§2.3 平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。它是一种简单的平面力系，是研究复杂力系的基础。
1.平面汇交力系合成的几何法
由力F1、F2、F3和F4组成的平面汇交力系作用于刚体上，如图2.10 （a）所示。为合成此力系，根据力的平行四边形法则，每次将两个力合成为一个力，如图2.10 （c）所示。最后求得一个通过汇交点A的合力FR，如图2.10 （b）所示。显然，图2.10 （c）中力矢FR1、FR2只是几何求解过程中的代换量，因此可以省略。直接将各分力的矢量依次首尾相连，由此组成一个不封闭的力矢多边形abcde，而合力矢FR则是由力矢多边形的起点a向末点e作的矢|量|
，如图2.10 （c）所示，将此种方法称为力多边形法则。另外，作力矢多边形时，只要遵循各分力矢首尾相接规则，可以按不同的分力顺序画出各分力矢，其结果只是力矢多边形的形状不同而已，但所求合力FR的矢量不变，如图2.10 （d）所示。
图2.10
总之，平面汇交力系可简化为一合力，合力矢等于各分力矢的矢量和（几何和），合力的作用线通过汇交点。若平面汇交力系包含n个力，以FR表示它们的合力矢，则有
2.合力投影定理
设刚体受一平面汇交力系F1、F2、F3作用，如图2.11（a）所示。在力系所在平面内作直角坐标系Oxy，用几何法求出其合力矢FR，如图2.11（b）所示。
图2.11
将各分力矢及合力矢向x轴投影，分别为
由图2.11（b）所示几何关系知
由此可得
同理，合力与各分力在y轴上的投影的关系是
将上述关系推广到由n个力组成的平面汇交力系，则有
式（2.10）就是合力投影定理表达式。即合力在任一轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和。从运动效应的角度来看，这一定理是将一平面汇交力系的移动效应用两个标量（合力投影）反映。
3.平面汇交力系合成的解析法
物体上作用有平面汇交力系F1，F2，…，Fn，如图2.12 （a）所示。在力系所在的Fn平面内，设置直角坐标系Oxy。应用合力投影定理，求出合力在正交轴上的投影FRx和FRy。最后应用式（2.2）可得合力FR的大小和方向为
式中：α为合力FR与x轴所夹的锐角，合力的指向由投影∑Fx和∑Fy的正负号判定，合力作用线通过该平面汇交力系的交点，如图2.12（b）所示。
图2.12
例题2.4 已知平面汇交力系各力的大小分别为：F1=200kN，F2=300kN，F3=100kN，F4=250kN；各力方向如图2.13所示。求此平面汇交力系的合力。
图2.13
解：1.求合力投影。设置直角坐标系如图2.13所示。合力FR在坐标轴上的投影为
2.求合力矢。
因FRx、FRy均为正值，合力FR指向第一象限，合力FR作用线通过汇交点O。
4.平面汇交力系平衡条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。由式（2.11）可知，必须使力的大小等于零，即
为使上式成立，必须同时满足
式（2.12）称平面汇交力系的平衡方程。因为平面汇交力系最大可能合成结果是一个力，根本不可能合成力偶，所以，只要合力矢等于零，也即合力矢在两个坐标轴上的投影等于零，则力系不但无移动效应，也不会有转动效应。因此，平面汇交力系满足在两个坐标轴上的投影代数和等于零的方程，力系必平衡。该解析条件包含两个独立方程，可以求解两个未知量。
例题2.5 支架由直杆AB、AC构成，A、B、C三处都是铰链，在A点悬挂重量为FG=20kN的重物，如图2.14（a）所示。求杆AB、AC所受的力。杆的自重不计。
图2.14
解：1.取铰点A为研究对象，画其受力图如图2.14（b）所示。因杆AB、AC都是二力直杆，设定杆对结点的作用力为拉力。
2.建立坐标系如图2.14（b）所示。将坐标轴分别与两未知力垂直，可使运算简化。由平衡方程得
3.校核。将所有力向y′轴投影求代数和得
由此可知以上计算过程无误。
在上边例题求解过程中，需要说明的有以下几点：
为了计算力的投影方便，坐标轴应尽量与较多的力平行或垂直。不一定总是设置水平轴和铅直轴。
若力的大小代数值计算为正，说明力的设定指向与实际方向一致；结果为负，说明力的设定方向与实际方向相反；尽管计算结果为负，但在后续的计算中，列投影方程时仍按力的原设定方向投影，而在代入数值时，这个力的大小按负值代入即可。
对汇交力系平衡问题计算结果要进行校核。校核时可以选除已设置的投影轴以外的任意轴，如果求解过程无误，则这一平衡力系向任意轴投影的代数和为零；否则，计算有误。
例题2.6 平面刚架上作用一主动力F=50kN，如图2.15（a）所示。求刚架A、D处的支座约束力。
解：1.选取刚架为研究对象，作刚架的受力图如图2.15（b）所示。刚架受有集中力F，A支座约束力FA和D支座约束力FD。力F和力FD的作用线交于点C，根据三力平衡汇交定理，可判定出力FA的作用线沿AC线，指向暂可设定。
2.设置坐标系，列平衡方程求解。由平面汇交力系平衡方程式（2.12）可得
图2.15
3.校核。将所有力向AC射线上投影，求代数和，得
上式计算结果等于零，说明求解过程计算无误。