ode45（'sys92',t3,[0 3]）;

plot（x1（:,1）,x1（:,2）,x2（:,1）,x2（:,2）,x3（:,1）,x3（:,2））

调用函数:sys92.m

function dx=sys92（t,x）

dx1=x（2）;

ifx（1）>=0

dx2=-1;

else dx2=1;

end

dx=[dx1 dx2]';

图9-12 例9-2系统的相平面图

例9-3 系统的微分方程为

其中，0<ζ<1。试绘制系统的相平面图。

解：式（9-12）可以改写为

上式不能直接进行积分，故采用求出时间解的解法。解式（9-12），得系统的时间解为

式中，；常量A、φ由初始条件确定，其值为

式（9-13）对时间求导得

由式（9-13）和式（9-14）消去t，得到相轨迹方程为

式中，常量。

令rcosθ=ω_dx，将式（9-15）化为下列极坐标形式

式（9-16）是对数螺旋线方程。随着t的增大，θ不断增大，r不断减小，因此系统的相轨迹是从外面向平衡点（即奇点）不断趋近的一簇向心螺旋线。设系统的参数为ζ=0.5，ω_n=1，可绘制不同初始条件下的相轨迹如图9-13所示。

（2）等倾线法

任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似。如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜率，就可作出通过该点的相轨迹切线方向的短线，用它来近似该点附近的相轨迹曲线。

相轨迹斜率为常数的点连成的曲线即为等倾线。式（9-8）的相轨迹斜率方程为

图9-13 例9-3系统的相平面图

该方程给出了相轨迹在相平面上任一点处切线的斜率。取相轨迹切线的斜率为某一常数α，得等倾线方程

对应每一个α值，由该方程可在相平面上画出一条曲线。当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的值，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，并在等倾线上各点处作斜率为α的短直线。相轨迹的绘制过程如下：

首先确定相轨迹斜率为不同常数值的等倾线，然后在每一条等倾线上画出代表相轨迹斜率的短线，最后从初始点出发，光滑连接相平面上的短线段即可绘制出系统的相轨迹曲线。

等倾线法又称折线法，它是绘制相轨迹的一种作图方法，不需要求解微分方程。对于求解困难的非线性微分方程，图解方法显得尤为实用。

例9-4 范达波尔（Vanderpol）微分方程

这是一个著名的非线性微分方程，当μ取不同数值时，它可以描述许多不同非线性系统的物理过程。当μ=1时，试用等倾线法在相平面内绘制这个方程的相平面图。

解：（1）确定平衡点的坐标。

令范达波尔微分方程中，，得到

于是平衡点坐标为。

（2）确定平衡点的类型。

将范达波尔方程在平衡点（0，0）的邻域内线性化，得到的线性化模型为

其特征方程为

λ²-μλ+1=0

两个特征根为

当μ<2时，平衡点（0，0）为不稳定焦点；当μ>2时，平衡点（0，0）为不稳定节点。给定μ=1，则平衡点（0，0）为不稳定焦点。

（3）等倾线方程。

按式（9-8）求范达波尔方程的相轨迹斜率，并令其为常数，则有

当μ=1时，等倾线方程为

（4）画相轨迹。

在相平面内按等倾线方程画出不同α值的等倾线。画出一些给定初始状态的相轨迹，得到一个稳定极限环如图9-14所示。这表明，当μ=1时，范达波尔方程描述的非线性系统将产生一个稳定的周期振荡（即自持振荡）。

图9-14 例9-4系统的相平面图

9.2.3 非线性控制系统的相平面分析

在非线性控制系统中，常见的非线性环节有些是分段线性的，有些可以用分段线性来近似。这样，一个非线性系统就可以通过几个分段线性的系统来近似。在用相平面法分析时，首先要根据非线性特性的分段情况，将相平面分成几个区，即所谓“非线性分段，相平面分区”。然后列写各区的线性微分方程，画出各区的相轨迹，最后根据系统状态变化的连续性，在各区的分界线上，将相轨迹彼此衔接成连续曲线。通常将各区域的分界线称为切换线。在切换线上相轨迹的衔接点称为切换点。

