1.5　地震波的数学物理描述

1.5.1　体波

1.5.1.1　三维波动方程的建立

本节限于讨论弹性地震波。这是因为在地震这种迅速变化、持续仅数十秒的动力作用下，地壳中的岩石一般表现为弹性，其黏性或流变性一般不予考虑（或通过能量耗损的途径进行修正）。波动是运动在介质中的传播，介质中任何一点在任意时刻应满足弹性力学几何条件、应力-应变条件（也称为本构关系）及动力平衡条件。

如图1.5.1所示，在弹性力学中，弹性体内任一点的平动位移可用其在直角坐标x、y、z轴上的3个投影u、v、w来描述，并称u、v、w为该点的平动位移分量。弹性体内任一点的转角可用其旋转向量在x、y、z轴上的3个投影θx、θy、θz来描述，并称θx、θy、θz为该点的旋转角分量，其表达式为

例如，θz表示弹性体在某点绕z轴的旋转；表示x方向的线段绕z轴的转角（逆

时针旋转为正）；表示y方向的线段绕z轴的转角（顺时针旋转为负）；θz表示这两个旋转角的平均值。

根据剪应力互等关系，弹性体内任一点的应力可用6个独立应力分量σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx进行描述。相应地，该点的弹性应变可用6个独立应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、γzx来表示。

对于动力问题，弹性体内各点在各时刻的位移、应力与应变状态不一定相同，因此它们都是坐标x、y、z及时间t的函数。

（1）应变分量与位移分量间的几何关系。当只讨论微小应变和位移时，可不计有关的高阶微量，几何方程可简化为

（2）对连续、均质、各向同性的完全弹性体，根据广义胡克（Hook）定律，应力和应变要满足的物理关系为＝

式中：E为杨氏弹性模量；υ为泊松比；G为剪切弹性模量。G与E及υ的关系为G

（3）在静力作用下，根据弹性力学，弹性体内的任一点应满足如下静态平衡方程

式中：X、Y、Z为体力在x、y、z轴上的3个投影，即体力分量。

在动力作用下，除了考虑应力和体力外，还须考虑弹性体由于具有加速度而应当施加的惯性力。加速度在x、y、z轴上的3个投影分量为根据达朗贝尔原理，在弹性体的单位体积上应施加的惯性力分量为其中ρ为弹性体的质量密度。将这些惯性力分量分别叠加于体力分量X、Y、Z，则静力平衡微分方程（1.5.4）变成如下的动力平衡微分方程

定义体积应变（或称体积胀缩）＝εx＋εy＋εz，并引入拉梅（Lame）常量λ

由式（1.5.3），用应变表示应力为

体积应变与平均应力 通过体积弹性模量K有如下关系

将式（1.5.7）代入式（1.5.5），并忽略体力分量X、Y、Z（体力分量及其他静荷载所引起的作用效应，可作为地震前的结构受力初始状态，在单独考察地震动力影响时不予考虑），有式（1.5.10）即为均匀、各向同性、弹性介质的运动方程——纳维（Navier）方程。需要说明的是，式（1.5.10）描述的是平动运动方程。对于转动运动方程，由剪应力互等定理可自动满足而不必专门进行研究。

式中2为拉普拉斯算子，可以表示为

1.5.1.2　横波

为讨论无限介质中波的性质，先假设介质中质点位移分量为u＝uS、v＝vS及w＝wS，且由这些位移分量构成的体积应变为零，即将这些关系代入运动方程（1.5.10），可得

因而

现定义

式（1.5.13）表示以速度c进行传播的位移波（下面还要进一步说明）。因体积应变＝0，因此，与之相应的波可称为“不引起体积胀缩的波”或等体积波。又由于这种波的位移虽使＝0，但各旋转分量θx、θy、θz并不为零，故又称为畸变波。

若进一步设波动沿z向传播，且仅产生水平x向的位移（同样，也可设仅产生水平y向的位移），如图1.5.2所示，此时位移仅随位置坐标z和时间坐标t而变，则各位移分量可以写为

