9.1 概述

9.1.1 非线性系统

非线性系统与线性系统之间存在着本质的差别：对于线性系统，当有小的输入变化时，必定引起小的输出变化，大的输入变化对应于大的输出变化；而非线性系统则不然，小的输入变化可引起大的输出变化，大的输入变化倒不一定引起大的输出变化。

凡是输入和输出关系不是线性成比例变化的环节，称之为非线性环节。如果一个控制系统中含有一个或一个以上的非线性环节，则称这种系统为非线性控制系统，简称非线性系统。由于物理系统本质上是非线性的，因此所有的系统在一定程度上都是非线性系统。

非线性系统无处不在，例如图9-1a所示的质量-阻尼器-弹簧构成的非线性机械系统。该系统含有非线性弹簧，根据牛顿第二定律建立描述系统的非线性微分方程为

式中，k（y）（=k₁y+k₂y³）为非线性弹簧力；m为物体的质量；f为黏性摩擦系数；F为外力；k₁、k₂为常数。参数m、f和k₁为正的常数，而k₂为表征系统非线性程度的参数。当k₂>0时，相应的非线性弹簧为硬弹簧；当k₂<0时，相应的非线性弹簧为软弹簧。弹簧力的特性如图9-1b所示，由图可知，弹簧力是弹簧位移y的非线性函数。式（9-1）是非线性力学中经常讨论的杜芬（Duffing）方程。

图9-1 非线性机械系统

在控制系统中存在各种非线性特性，例如随动系统的齿轮传动具有齿隙和干摩擦等，许多执行机构都不可能无限制地增加其输出功率而存在饱和非线性特性。对于非线性控制系统，若非线性程度较小，在一定的工作范围和条件下可以近似为线性系统时，可运用小偏差法将非线性模型线性化，这样便可采用线性系统的方法进行分析和设计，这种非线性称为非本质非线性。但是，对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，只有使用非线性系统的分析和设计方法，才能得到正确的结果，这种非线性称为本质非线性。有些非线性对系统的运行是有害的，应设法克服它的有害影响；有些非线性是有益的，应在设计时予以考虑。由于非线性系统的复杂性和普遍性，因此，从事控制工程的工程师和研究人员应对非线性控制系统的分析研究予以极大的关注。

9.1.2 常见的非线性特性

为了便于分析非线性控制系统，采用简单的折线代替实际的非线性曲线，将非线性特性典型化，而由此产生的误差一般处于工程所允许的范围之内。在非线性控制系统中的非线性特性，有的是组成系统的元器件所固有的，如饱和、死区、间隙、摩擦、滞环等；有的是为了改善系统的性能而加入的，如继电器、变增益放大器等。下面简要地介绍在非线性控制系统中常见的非线性特性及其对系统性能的影响。

1.饱和特性

饱和特性如图9-2所示，图中，x、y为非线性元件的输入、输出信号，其数学表达式为

式中，a为线性区宽度；k为线性区的斜率；开关函数sgnx（t）为

图9-2 饱和特性

当输入信号在一定范围内时，饱和特性的输出与输入之间具有线性关系；当输入信号超过该范围时，其输出不再随输入变化而变化，将保持不变，出现所谓饱和现象。这种现象在铁磁元器件及各种放大器中都存在。在存在饱和特性的控制系统中，系统在大信号作用下的等效增益降低，使系统的稳态性能、快速性等变差，深度饱和情况下，甚至使系统丧失闭环控制作用。但饱和非线性并非只给系统带来不利影响，有些系统有目的地利用饱和特性作信号限幅，如限制功率、电压、电流、行程等，以保证系统或元器件能在额定和安全情况下运行。

2.死区特性

死区特性如图9-3所示，其数学表达式为

式中，a为死区宽度；k为线性输出的斜率。

图9-3 死区特性

死区又称为不灵敏区。当输入信号的幅值较小时，死区特性无输出；当输入信号的幅值大于一定数值时，其输出随输入线性变化。控制系统中的测量元件、执行元件（如伺服电动机、液压缸）等一般都具有死区特性。例如测量元件对小输入信号不敏感，伺服电动机只有在输入信号大到一定程度以后才会动作。控制系统中的死区特性，将使系统的稳态误差增加。一般说来，在控制系统的前向通道中，前面环节的死区特性对系统造成的影响较大，而后面环节的死区特性对系统的不良影响可以通过提高前级环节的放大系数来减小。

3.间隙特性

间隙特性如图9-4所示，其数学表达式为

式中，2a为间隙宽度；k为线性段的斜率。

间隙特性的输出不但与输入信号的大小有关，而且与输入信号增加或减小的方向有关。从图9-4中可以看出，间隙特性形成了一个回环，即输入输出关系不是单值对应的。齿轮传动的齿隙及液压传动的油隙等都属于间隙特性。在齿轮传动中，由于间隙存在，当主动齿轮方向改变时，从动轮保持原位不动，直到间隙消除后才改变转动方向。控制系统中存在间隙特性时，将使系统的输出信号在相位上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少、动态性能变差。另外，间隙特性的存在还常常引起系统的自持振荡和稳态误差的增加。因此应尽量减小和避免间隙，如采用双片弹性无隙齿轮代替一般的齿轮，采用低速的力矩电动机来代替减速齿轮箱等。