在分区绘制相轨迹时，首先要确定奇点的位置和类型，它们均取决于支配该区域工作状态的微分方程，也可能与输入信号的形式和大小有关。每个区域都可能具有奇点，奇点的位置可以在本区域之内，也可以在本区域之外。如果奇点的位置在本区域之内，称为实奇点，该区的相轨迹可以汇集于这个实奇点；如果奇点的位置在本区域之外，则称为虚奇点，该区的相轨迹不可能汇集于虚奇点。在非线性二阶控制系统中，只能有一个实奇点，而其余的奇点都是虚奇点。辨明虚、实奇点对于正确分析系统的运动是非常重要的。

用相平面法分析可以分段线性化的非线性系统的一般步骤如下：

1）将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出各段的数学表达式。

2）选择合适的坐标，常用误差e及其导数分别作为相平面的横坐标和纵坐标，根据非线性特性将相平面分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。

3）确定每个区域奇点的类型和在相平面上的位置。奇点的位置还与输入信号的形式和大小有关。

4）画出各区的相轨迹。

5）在切换点上将相邻区域的相轨迹连接起来。

1.具有饱和特性的非线性控制系统

设具有饱和特性的非线性控制系统如图9-15所示。图中，T=1，K=4，a=0.2，b=0.2。假设系统初始状态为零，即c（0）=0，。

图9-15 具有饱和特性的非线性控制系统

线性环节的微分方程为

其中，饱和特性的数学表达式为

考虑到e=r-c，代入线性环节的微分方程，得到在相平面内的三个分区线性微分方程

可知分界线e=-a和e=a将相平面分为负饱和区、线性区和正饱和区，对应相平面图中的Ⅰ区、Ⅱ区和Ⅲ区。下面分别研究系统在r（t）=R·1（t）和r（t）=R+V₀t作用下的相轨迹。

1）r（t）=R·1（t）。整理式（9-17）得

Ⅰ区：系统的微分方程为

由上式可知

相轨迹无奇点。而等倾线方程为

令其斜率等于相轨迹的斜率，即时，得相轨迹的渐近线为。

Ⅱ区：系统的微分方程为

由上式可求得相轨迹有一个奇点（0，0），且该奇点为实奇点。代入给定参数求得微分方程的特征根为s_1，2=-0.5±j1.94，对应相轨迹的奇点为稳定焦点。

Ⅲ区：系统的微分方程为

由上式可知

相轨迹无奇点。而等倾线方程为

令其斜率等于相轨迹的斜率，即时，得相轨迹的渐近线为。

由初始条件和给定输入得e（0）=r（0）-c（0）=R，，则相轨迹的起始点为点（R，0）。利用等倾线法，并结合相轨迹的特点，绘制系统的相轨迹如图9-16所示。相轨迹最终趋于坐标原点，系统稳定。

图9-16 阶跃输入作用下的相平面图

2）r（t）=R+V₀t。由，，可得下述三个分区线性微分方程

仿照1）的讨论，在给定参数值下，线性区的奇点（V₀/K，0）为稳定焦点；Ⅰ区内的渐近线为；Ⅲ区内的渐近线为。r（t）=R+V₀t对系统运动的影响，与r（t）=R·1（t）的情况相比较，奇点将沿横轴向右平移V₀/k，两条渐近线将沿纵轴向上平移V₀。由初始条件和给定输入得，e（0）=r（0）-c（0）=R，，则相轨迹的起始点为点（R，V₀）。由于系统参数及给定输入信号变化速率的不同，引起奇点和渐近线的位置变化，使得奇点的虚实性发生变化，从而导致系统相轨迹的运动变得复杂，因此需根据系统参数及给定输入信号变化速率的不同，分别加以研究。下面仅讨论其中的三种情况。

当V₀=1.2>Kb时，在线性区内相轨迹的奇点（0.3，0）为稳定焦点，且为虚奇点。饱和区的两条渐近线和均位于相平面的上半平面。系统的相平面图如图9-17a所示，起始于任何初始点的相轨迹将沿正饱和区的渐近线发散至无穷远处。

