§3.3 惯性矩

1.惯性矩的定义

如图3.10所示任意形状的平面图形，在坐标为（z，y）处取微面积dA，则可求得下述积分

图3.10

式中：I_z为平面图形对z轴的二次矩（惯性矩）；I_y为平面图形对y轴的二次矩（惯性矩）。由上述定义可以看出，图形对轴的惯性矩恒为正，其单位是长度单位的四次方，即m⁴或mm⁴。

由图3.10所示可以看出，ρ²=z²+y²，将此式代入式（3.6）中可得

式（3.10）表明图形对任一点的极惯性矩，恒等于此图形对过该点的任一对直角坐标轴的两个惯性矩之和。

例题3.3 如图3.11所示矩形，高度为h，宽度为b，z轴和y轴为图形的形心轴，且z轴平行矩形底边。求矩形截面对形心轴z、y的惯性矩。

解：取宽为b、高为dy且平行于z轴的狭长矩形的微面积为

由式（3.9）得矩形图形对z轴的惯性矩为

同理，可得矩形图形对y轴的惯性矩为

图3.11

图3.12

例题3.4 如图3.12所示圆图形，半径为R，z轴和y轴为其形心轴。求圆形截面对过形心的z轴、y轴的惯性矩。

解：取平行于z轴的微面积dA=·dy，代入式 （3.9）得

由于对称，圆形截面对任意一根形心轴的惯性矩都等于。

表3.1列出了几种常见简单图形的面积、惯性矩等截面几何性质。

2.惯性半径

根据积分中值定理，式（3.9）还可表达成如下形式

在工程中因为某些计算的特殊需要，常将图形的惯性矩表示为式（3.11）的形式，即将图形对轴的惯性矩定义为图形面积A与某一长度的平方之乘积，这一长度值可定义为

式中：i_z、i_y分别为图形对z轴、y轴的惯性半径，单位为m或mm。

3.惯性矩的几何意义

惯性矩反映了图形面积相对于坐标轴的分布远近程度。如图3.13所示的面积相同的两矩形，图3.13（a）对z轴的惯性矩I_z就小于图3.13（b）对z轴的惯性矩I_z。在工程中，梁弯曲时横截面要绕截面形心轴转动，若截面对其绕转动的形心轴惯性矩大，则梁的抗弯曲能力就大。

图3.13

图3.14

4.平行移轴定理

同一平面图形对不同坐标轴的惯性矩各不相同，但它们之间存在一定的关系。现在讨论图形对两根互相平行坐标轴的惯性矩之间的关系。

如图3.14所示为一任意平面图形，图形面积为A，设z₀、y₀轴为通过图形形心C的一对正交坐标轴，z轴、y轴是分别与z₀轴、y₀轴平行的另一对正交坐标轴，z₀轴与z轴相距为a，y₀轴与y轴相距为b。微面积dA在Ozy与Cz₀y₀坐标系中的坐标有如下关系

由式（3.9）可知，截面对z轴的惯性矩为

根据惯性矩和静矩的定义，上式右端的各项积分分别为

式中：I_Z0为图形对形心轴z₀ 的惯性矩；第二项∫_A^y₀^{dA为截面对形心轴z}₀ ^{的静矩，由}3.1节中所述可知，截面对形心轴z₀的静矩S_Z0应为零。于是可得如下等式：

式（3.13）表明：截面对任意Z轴的惯性矩，等于对与此轴平行的形心轴Z₀的惯性矩加上图形面积与两轴距离平方之乘积。此定理称为惯性矩的平行移轴定理。

5.组合图形的惯性矩

组合图形由若干个简单图形组成，由惯性矩定义可知，组合图形对某轴的惯性矩等于组成组合图形的各简单图形对同一轴的惯性矩之和。即

式中：I_iz为第i个图形对z轴的惯性矩；I_iz可根据平行移轴式（3.13）计算。

在计算组合图形对其形心轴的惯性矩时，首先应确定组合图形的形心位置；然后求出各简单图形对自身形心轴的惯性矩；再应用平行移轴定理求各简单图形对组合图形形心轴的惯性矩；最后应用式（3.14）求组合图形对其形心轴的惯性矩。

例题3.5 计算如图3.15所示组合图形对z轴的惯性矩。

解：将图形可看成是由矩形A₂中挖去圆形A₁得到的组合图形。应用平行轴定理可求得各图形对z轴的惯性矩为

圆形A₁：

矩形A₂：

整个图形对z轴的惯性矩为

此组合图形中，圆是被挖去的图形，因此，在惯性矩求和时是要减去的。

图3.15

图3.16

例题3.6 求图3.16所示T形截面图形对形心轴y轴、z轴的惯性矩。

解：1.确定T形图形形心C的坐标

因为y轴为对称轴，所以z_C=0，确定y_C，需将T形图形分为两个矩形A₁、A₂，各矩形的形心相对BD边的距离为：y₁=1cm，y₂=5cm。则组合图形形心相对BD边的距离为

组合图形的形心轴z₀与A₁图形的形心轴z₁相距a₁=3-1=2cm；组合图形的形心轴z与A₂图形的形心轴z₂相距a₂=5-3=2（cm）

2.计算惯性矩I_z，由于z轴不通过矩形截面A₁、A₂的形心，故利用平行移轴公式计算

所以

3.计算惯性矩I_y，由于y轴通过矩形截面A₁、A₂的形心，所以直接等于两个矩形截面对y轴的惯性矩之和