3.3 空间力系的平衡方程
空间汇交力系的平衡方程 如图3.5（a）所示，某物体受到汇交于O点的空间汇交力系作用。空间汇交力系与平面汇交力系相同，可以合成一个作用于汇交点的一个合力
FR，如图3.5（b）所示。合力FR的力矢等于各分力Fi力矢的矢量和，如图3.5（c）所示。合力的矢量为
FR=F1+F2+…+Fn=ΣFi
图3.5
将上式等号两端矢量分别向x、y、z轴投影，即
FRx=ΣFxi，FRy=ΣFyi，FRz=ΣFzi
（3.7）
式（3.7）称为空间力系的合力投影定理，即合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，由图3.5（c）中空间力矢多边形直接可判定出此定理成立。
由式（3.3）可知，合力FR的大小为
FR=㊣（ΣFxi）2+（ΣFyi）2+（ΣFzi）2
由于空间汇交力系可合成为一个合力，因此，空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零，即
FR=㊣（ΣFx）2+（ΣFy）2+（ΣFz）2 =0
欲使上式成立，必须同时满足
ΣFx=0ΣFy=0ΣFz=
㊣
㊣
（3.8）
0㊣
式（3.8）称为空间汇交力系的平衡方程（为便于书写，下标i可略去），可用来求解三个未知量。
图3.6
【例3.2】直杆AB、AC、AD铰接于点A，
悬挂一重物，物体的重量FG=1000N，如图3.6所示，直杆AB与AC等长且垂直，
已知∠OAD=30°，∠OAB=45°，且B、C、D均为铰链。不计杆重，试求各杆所受
的力。
解：取铰接点A为研究对象，画受力图如图3.6所示。选直角坐标系Oxyz。列平衡方程
ΣFx=0
-FAC-FADcos30°sin45°=0
ΣFy=0
-FAB-FADcos30°cos45°=0
ΣFz=0
FADsin30°-FG=0
由以上三式联合求解得
FAD =2000（N）
FAC=FAB=-1224.7（N）
直杆所受力FAC、FAB的值为负，表示其实际方向与受力图中所设的方向相反。
空间任意力系的平衡方程 空间任意力系与平面任意力系相同，也可以向一点简化，简化后可得到一个空间汇交力系和一个空间力偶系。这个空间汇交力系可以合成一个合力，空间力偶系也可以合成一个力偶。当力系平衡时，物体在空间任意方向上都不能移动，也不能绕任意轴转动，这个汇交力系的合力等于零，这个空间力偶系的合力偶矩等于零。因此，空间任意力系的平衡方程共有六个，即
ΣFx=0ΣFy=0ΣFz=0
㊣
ΣMx（F）=0ΣMy（F）=0ΣMz（F）=
㊣
（3.9）
0㊣
式（3.9）称为空间任意力系的平衡方程，表明空间任意力系平衡时，力系中所有各力在每一个轴上的投影代数和等于零，并且各力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零。六个方程可用来求解六个未知量。
【例3.3】水平的正方形板用六根直杆固定于地面上，直杆两端均用球铰连接。板中间作用一力F，方向竖直向下，如图3.7所示。杆及板的重量不计，求各杆所受的力。
图3.7
解：以平板为研究对象，由于各杆均为二力杆，设各杆受拉，受力图及坐标轴设置如
图3.7所示。列方程求解：
ΣMy（F）=0
-F6×a-F×a2=0 F6=-F2
ΣMz（F）=0
F5sin45°×a=0 F5=0
ΣMx（F）=0
-F4×a-F6×a-F×a2=0 F4=0
ΣFx=0
-F1sin45°-F5sin45°=0 F1=0
ΣFy=0
F3sin45°=0 F3=0
ΣFz=0
-F2-F6-F=0 F2=-F6-F=-F
2
F2与F6为负值，说明2杆和6杆受压。
空间平行力系的平衡方程 空间平行力系是空间任意力系的一种特殊情形。如图3.8所示，物体所受空间平行力系作用，取z轴与各力的作用线平行，不