当V₀=0.4<Kb时，在线性区内相轨迹的奇点（0.1，0）为稳定焦点，且为实奇点。负饱和区和正饱和区的两条渐近线和分别位于相平面的上半平面和下半平面。系统的相平面图如图9-17b所示，起始于任何初始点的相轨迹最终都收敛于实奇点（0.1，0），系统的稳态误差为0.1。

当V₀=0.8=Kb时，在线性区内相轨迹的奇点（0.2，0）为稳定焦点，且为实奇点，位于开关线e=a上。负饱和区存在一条渐近线。正饱和区的线性微分方程为

按线性系统的相轨迹分析可知，该区域内的相轨迹是斜率为-1/T的直线，该区域内横轴上的各点都是奇点。起始于任何初始点的相轨迹最终都稳定在e≥0.2的横轴上，系统存在稳态误差，稳态误差的大小取决于初始条件。相平面图如图9-17c所示。

图9-17 斜坡输入作用下的相平面图

2.具有变增益特性的非线性控制系统

设具有变增益特性的非线性控制系统如图9-18所示。假设系统初始状态为零，即c（0）=0，。

线性环节的微分方程为

其中，变增益特性的数学表达式为

图9-18 具有变增益特性的非线性控制系统

考虑到e=r-c，代入线性环节的微分方程，得到在相平面内的两个分区线性微分方程为

可知分界线e=-a和e=a将相平面分为增益不同的两个区，对应相平面图中的Ⅰ区和Ⅱ区。下面分别研究系统在r（t）=R·1（t）和r（t）=R+V₀t作用下的相轨迹。

（1）r（t）=R.1（t）时系统的运动分析

整理式（9-18）得

非线性增益特性是为了解决系统的快速性与平稳性之间的矛盾而引入的非线性环节，故k₁、k₂应按如下原则取值：为保证系统的快速性，使系统在Ⅱ区工作于欠阻尼状态，相应的奇点（0，0）为稳定焦点；为保证系统的平稳性，在Ⅰ区使系统工作在临界阻尼状态，相应的奇点（0，0）为稳定节点。

由式（9-19）计算出Ⅰ区相轨迹的渐近线后，便可参照表9-1中稳定焦点和稳定节点的相轨迹，注意相轨迹垂直穿越横轴、相似成比例特性和相点运动的连续性等绘制出系统的概略相图。图9-19画出了系统在零初态、单位阶跃输入作用下的一条相轨迹。Ⅰ区的奇点为实奇点，Ⅱ区的奇点为虚奇点，系统稳定在Ⅰ区的实奇点上。因Ⅰ区相轨迹属稳定节点相轨迹，故系统的振荡次数大大减少；因Ⅱ区相轨迹属稳定焦点相轨迹，相点运动的平均速度高，系统的快速性好。

图9-20 变增益特性非线性控制系统的单位阶跃响应曲线

当参数取值为T=0.5、K=5、k₁=0.1、k₂=0.3、a=0.7时，非线性增益控制系统的单位阶跃响应曲线如图9-20所示。曲线①对应增益取值较大，系统快速性好，但超调量大，振荡次数多；曲线②对应增益取值较小，则超调量和振荡次数将减小，甚至没有超调，但快速性较差；采用变增益非线性环节，误差较大时增益较大以保证系统的快速性，误差较小时增益较小以保证系统的平稳性，从而获得了较理想的响应曲线③。

（2）r（t）=R+V₀t时系统的运动分析

整理式（9-18）得

由式（9-20）可知，Ⅰ区的奇点P₁位于点（V₀/Kk₁，0），是稳定节点；Ⅱ区的奇点P₂位于点（V₀/Kk₂，0），是稳定焦点。因k₂>k₁，故P₂位于P₁的左边。

奇点P₁、P₂的虚实性取决于输入信号速度V₀的大小，分以下三种情况进行讨论：

1）当|V₀|<Kk₁a时，P₁为实奇点，P₂为虚奇点。系统稳定在实奇点P₁上，稳态误差为e（∞）=V₀/kk₁。相平面图如图9-21a所示。

2）当Kk₁a<|V₀|<Kk₂a时，P₁与P₂均为虚奇点。系统的相轨迹没有实奇点，既不会稳定在Ⅰ区，又不会稳定在Ⅱ区，最终收敛于Ⅰ、Ⅱ区的分界线与实轴的交点上，稳态误差为|e（∞）|=a。相平面图如图9-21b所示。

