§2.4 平面力偶系的合成与平衡
1.平面力偶系的合成
只由力偶组成的力系称为力偶系。如果这些力偶的作用面在同一个平面内则称为平面力偶系。设在某平面内作用两个力偶M1和M2，如图2.16（a）所示，根据平面力偶等效的性质及推论，将上述力偶进行等效变换，使两个力偶具有相同的力偶臂长AB=d，如图2.16（b）所示，变换后的等效力偶（F1，F′1）和（F2，F′2）中各力的大小分别为
图2.16
将图2.16（b）中作用在点A和点B的共线力系力合成（设F1>F2），得
由于FR与
等值、反向、作用线平行且不共线，故组成一个新力偶 （FR，
），如图2.16 （c）所示。其力偶矩为
故合力偶与原力偶系等效。
将上述关系推广到由n个力偶M1，M2，…，Mn组成的平面力偶系，则有
由式（2.13）可知，平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶的矩等于各分力偶矩的代数和。
2.平面力偶系的平衡
由式（2.13）可知，平面力偶系可以合成为一个合力偶，若合力偶的矩等于零，则原平面力偶系必定平衡；反之，若要原平面力偶系平衡，则合力偶的矩必须为零。故平面力偶系平衡的必要和充分条件为：平面力偶系中各分力偶矩的代数和为零。即
式（2.14）称为平面力偶系的平衡方程，该解析条件只能求解平面力偶系平衡问题中的一个未知量。
例题2.7 一支架如图2.17（a）所示。各杆自重不计，A、D、C三处均为铰接。杆AB上受一力偶作用。已知力偶矩的大小为M（F，F′）=100N·m，转向如图所示。求A、D处的约束力。
图2.17
解：1.以杆件AB为研究对象并进行受力分析。杆AB受已知力偶（F，F′）作用，杆CD为二力杆，因此作用在杆AB铰D处的约束力FD的作用线必定沿杆CD方向。杆AB只受两个约束力和一个力偶作用，杆平衡时约束力FA和FD必须组成一个力偶。由此可以确定约束力FA与FD等值、反向、作用线平行，杆AB受力如图2.17（b）所示。
2.列平面力偶系的平衡方程求解。
因为FD=FA，所以FD=47.1N
3.校核。
计算过程无误。
在上面例题求解过程中，应当注意不要以为组成力偶的两个力的方向相反，其大小数值就要反号。力偶中的两个力反向已经在受力图中反映，因此，组成力偶的这两个力的大小代数值应该相等。
思考题
1.将力F置于两个不同的坐标系中，如图2.18所示。试画出力F在每个坐标系中在坐标轴上的投影与分力？
图2.18
图2.19
2.如图2.19（a）、（b）所示的是两个形状相同的力矢多边形，问两个力矢多边形所表示的意义是否相同？试分别用矢量式表示其关系。
3.一个由四个力组成的平面汇交力系。力系平衡时，四个力中，有一个力的方向未知，另一个力的大小未知。问这种情况能不能用平面汇交力系平衡方程求解？
4.举出在骑自行车的过程中涉及力对点之矩的例子。
5.半径为R的圆轮可绕轴O转动，轮上作用一力偶矩为M的力偶和一个与轮缘相切的力F（图2.20），轮在力偶M和力F的作用下处于平衡状态。这是否说明力偶可以用一个力来平衡？
图2.20
习题
1.固定在墙壁上的圆环受三条绳索的拉力作用，F1=2000N，F2=2500N，F3=1500N，各力方向如图2.21所示。求此力系的合力。
图2.21
图2.22
2.四根桁架杆件在节点O处铰接。节点O处于静止状态，各力方向如图2.22所示，已知其中两个力的大小，求力F1和F2的大小。
3.平面刚架上作用一主动力F=60kN，如图2.23所示。求刚架A、D处的支座约束力。
图2.23
图2.24
4.图2.24所示简易起重机用钢丝绳吊起重为FG=2kN的重物，杆件自重、摩擦及滑轮大小等都不计，A、B、C三处简化为铰链连接；求杆AB和AC所受的力。
图2.25
5.图2.25所示压路机的碾子重FG=20kN，半径r=40cm，若用一通过其中心的水平力F拉碾子越过高h=8cm的石坎，问力F应为多大？若要使力F值为最小，力F与水平线的夹角α应为多大，此时力F值为多少？
6.求图2.26所示力F对O点之矩。
图2.26
7.挡土墙如图2.27所示，已知单位长挡土墙重FG=130kN，墙背作用土压力F1=85kN，试计算各力对挡土墙前趾A点的力矩，并判断墙是否会倾倒。
图2.27
图2.28
8.如图2.28所示的工件上作用有三个主动力偶，三个力偶的矩分别为：M1=M2=10N·m，M3=20N·m。在A、B处各作用一力FA和FB，两力作用线平行且指向相反，FA=FB=150N。问工件是否能转动？
9.已知梁AB上作用两个力偶，力偶矩大小分别为M1=20kN·m，M2=8kN·m。求支座A和B的约束力。
图2.29
图2.30
10.在图2.30所示结构中，各构件的重量不计，在构件BC上作用一矩为M的力偶，求支座A的约束力。