图9-4 间隙特性

4.变增益特性

变增益特性如图9-5所示，其数学表达式为

式中，a为切换点；k₁、k₂为变增益特性的斜率。

对于变增益特性，当输入信号幅值不同时，其放大系数也可能不同。当误差信号大时，使系统具有较大的放大系数，从而使系统的响应迅速且稳态性能变好；当误差信号小时，使系统具有较小的放大系数，从而使系统的响应既缓慢且平稳。具有这种非线性特性的系统，其动态品质较好。

图9-5 变增益特性

5.继电器特性

实际的继电器特性如图9-6a所示，其数学表达式为

式中，a为继电器吸合电压；ma为继电器释放电压；M为饱和输出。

由于继电器吸合与释放状态下磁路的磁阻不同，其吸合电压与释放电压一般不相等。当a=0时，即继电器吸合电压和释放电压均为零，典型的继电器特性退化为理想继电器特性，如图9-6b所示。当m=1，a≠0时，即吸合电压和释放电压相等，则成为死区继电器特性，如图9-6c所示。当m=-1，a≠0时，即正向释放电压等于反向吸合电压而反向释放电压等于正向吸合电压，则成为滞环继电器特性，如图9-6d所示。在控制系统中，继电器特性通常会使系统产生自持振荡，系统的稳态误差增大，甚至导致系统不稳定。但继电器特性能够使执行机构在最大工作范围内工作，实现快速控制。

图9-6 继电器特性

a）死区-滞环继电器特性 b）理想继电器特性 c）死区继电器特性 d）滞环继电器特性

9.1.3 非线性控制系统的特点

非线性系统与线性系统相比，在数学模型、稳定性、平衡状态、频率响应、时间响应等诸多方面均存在显著的差别，且非线性系统具有线性系统所没有的许多特点。这些差别主要体现在以下几个方面。

（1）系统的运动方程

线性系统的运动方程用线性微分方程来表示，满足叠加原理。在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分别求出每个信号单独作用的响应，然后叠加在一起就可以求出总的响应。这给线性系统的分析与综合带来了很大方便。而非线性系统需要用非线性常微分方程或更加复杂的非线性微分方程描述，不能应用叠加原理。

（2）稳定性和平衡状态

线性系统的稳定性完全取决于系统本身的结构和参数，而与系统的输入信号和初始条件无关。稳定的线性系统只有一个平衡状态。然而，非线性系统的稳定性不仅取决于系统本身的结构和参数，而且还与系统的输入信号和初始条件有关。非线性系统可能有一个或多个平衡状态。

同一个非线性系统，当输入信号不同（输入信号的函数形式不同，或函数形式相同但幅值不同）或初始条件不同时，该非线性系统的稳定性都可能不同。在研究非线性系统的稳定性问题时，不应笼统地讲系统是否稳定，必须明确两点：一是指明给定系统的初始状态；二是指明系统相对于哪一个平衡状态来分析稳定性。非线性系统的稳定性问题比线性系统要复杂得多，没有一个适用于分析所有非线性系统的通用方法。

（3）正弦响应

在线性系统中，输入为正弦函数时，稳态输出也是频率相同的正弦函数，两者仅在幅值和相位上有所不同，因而可以用频率特性法分析和综合校正系统。但对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通常是包含有一定数量的高次谐波的非正弦函数。非线性系统还可能出现跳跃谐振、倍频振荡和分频振荡等现象，所以不能用频率特性法分析和综合校正系统。

（4）自持振荡

线性系统的运动状态或者收敛于平衡状态，或者发散。只有当系统处于临界稳定状态时，才会出现等幅振荡，但在实际的情况下这种状态是不能持久的。只要系统参数稍有变化，这一临界状态就不能继续，而变为发散或收敛。然而在非线性系统中，除了发散或收敛于平衡状态两种运动状态外，即使没有外界作用存在，系统也可能会产生某一固定振幅和频率的振荡，这种振荡称为自持振荡、自振荡或自激振荡。改变系统的结构和参数，能够改变这种自持振荡的频率和振幅。这是非线性系统所独具的特殊现象，是非线性理论研究的重要问题。

由于非线性系统的复杂性与特殊性，使得非线性问题的求解相当困难。对于非线性系统，还缺乏具有普遍意义的分析研究方法。对于非本质非线性系统，通常将其近似成线性系统来研究；对于本质非线性系统，工程上常用相平面法和描述函数法来分析研究非线性系统。随着计算机仿真技术的发展，数值求解非线性微分方程，对非线性系统进行仿真研究已成为研究非线性系统的重要手段。