3）当|V₀|>Kk₂a时，P₁为虚奇点，P₂为实奇点。系统稳定在实奇点P₂上，稳态误差为e（∞）=V₀/Kk₂。相平面图如图9-21c所示。

图9-21 斜坡输入作用下的相平面图

系统在斜坡输入作用下，其主要矛盾不是快速性和平稳性之间的矛盾，而是动、静态品质之间的矛盾。由图9-21可知，非线性增益特性并不能解决上述矛盾。

3.具有继电特性的非线性控制系统

设具有继电特性的非线性控制系统如图9-22所示，分析在阶跃输入r（t）=R.1（t）作用下系统的运动。

线性环节的微分方程为

其中，继电特性的数学表达式为

考虑到e=r-c，代入线性环节的微分方程，得在相平面e-è.内的两个分区线性微分方程

由式（9-21）可知，分界线e=0将相平面分为左右两个区，右半平面为Ⅰ区，左半平面为Ⅱ区。在阶跃输入r（t）=R·1（t）作用下系统的分区线性微分方程为

图9-22 具有继电特性的非线性控制系统

Ⅰ区：等倾线方程为

渐近线为

等倾线是平行于e轴的一簇直线，用等倾线法可画出不同初始条件的相轨迹是沿水平方向平移的一簇曲线，相轨迹都趋向于渐近线。

Ⅱ区：等倾线方程为

渐近线为

等倾线是平行于e轴的一簇直线，用等倾线法可画出不同初始条件的相轨迹是沿水平方向平移的一簇曲线，相轨迹都趋向于渐近线。

由式（9-22）可判断系统在两个区域的相轨迹关于原点对称，因此在绘制Ⅰ区和Ⅱ区的相轨迹时可以利用其对称性。使用等倾线法并考虑相轨迹的特点，绘制出系统的相轨迹如图9-23所示。无论系统的初始相点落在何处，相点最终收敛于坐标原点。在阶跃函数作用下，系统从起始点（R，0）开始的相轨迹如图9-23中的实线所示，运动曲线呈衰减振荡，静态误差为零。系统在大偏差时衰减快；进入小偏差后，由于相轨迹在横轴邻近区域的上下近似对称，系统衰减小，振荡次数多。

当继电元件存在延时τ时，可绘制系统的相轨迹如图9-24所示。继电元件的延时使相平面的分界线按顺时针方向偏转一个角度θ，如图9-24中直线AB所示。当相轨迹与纵轴相交时的坐标值为时，则偏转角度为

图9-23 理想继电特性系统的相平面图

图9-24 存在继电延时系统的相平面图

由图9-24可以看出，系统在大偏差时收敛，分界线的偏转引起系统在小偏差时发散，相轨迹形成稳定的极限环，运动曲线呈现自持振荡。

为了克服理想继电特性系统小偏差时衰减慢、振荡次数多的缺点，可引进速度反馈校正，如图9-25所示。

系统在阶跃输入作用下，其分界线方程为

分界线是一条过原点、斜率为-1/K_s的直线，将相平面分为Ⅰ、Ⅱ两个线性域。带速度反馈校正的继电型非线性系统的相轨迹如图9-26所示。速度反馈使相平面图的分界线按逆时针方向偏转一个角度，如图9-26中直线AB所示。Ⅰ区位于直线AB的右上方，对应继电特性输出为M时系统的相轨迹；Ⅱ区位于直线AB的左下方，对应继电特性输出为-M时系统的相轨迹。曲线①是与分界线AB相切且仍为M控制的一条相轨迹，切点为P₁；曲线②是与分界线AB相切且仍为-M控制的一条相轨迹，切点为P₂。当相轨迹进入分界线上的P₁P₂线段上时，相点将沿分界线滑动到坐标原点。

图9-25 具有速度反馈的非线性控制系统

图9-26 带速度反馈校正的继电型非线性系统的相轨迹

加入速度反馈校正后，系统相平面图的分界线逆时针方向偏转，致使阶跃响应的超调量减小，振荡次数减少，调节时间缩短。