§3.1 静矩

1.静矩的定义

图3.1所示为一任意形状的平面图形，其面积为A，在平面图形内坐标为z、y处取一微面积dA，则定义乘积ydA（或zdA）为微面积dA对z轴（或y轴）的面积矩（也称静矩），把微面积dA的静矩在整个面积A上的积分∫_AydA和∫_AzdA分别定义为该平面图形对z轴（或y轴）的静矩，用S_z（或S_y）表示，即

图3.1

根据积分中值定理，式（3.1）还可表达成如下形式：

式（3.2）中的z_C和y_C表示图形平面内某点C的坐标，点C可以在图形内，也可能在图形外。

从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定的坐标轴而言。同一图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的常用单位是m³或mm³。

2.形心的概念

由式（3.2）可求出坐标z_C、y_C为

在Ozy平面内由坐标z_C、y_C所确定的点C（z_C，y_C）称为平面图形的形心。形心是由图形几何形状和尺寸所决定的几何中心，其相对于图形的位置不变，与坐标轴的选取无关。对于均质物体来说，形心和重心是重合的，但是两个意义完全不同，重心是物理概念，形心是几何概念。而对于非均质物体，它的重心和形心就不在同一点上。

3.静矩的几何意义

静矩反映了图形的形心相对于坐标系的位置以及相对坐标轴的远近程度。静矩的绝对值愈大，形心离坐标轴愈远。当静矩为零时，说明图形的形心在坐标轴上。其中，当S_z=0时，形心在z坐标轴上；当S_y=0时，形心在y坐标轴上；图形对过形心的坐标轴的静矩为零。图形有对称轴时，图形对对称轴的静矩为零，因为图形的形心必在对称轴上。

4.组合平面图形的静矩和形心的计算

在工程实际中，常碰到工字形、T形、环形等横截面的构件，这些构件的截面是由几个简单的几何图形组合而成，称这类图形为组合图形。如图3.2所示，根据平面图形静矩的定义，组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即

式中：z_Ci、y_Ci为各简单图形的形心坐标；A_i为各简单图形的面积。

将式（3.4）代入式（3.3）中可得组合图形的形心坐标公式为

例题3.1 计算图3.2所示图形的形心坐标z_C、y_C。其中A₁为矩形图形，边长为60mm×40mm，A₂也为矩形，边长为100mm×40mm。

解：将截面图形分为上下两个矩形，

矩形图形A₁：A₁=60×40=2400（mm²）

矩形图形A₂： A₂=100×40=4000（mm²）

以上数值代入形心式（3.5）可求得截面图形的形心坐标：

图3.2

例题3.2 计算图3.3所示T形截面对z轴和y轴的静矩。

图3.3

解：将T截面分为两个矩形，其面积分别为

各矩形形心的y坐标分别为

应用式（3.4）可求得T形截面对z轴的静矩

由于y轴是对称轴，所以T形截面对y轴的静矩为S_y=0。

思考题

1.静矩的几何意义是什么？图形对其形心轴有无静矩？

2.为什么图形对其对称轴的静矩为零？

3.图3.4所示为矩形截面，z为形心轴，问k-k线以上部分和以下部分对z轴的静矩是否相等？

图3.4

习题

1.如图3.5所示，求阴影图形的形心坐标。

图3.5

图3.6

2.求图3.6所示各截面的阴影部分对z轴的静矩。