可得

将式（1.5.15）代入运动方程（1.5.13），则其中的第二及第三式成为恒等式，而第一式成为

式（1.5.17）表明质点振动位移u垂直于波的传播方向，我们称这样的波为横向平面波，简称为横波（图1.2.1），在工程上还称它为次至波或S波。定义cS＝c＝称为横波的传播速度。

式（1.5.17）表示波动，通过数学初等变换的方法求解式（1.5.17）。首先引入比较容易积分的形式，进行如下初等变换：＝f1（ξ），其中，f1（ξ）是ξ的任意可微函数，再将式（1.5.24）对ξ积分得

利用复合函数求微商的法则：

可得

将式（1.5.22）和式（1.5.23）代入式（1.5.17），有

将式（1.5.24）对η进行积分，得

式（1.5.25）中函数f和g是任意二次连续可微函数，f（z-ct）＝其特定形式需由边界条件和初始条件确定。

下面分析式（1.5.25）的物理意义。先考察式（1.5.25）中的第一项：

对于某一特定的时刻t，式（1.5.26）是坐标z的函数。在经过时间间隔Δt之后，函数f的自变量为z-c（t＋Δt），如果坐标z增加Δz＝cΔt，则函数f仍保持不变。即

这表明t时刻在z处的扰动值f到了（t＋Δt）时刻移到z＋Δz处，值f保持不变。由此可见，式（1.5.26）代表了一个以速度c沿z正向传播，但质点位移u1沿x向振动的平面波。波速c与质点速度u1/t是完全不同的概念，波速c取决于介质特性，而质点速度u1/t则取决于应力状态。

同理可知，式（1.5.25）中的第二项代表了一个以速度c沿z轴负向传播的波。

我们来看沿z轴负向传播的横波u2＝g（z＋ct），此时v＝0、w＝0。将它们代入式（1.5.1）、式（1.5.2）和式（1.5.7），发现：

1）仅绕y轴的转角不等于零，其他转角θx、θz都为零。

2）仅剪应变不等于零，其他应变分量εx、εy、εz、γxy及γyz均为零。

3）仅剪应力不等于零，其他应力分量σx、σy、σz、τxy及τyz均为零。即弹性体内的每一点都始终处于纯剪切状态，如图1.5.3所示，所以这种波也被称为剪切波。我们把质点在竖直平面内振动的波（u≠0、w＝0、v＝0）称为SV波。

若假设仅产生y方向的位移（图1.5.2），即v≠0、u＝0、w＝0，我们称这种质点在水平面内振动的波为SH波。

式（1.5.25）中的自变量z-ct或z＋ct是空间坐标z和时间t的特殊组合，称为波动自变量，它揭示了波动现象的本质特征：波动以有限速度c传播，并保持组合z-ct或z＋ct为常数。只要一个物理量可以表示成波动自变量的函数，那么该量的振动和波形就以波速c传播。由于波动自变量仅用于规定时间和空间坐标之间的关系，波动自变量也可写成其他形式：t±z/c，z/c±t，等。

考察波动方程式（1.5.17），它有一个重要性质，那就是如果该方程有任意一个特解：

则u0对于z、t中任一变数的偏导数也是方程（1.5.17）的特解。证明如下。

用ζ代表z或t，则总可以有关系式：

既然u0是波动方程式（1.5.17）的特解，则由该方程有

将式（1.5.31）的两边对ζ求导，得到

将式（1.5.29）和式（1.5.30）代入式（1.5.32），即得

可见确实是波动方程（1.5.17）的特解。因为弹性体中的变形分量和应力分量以及质点的速度分量都可以用位移分量对坐标或时间的偏导数来表示，所以由波动方程的上述特性可见，如果弹性体的位移分量满足某一波动方程，而相应的传播速度为则其变形分量、应力分量和质点速度分量也将满足这一波动方程，而且传播速度也是c。这就表明，在弹性体中，变形、应力及质点速度都将和位移以相同的方式按照速度c进行传播。