论力系是否平衡，都恒有ΣFx≡0，ΣFy≡0，ΣMz
（F）≡0。由空间任意力系的平衡方程式（3.9）可知，空间平行力系的独立平衡方程的数目只有三个，即
ΣFz=0
㊣
㊣
（3.10）
ΣMx（F）=0ΣMy（F）=
0㊣
图3.8
式（3.10）称为空间平行力系的平衡方程，表明
空间平行力系平衡时，力系中所有各力在与力的作用线不垂直的坐标轴上的投影代数和等于零，并且这些力对其他两个与力作用线不平行的轴之矩代数和等于零。三个方程可用来求解三个未知量。
【例3.4】三轮推车上放置一电动机，如图3.9（a）所示。已知AH=BH=0.5m，CH=1.5m，EH=0.3m，DE=0.5m；电动机重量FG=1.5kN，作用在点D，如图3.9
（b）所示。试求车轮A、B、C所受的压力。
图3.9
解：取三轮推车为研究对象，画受力图如图3.9（b）所示。设置直角坐标系Bxyz，
列平衡方程
ΣMx（F）=0
FNC ×CH-FG ×DE=0
则
FNC=FGC×HDE=1.51.×50.5=0.5（kN）
ΣMy（F）=0
FG ×BE-FNC ×BH-FNA ×AB=0
则
FNA =FG ×BE-FNC ×BH
=1.5×0.8-0.5×0.5
=0.95（kN）
AB
1
ΣFz=0
FNA+FNB+FNC-FG=0
则
FNB=FG-FNA-FNC=1.5-0.95-0.5=0.05（kN）
思考题
3.1 在空间直角坐标系中，只平行于坐标轴的力、只垂直一个坐标轴的力和不垂直任一个坐标轴的力，三种力分别有几个不为零的投影?
3.2 设有一力F，试问在何种情况下有Fx=0，Mx（F）=0?在什么情况下Fx=0，
Mx（F）≠0?又在何种情况下有Fx≠0，Mx（F）≠0?
3.3 已知力F与x轴的夹角为α，与y轴的夹角为β。若已知力F的大小，能否计算出此力在z轴上的投影FZ?
3.4 你开门或闭门时，力作用在什么位置和方向最为省力?
3.5 三个直立腿的板凳放在水平地面上，在已知板凳重量的情况下，能否求出地面对三个腿的支持力?另外，对于四腿的板凳能否求出地面的支持力?为什么?
3.6 一个空间任意力系，在其平衡时，可列几个独立平衡方程?
3.7 空间任意力系向三个互相垂直的坐标平面投影，可得到三个平面力系，每个平面力系可列出三个平衡方程，故共可列出九个平衡方程。这样是否可以求解出九个未知量?试说明理由。
习题
3.1 试分别求出图示各力在三个坐标轴上的投影，已知F1=30N，F2=20N，F3=10N。
习题3.1图
习题3.2图
3.2 试求图示力分别对三个坐标轴的力矩，已知F=1kN，力作用面与Oxz坐标面平行，作用线与z轴夹角30°，曲柄在Oxy平面内。
3.3 在图示空间支架中，AB、AC、AD三杆杆端均为球铰连接，杆的自重不计。
已知：FG=10kN，AB=4m，AC=3m，且A、B、E、C在同一水平面内。试求三支承杆
的内力。
习题3.3图
习题3.4图
3.4 图示支架由六根铰接杆组成。等腰三角形EAK、GBM和NDB的各顶点A、B和D处均为直角，且杆1、2、4、5等长，在节点A上于ABNDC平面内作用一力F=20kN。求各杆所受的力。
3.5 在竖杆AB上施加图示的力，BD、BC为受拉绳索，竖杆AB在基础处由球铰支撑，如果140kN和75kN的力都位于水平平面内，且75kN的力与y轴平行。求A处的约束力。
习题3.5图
习题3.6图
3.6 图示吊杆AB用点A的球形铰与墙壁垂直相连，用图示的滑轮E和绳索（DEC）系统保持平衡。如果F=1500kN，求点A约束力在x、y、z轴方向的分量及绳
索DEC的拉力。
3.7 图示均匀混凝土板的重量FG=22kN，当绳索提升混凝土板到图示的水平平面时，求三根互相平行的钢索中的拉力。
3.8 为了保持图示1/4圆板的平衡，求作用在点A球铰的约束力、可动铰支座B的约束力及绳索CD的拉力。
习题3.7图
习题3.8图