4.4 带通带阻滤波器
带通滤波器和带阻滤波器是两种密切相关、互相补充的滤波器。
4.4.1 带通滤波器
顾名思义，带通滤波器是允许一定频率范围内的信号通过而阻止其他频率范围内的信号通过的滤波器。带通滤波器可看作低通滤波器或高通滤波器的扩展。考虑一个低通滤波器，其允许通过的频率范围为[0,D0]，其中D0是截止频率。如果将上述频率范围的下限从0提高到小于D0的D1，则该滤波器成为允许频率范围[D1, D0]内信号通过的带通滤波器。类似地，考虑一个高通滤波器，其允许通过的频率范围为[D0，∞]，其中D0是截止频率。如果将上述频率范围的上限从∞下降到大于D0的D2，则该滤波器成为允许频率范围[D0,D2]内信号通过的带通滤波器。
在实际应用中，允许以频率原点为中心的圆环带内信号通过的带通滤波器是放射对称的。一个放射对称的理想带通滤波器的转移函数为
其中，W为圆环带的宽度，D0为圆环带中心的频率。
例4-6 放射对称的带通滤波器转移函数透视图
放射对称的带通滤波器转移函数透视图如图4-11所示。
图4-11 放射对称的带通滤波器转移函数透视图
一个n阶放射对称的巴特沃斯带通滤波器的转移函数为
其中，W和D0同式（4-19）。
4.4.2 带阻滤波器
顾名思义，带阻滤波器是阻止一定频率范围内的信号通过而允许其他频率范围内的信号通过的滤波器。带阻滤波器也可看作低通滤波器或高通滤波器的扩展。考虑一个低通滤波器，其允许通过的频率范围为[0, D0]，其中D0是截止频率。如果还允许从D1（大于D0的频率）到∞的信号通过，则该滤波器成为阻止频率范围[D0, D1]内信号通过的带阻滤波器。类似地，考虑一个高通滤波器，其允许通过的频率范围为[D0, ∞]，其中D0是截止频率。如果还允许从0到D2（小于D0的频率）的信号通过，则该滤波器成为阻止频率范围[D2, D0]内信号通过的带阻滤波器。
在实际应用中，阻止以频率原点为中心的圆环带内信号通过的带阻滤波器是放射对称的。一个放射对称的理想带阻滤波器的转移函数为
其中，W为圆环带的宽度；D0为圆环带中心的频率。
例4-7 放射对称的带阻滤波器转移函数透视图
放射对称的带阻滤波器转移函数透视图如图4-12所示。
图4-12 放射对称的带阻滤波器转移函数透视图
一个n阶放射对称的巴特沃斯带阻滤波器的转移函数为
其中，W和D0同式（4-21）。
4.4.3 带通滤波器和带阻滤波器的联系
带通滤波器和带阻滤波器是互补的。如果设HR(u, v)为带阻滤波器的转移函数，则对应的带通滤波器的转移函数HP(u, v)只需将HR(u, v)翻转即可：
进一步的分析可以通过比较式（4-19）、式（4-21）及式（4-20）、式（4-22）来进行。
由式（4-23）可见，如果利用带通滤波器把某个带中频率分量提取出来，然后将其从图像中去除，也可获得消除或削弱图像中某个频率范围内的分量的效果。
例4-8 各种滤波器的效果比较
图4-13给出各种滤波效果比较示例。图4-13(a)是原始图像；图4-13(b)是低通滤波器的示意图，中心低频部分（白色）可通过，周围高频部分（灰色）通不过；图4-13(c)是低通滤波结果；图4-13(d)是高通滤波器的示意图，中心低频部分通不过，周围高频部分可通过；图4-13(e)是高通滤波结果；图4-13(f)是带通滤波器的示意图，中心低频部分通不过，中部一定范围的中频部分可通过，外侧的高频部分通不过；图4-13(g)是带通滤波结果；图4-13(h)是带阻滤波结果，所用带阻滤波器的示意图正好与图4-13(f)互补。
图4-13 各种滤波器效果比较示例
4.4.4 陷波滤波器