1.5.1.3　纵波

下面再讨论无限介质中的另一种波。设介质中质点位移分量为u＝uP、v＝vP及w＝wP，且这些位移分量构成的旋转分量θx、θy、θz为零，即

此时体积应变因此，可得再

将由（1.5.34）的后两式所得的关系代入上式，得

根据相同的推导，还可得

再将u＝uP、v＝vP、w＝wP及式（1.5.35）、式（1.5.36）代入纳维方程（1.5.10），可得

将式（1.5.37）与式（1.5.13）相比，可看出位移分量uP、vP及wP在无限介质中以cP的速度传播：

前已说明，与这种位移分量相应的各旋转分量θx、θy、θz为零，这种波可称为无旋波。又由于此种波引起的粒子位移虽使θx、θy、θz为零，但体积胀缩并不为零，因此又可称为胀缩波。

对于沿z向传播的平面波，若仅产生z向位移，则各位移分量可以写为

可得

代入纳维方程（1.5.10），则其中的第一及第二式成为恒等式，而第三式成为

式（1.5.41）的解为

进行与上节相似的分析，可知w1和w2分别表示沿＋z轴和-z轴传播的两个无旋波，传播速度都为cP。将质点振动方向平行于波传播方向的平面波称为纵向平面波，简称为纵波（图1.2.1上图）。在工程上还称它为初至波或P波。

下面分析沿-z轴向传播的纵波w2＝g（z＋cPt）。此时u＝0，v＝0。将它们代入式（1.5.1）、式（1.5.2）、式（1.5.7），发现：

1）转角θx、θy、θz都为零。

2）仅正应变不等于零，其他应变分量εx、 εy、γxy、γyz、γzx均为零。

3）正应力都不等于零，σx＝σy＝λεz，σz＝（λ＋2G）εz，而剪应力分量τxy、τyz及τzx均为零，弹性体内的每一点都始终处于简单拉-压状态，如图1.5.4所示，所以这种波也被称为拉压波。综上所述，无限介质中横波及纵波的传播速度仅与介质的弹性性质有关：

横波波速cS与纵波波速cP之比为

由于介质的泊松比υ的取值范围为0～0.5，因此，式（1.5.44）的比值总小于1（例如，当υ＝0.25，cS＝＝0.58cP），也就是横波波速总小于纵波速度。

1.5.1.4　二维波动方程

当弹性体、外荷载及初边值条件沿某轴（例如y轴）均无变化时，波动问题中的场变量仅仅依赖于另两个空间变量x和z，称这类问题为二维波动问题，在笛卡尔坐标系中又称为平面波动问题，其波动方程由式（1.5.10）导得，为

式中为平面应变问题的体积应变：

2为平面问题的拉普拉斯算子：

由式（1.5.45）及图1.5.2可知，在竖向xoz面内的位移与垂直面的位移是相互独立的（或称为解耦的）。此时，将在竖向平面内的运动称为平面内运动，将垂直于xoz面的运动称为平面外运动、反平面运动或出平面运动。

对于平面内运动，由式（1.5.45）前两式求得位移后，据式（1.5.1）、式（1.5.2）和式（1.5.7）则旋转分量和应力分量可由以下关系求得

对于平面外运动，由式（1.5.45）第三式求得位移后，据式（1.5.1）、式（1.5.2）和式（1.5.7）则旋转分量和应力分量可由以下关系求得

由式（1.5.48a）和式（1.5.48b）可见，平面内运动既存在P波，也存在SV波，而平面外运动仅存在SH波。

若考察点距离震源较近或震源不能近似为点源，则弹性波动就不能看成平面波，可理想化为球面波、柱面波，如图1.5.5所示。此时的波动问题适于在球坐标系和柱坐标系中表述。限于篇幅此处不再介绍，可参考有关书籍及文献。

1.5.2　面波

很显然，地球不是无限体，而是一个外表面应力为零的大球。对于近地表地震工程问题，地球常被理想化为具有平面自由地表的半无限介质，球面曲率可以忽略不计。前已述及，面波在近地表距离震中较远的位置发育，振幅较大，且随距离的衰减比体波要慢得多，对建筑物的破坏有时比较严重，因此面波问题很重要。

