§3.2 极惯性矩

1.极惯性矩的定义

如图3.7所示为一任意形状的平面图形，其面积为A，Ozy为平面图形所在平面内的任意直角坐标系。在矢径为ρ的任一点处，取微面积dA，则可求得下述积分

式中：I_P称为平面图形对坐标原点O的极惯性矩。由上述定义可以看出，图形的极惯性矩恒为正，其单位是长度单位的四次方，即m⁴或mm⁴。

图3.7

2.圆截面的极惯性矩

对于图3.8所示半径为R的圆，若以宽度为dρ的环形区域取微面积，即

由式（3.6）可得，圆截面对圆心O的极惯性矩为

对于内径为r、外径为R的空心圆环截面（图3.9），按上述计算方法，截面对圆心的极惯性矩为

式（3.8）中，α为空心圆环截面的内半径r与外半径R的比值，即。

图3.8

图3.9

3.极惯性矩的几何意义

极惯性矩反映了图形面积相对于极点O的分布远近程度。相同面积的圆和圆环图形，圆对圆心的极惯性矩小于圆环对圆心的极惯性矩，即I_ρ圆环>I_ρ圆。在工程中，极惯性矩大的杆件，其抗扭转能力大。