陷波滤波器可以阻止或允许以某个频率为中心的邻域里的频率通过，所以其在本质上仍然是带阻滤波器或带通滤波器，并且可分别称为带阻陷波滤波器和带通陷波滤波器。
在2D图像中，一个用于消除以(u0, v0)为中心、以D0为半径的区域内所有频率的理想带阻陷波滤波器的转移函数为
其中，
傅里叶变换有对称性，为了消除并不以原点为中心的给定区域内的频率，带阻陷波滤波器必须两两对称地工作，即式（4-24）和式（4-25）需要改成
其中，
例4-9 理想带阻陷波滤波器转移函数透视图
图4-14所示是理想带阻陷波滤波器转移函数透视图。
图4-14 理想带阻陷波滤波器转移函数透视图
类似于带通滤波器和带阻滤波器的互补关系，带通陷波滤波器和带阻陷波滤波器也是互补的。由理想带阻陷波滤波器可得到理想带通陷波滤波器。
例4-10 理想带通陷波滤波器转移函数透视图
图4-15所示是理想带通陷波滤波器转移函数透视图。
图4-15 理想带通陷波滤波器转移函数透视图
一个n阶巴特沃斯带阻陷波滤波器的转移函数为
一个高斯带阻陷波滤波器的转移函数为
巴特沃斯带阻陷波滤波器和高斯带阻陷波滤波器在u0=v0=0时都成为高通滤波器。考虑到带通滤波器和带阻滤波器的互补关系，当u0=v0=0时，各种带通陷波滤波器都会成为低通滤波器。
4.4.5 交互消除周期噪声
借助陷波滤波器，可以消除周期噪声，但这需要噪声频率的先验知识。如果事先知道周期噪声的频率，可以设计相应的滤波器自动进行噪声消除。如果事先不知道周期噪声的频率，可以将退化图像的频谱幅度图G(u, v)显示出来。由于单频率的噪声会在频谱幅度图上产生两个离坐标原点较远的亮点，这样很容易依靠视觉观察在频域中交互地确定出脉冲分量的位置并在该位置利用带阻滤波器消除它们。这种人机交互能提高图像恢复的灵活性和效率。
在实际应用中，周期噪声常有多个频率分量，为此需要提取其中的主要频率。这需要在频域里在对应每个亮点的位置上放一个带通滤波器H(u, v)。如果构造的H(u, v)仅允许通过与干扰模式相关的分量，那么这种结构模式的傅里叶变换为
为构造这样一个H(u, v)，需要进行许多判断以确定每个亮点是否是干扰亮点。所以这项工作常需要通过观察G(u, v)的频谱显示来交互地完成。在一个滤波器确定后，周期噪声可由式（4-32）得到：
如果能完全确定p(x, y)，那么从g(x, y)中减去p(x, y)就可得到f(x, y)。在实际应用中，只能得到这个模式的某种近似。为减少在对p(x, y)的估计中未顾及的分量的影响，可从g(x, y)中减去加权的p(x, y)以得到f(x, y)的近似fe(x, y)。即
其中，w(x, y)为权函数，通过改变它可以获得在某种意义下最优的结果。
例4-11 交互式恢复示例
用交互式恢复消除正弦干扰模式（一种周期噪声），如图4-16所示。图4-16(a)为一幅受到正弦干扰模式覆盖的图像；图4-16(b)是它的傅里叶频谱幅度图，其上有一对较明显的（脉冲）白点（亮线相交处）。这是因为，如果正弦干扰模式s(x, y)的幅度为A，频率分量为(u0, v0)，即s(x, y)=Asin(u0x+v0y)，则它的傅里叶变换是
式（4-34）中只有虚分量，代表一对频率平面上坐标分别为(u0/2π, v0/2π)和(-u0/2π, -v0/2π)而强度分别为-A/2和A/2的脉冲。
图4-16 交互式恢复示例
为滤除这两个脉冲，可以通过交互的方式在图4-16(b)中两个白点处放置两个带阻滤波器，如图4-16(c)所示。这两个带阻滤波器的截断频率要尽可能小，以免将过多的原始图像信息滤除。在将噪声消除后，可以再进行傅里叶反变换，最后就可得到如图4-16(d)所示的恢复结果。