在地震工程中，有两种类型的面波最为重要，分别为瑞雷波（本节简称R波）和洛夫波（简称L波）。瑞雷波存在于均质弹性半空间，而洛夫波的产生需要地表存在一软覆盖层（其剪切波速低于下层介质的剪切波速）。除以上两种面波之外，还存在其他类型的面波，但从地震工程的观点来看，这些面波并不重要故而少有研究。

本节首先介绍瑞雷波，关于洛夫波的介绍见1.5.2.2节。

1.5.2.1　瑞雷波

对于均质各向同性弹性半空间，在研究其波动特性时，须将波动方程与自由表面的边界条件结合起来讨论。如图1.5.6所示，水平xoy面为自由地表面，＋z指向地球深处。

现讨论沿x向传播的平面波，介质质点的运动在竖直xoz面内（与y无关）。这种情况显然是一种平面应变问题。因此，波动方程满足式（1.5.45）的前两式。

在地表（xoy面），要求法向应力及切向应力为零：

为方便求解式（1.5.45）前两式及式（1.5.49）所表示的边值问题，常将待求的位移分量u及w用另外两个函数φ及ψ来表示：将上两式展开、组合后可化成下列两式：

这样，求解u及w的问题变成了求解函数φ及ψ的问题。此两种函数称为势函数（Potensial function）。引入势函数后，问题的求解就容易得多。将式（1.5.50）代入式（1.5.46）、式（1.5.48a），得

将式（1.5.50）代入式（1.5.45）前两式，并利用式（1.5.51）第1式，则波动方程变为

因为

可以看出，式（1.5.53）正是前文讨论过的标准波动方程。可见，势函数φ以纵波速度cP在半空间里沿＋x向传播；势函数ψ以横波速度cS在半空间里沿＋x向传播。

另外，由式（1.5.51）中的前两式可以看到，引入势函数φ及ψ后，可将“伸缩”与“旋转”效应分离开来（φ与体积胀缩有关，性质属于纵波；ψ与旋转剪切θy有关，性质属于横波）。因此，瑞雷波可看成是P波、S波（实际上是在竖直xoz面内的SV波）满足边界条件式（1.5.49）的复合波动。

将式（1.5.51）后两式代入式（1.5.49），得到以势函数表示的边界条件：

这样，由于引入了势函数φ及ψ，就可以将原来求解u及w的边值问题，转换成求解φ及ψ的边值问题，即求解式（1.5.53）及式（1.5.54）。

假定瑞雷波动是具有圆频率ω＝2π/T（T为周期）、波数kR＝2π/LR（LR为波长）的谐波，则传播波速cR＝LR/T＝ω/kR。

为求解方便，引入复数表示（虚数单位为i，满足i　2＝-1），采用分离变量法，势函数φ及ψ可以表示为

式中Dφ（z）、Dψ（z）为幅值，随深度z变化；根据欧拉公式，有cosω

将式（1.5.55）代入式（1.5.53），可得

上式是两个相互独立的二阶常系数齐次微分方程，其解可直接写出

式中Aφ、Aψ及Bφ、Bψ为待定的系数。一般q、s为大于零的实数。式（1.5.57）表示的解应舍掉随深度z以指数增长的部分。这样，势函数具有如下形式：

其中

而Aφ、Aψ及cR为待定的3个未知量。

将式（1.5.58）代入边界条件式（1.5.54），有

令

则可得

显然，要使Aφ、Aψ的解为非零解，须使上面关于Aφ、Aψ的方程组的行列式等于零，即

由此可得

上式移项，取平方并消去项，得

上式是关于 的三次方程，从此方程可以解出瑞雷波速c。由式（1.5.44）可

R知，由于所以cR仅与介质泊松比υ有关。cR与横波波速cS的比值具有以下近似关系：

一般地，对于岩石，当υ＝0.22时，可以求出cR/cS＝0.92。图1.2.8给出了P波、S波和R波的波速与S波波速的比值随介质泊松比υ的变化。

求出λ2后，代入式（1.5.62）中的任一式，可求出

将上式代入式（1.5.58），并根据式（1.5.50），可得位移：

上两式中括号［］中的项描述了位移u（x，z，t）、w（x，z，t）的幅值沿深度z的变化。图1.5.7给出了当介质泊松比υ取几个不同的值时，深度z处的位移幅值与地表z＝0处的位移幅值之比随相对深度z/LR的变化。

