§3.4 形心主惯性矩的概念

1.形心主惯性轴的概念

图3.17所示为任意形状的平面图形，过图形任一O点可以作无数对正交坐标轴。图形对不同轴的惯性矩是不相同的，但是，经数学证明，平面图形对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于该图形对该坐标原点的极惯性矩。即

图3.17

一般情况下，在通过同一点的所有坐标轴中，图形只对其中的一个轴可取得最大惯性矩，对与最大惯性矩轴正交的另一轴可取得最小惯性矩。将通过平面图形上某点可取得最大和最小惯性矩的轴称过该点的主惯性轴，简称主轴。平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

以上结论表明，过平面图形上一点必有一对互相垂直的主轴；主惯性矩是平面图形对过该点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值。

2.形心主惯性轴

通过平面图形形心C的主惯性轴称形心主惯性轴，简称形心主轴。对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定。

如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，与此形心主轴垂直且通过图形形心的另一轴也为形心主轴［图3.18（a）］。如果图形有两根对称轴，则两轴都是形心主轴［图3.18（b）］。如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等［图3.18（c）］。

图3.18

3.形心主惯性矩

平面图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩。如图3.18（a）所示，图中z₀、y₀为形心主惯性轴，该图形对通过形心C的任一轴η的惯性矩满足下列不等式

思考题

4.平行移轴定理中，所求惯性矩的轴可以是任意的，但是对与此轴对应的图形形心轴有何要求？

5.已知图3.19所示三角形截面对z轴的惯性矩为^，用平行轴公式求得该截面对z₁ 轴的惯性矩为，此计算结果对不对？为什么？

图3.19

图3.20

6.如图3.20所示，两图形中尺寸h和d相同，对比两图形对图示坐标轴的惯性矩大小。

习题

3.求图3.21所示平面图形对z轴、y轴的惯性矩I_z、I_y。

4.计算图3.22所示平面图形对形心轴y_C的惯性矩I_yC。

5.求图3.23所示平面图形对形心主轴z_C和y_C的惯性矩。

图3.21

图3.22

图3.23

6.图3.24所示由两个20a号槽钢组成的平面图形，y轴、z轴为组合图形的形心轴。若要使I_z=I_y，试求间距a的大小。

7.计算图3.25所示图形对z形心轴的惯性矩。图形由两根等边角钢组成。

图3.24

图3.25