4.5 同态滤波器
同态滤波是一种在频域中同时压缩图像亮度范围、增强图像对比度的方法。同态滤波也可用于消除图像中的乘性噪声。
4.5.1 同态滤波流程
同态滤波基于2.2节介绍的亮度成像模型。在2.2节中提到，可以将一幅图像f(x, y)表示成它的照度分量i(x, y)与反射分量r(x, y)的乘积。根据该模型，可用下列方法把这两个分量分离开来并分别进行滤波，整个流程如图4-17所示。
图4-17 同态滤波流程
（1）先对式（2-3）的两边同时取对数，即
（2）对式（4-35）两边进行傅里叶变换，得
（3）用函数H(u, v)处理F(u, v)，得
（4）将处理结果反变换到空域中，得
可见增强后的图像是由分别对应照度分量与反射分量的两个部分叠加而成的。
（5）再将式（4-38）的两边取指数，得
这里，H(u, v)称为同态滤波函数，它可以分别作用于照度分量和反射分量。因为一般来说照度分量在空间变化比较缓慢，而反射分量（由物体表面性质决定）在不同物体的交界处会急剧变化，所以图像对数的傅里叶变换结果中的低频部分主要对应照度分量，而高频部分主要对应反射分量。以上特性表明，可以设计一个对傅里叶变换结果中高频分量和低频分量影响不同的H(u, v)。
同态滤波函数剖面图如图4-18所示，将它绕纵轴转360°就得到完整的2D的H(u, v)。如果选择HL<1，HH>1，那么H(u, v)就会在削弱图像中的低频分量的同时加强图像中的高频分量，最终结果是压缩了图像整体的动态范围（低频分量减少了）并增加了图像相邻各部分之间的对比度（高频分量增加了）。
图4-18 同态滤波函数剖面图
通过观察图4-18可以发现，同态滤波函数与4.3节的高通滤波器的转移函数有类似的形状。事实上，可以用高通滤波器的转移函数来逼近同态滤波函数，只要将原来在[0, 1]中定义的高通滤波器转移函数映射到[HL, HH]中，然后再加上HL就可以了。如果高通滤波器的转移函数用Hhigh(u, v)表示，同态滤波函数用Hhomo(u, v)表示，则由Hhigh(u, v)到Hhomo(u, v)的映射为
例4-12 同态滤波增强效果示例
图4-19所示是同态滤波增强效果示例。
图4-19 同态滤波增强效果示例
图4-19(a)为一幅人脸图像，单侧光照明使得人脸在图像的右侧产生阴影，发际线很不清晰。图4-19(b)为用HL=0.5、HH=2.0进行同态滤波得到的增强结果。在进行图像增强后，人脸与头发明显分开，另外衣领也看出来了。在本例中，同态滤波使动态范围压缩（如眼睛处）并使对比度增加（如人脸与头发交界处）。
4.5.2 同态滤波消噪
4.2～4.4节介绍的低通、高通、带通和带阻等线性滤波器可以较好地消除线性叠加在图像上的加性噪声，但实际应用中的噪声和图像也常以非线性的方式结合。一个典型的例子就是光源照明成像，其中光的入射和物体的反射以相乘的形式对成像做出贡献，这样一来成像中的噪声与物体也是相乘的关系，这也正是本节介绍的同态滤波使用的亮度成像模式。在同态滤波消噪中，先利用非线性的对数变换将乘性噪声转化为加性噪声，然后就可用线性滤波器来进行消除，最后可进行非线性的指数反变换以获得原始的“无噪声”图像。
关于同态滤波消噪，可做如下分析。
考虑获得的带有噪声的图像为
其中，f(x, y)是无噪声图像；n(x, y)是噪声且满足|n(x, y)|<<1。对两边同取对数得到
如果能将n(x, y)完全从ln[g(x, y)]中消除，那么就可获得对f(x, y)的比较准确的逼近。
同态滤波原理可在任何噪声模型能化为式（4-43）的情况下工作：
其中，g(x, y)是采集到的图像；H代表非线性可逆变换；N(u, v)是对应的噪声频谱。