从式（1.5.64）可以看出，瑞雷波动下质点水平位移分量u（x，z，t）与竖向位移分量w（x，z，t）在相位上差90°，即当水平位移达到最大（小）值时，竖向位移为零，反之亦然。同时，质点的运动轨迹是一椭圆，长轴在竖向。

另外，从图1.5.7可看出，半无限介质中质点位移分量从表面起沿深度向下呈指数方式很快衰减；当泊松比v＝0.25时在z＝0.192LR处，水平位移将反向。

地震所产生的瑞雷波过去一度被认为只有当震中距很大（几百千米）时才产生。现在认识到当震中距约几十千米时也能产生有重要影响的瑞雷波。在均质介质中，当最小震中距Δ与震源深度h之比满足下式时，将首次产生瑞雷波：

1.5.2.2　洛夫波

最简单的多层介质是均质弹性半空间上存在一软覆盖层（其剪切波速低于下层介质的剪切波速）。当场地距离震源较远，地震时在覆盖层内可能会产生另一种所携带能量占主导地位的面波——洛夫波。该波实质上是一种SH波，又称蛇形波，如图1.2.7所示。

考虑一厚为H的均质软表面层覆盖在均质弹性半空间上，如图1.5.8所示。假定洛夫波沿水平＋x向传播，且仅有粒子沿y向（垂直于纸面）的位移分量。该波动为平面外运动或出平面运动，假设具有谐波形式：

式中V（z）为振幅是沿深度z的函数，圆频率ω＝2π/T，T为周期；波数kL＝2π/LL，LL为波长；传播波速cL＝LL/T＝ω/kL。

在表面层和半空间内，洛夫波必须满足平面波动方程式（1.5.45）最后一式，即

以及在地表（z＝0）处剪应力τyz为零、在交界面（z＝H）处位移v（x，z，t）及剪应力τyz（x，z，t）连续的条件。

经推导，振幅具有如下形式：

系数A和B分别表示下行波和上行波的振幅，且

由于半空间深度向下达无限远，因此B2必须为零（在无限深处，无能量供给或反射以产生上行波）。在自由地表，由剪应力为零，有

式（1.5.69）要求A1＝B1，从而

在交界面z＝H处，需满足剪应力连续条件：

及位移连续条件：

由式（1.5.67），式（1.5.70）～式（1.5.72），可得位移：其中，cS1和cS2分别是介质1和介质2的剪切波速。式（1.5.73）及图1.5.9表明，洛夫波位移振幅在覆盖层中随深度以正弦规律变化，而在下半空间中随深度以指数规律衰减。由于这个原因，洛夫波常被描述成在表面覆盖层所捕获的SH波。

洛夫波的波速cL由式（1.5.74）解出，其随频率ω的变化如图1.5.10所示。

由图1.5.10可知，洛夫波波速在半空间中S波波速cS2和覆盖层中S波波速cS1内变化。这种波速依赖于频率的性质称为频散性，即不同频率的波（波长也不同）具有不同的传播速度。

对于均质弹性半空间，瑞雷波波速仅与泊松比有关，不存在频散性。但在近地表，土和岩石的刚度是随深度增加的，所以对于实际非均质材料构成的半空间，瑞雷波也具有频散性。

本节推导了最主要的两种面波即瑞雷波和洛夫波中介质粒子的最基本位移形态，这是在地震工程中最为重要的特性。

实际工程中，工程场地的岩土介质一般呈多层分布，每层厚度不一，性质也不同。当地震波在介质内传播时，由于波的反射、透射、绕射、散射（Scattering）等作用，使得波动问题变得极为复杂。