3.4 物体的重心

重心的概念 在地球表面附近的物体，它的每一微小部分都受重力的作用。这些众多的微小重力汇交于地球中心。但由于地球半径远远大于一般物体的尺寸，所以可近似地认为这些微小重力是一个空间同向平行力系。这个力系的合力就是物体的重力，方向竖直向下，其合力的作用点称为物体的重心。物体的重心位置相对于物体是固定的，重心有时也可能在物体的形体之外。在工程中，重心具有很重要的实用价值。如挡土墙、水坝等，为了保证其不倾倒，必须选择适当的断面形状和尺寸，使其重心在某一范围内。又如吊装预制构件和大型的机械零件，需要知道其重心的位置，吊装才能平稳。因此，要求必须会求物体的重心位置。

物体重心坐标公式 将物体分割成n个微小部分，各部分的重力分别为 ΔF_G1、

ΔF_G2、…、ΔF_Gn，选取坐标系Oxyz，各微小

部分重力作用点的坐标分别为（x₁、y₁、z₁），

（x₂、y₂、z₂），…，（x_n、y_n、z_n），物体重心C的坐标为（x_C、y_C、z_C），如图3.10所示。

物体的重力大小为

F_G=ΣΔF_Gi

根据合力矩定理，各个微小重力对y轴取矩可得

M_y（F_G）=ΣM_y（ΔF_Gi）

图3.10

即

F_Gx_c=ΣΔF_Gix_i

所以

x_c=ΣΔF_Gix_i

F_G

同理，对x轴取矩可得

y_c=ΣΔF_Giy_i

F_G

将物体连同坐标系Oxyz一起绕x轴逆转90°后使y轴向上，于是重力与y轴平行，重力指向y轴的负向，如图中虚线箭头所示的方向。由重心的概念可知，物体重心C相

对物体的位置不变，这时再对x轴取矩可得

z_c=ΣΔF_Giz_i

F_G

所以，一般物体重心的坐标公式为

x_c=ΣFΔFGGx，y_c=ΣFΔFGGy，z_c=ΣFΔFGGz

（3.11）

若将物体分割成无限个微块，可写成积分形式，即

x_c=∫_FGFxdGF_G，y_c=∫_FGFydGF_G，z_c=∫_FGFzdGF_G

（3.12）

均质物体重心坐标公式 许多物体可看成是均质的，即物体的单位体积重量γ是常数。若物体的体积为V，则物体的重量为F_G=γV，每一微小体积的重量为ΔF_G=γΔV。把此关系代入式（3.11），并消去γ，则得均质物体的重心坐标公式为

x_c=ΣVΔVx，y_c=ΣVΔVy，z_c=ΣVΔVz

（3.13）

式（3.13）在极限情况下，可写成积分形式，即

x_c=∫_VxVdV，y_c=∫_VyVdV，z_c=∫_VzVdV

（3.14）

对于厚度远比其他两个方面尺寸小很多的均质等厚薄平板，取平板对称面为Oxy平面，如图3.11所示。薄平板的重心就在对称平面上，即z_c=0。设板厚为t，若平板的面积为A，则物体的总体积为V=tA；每一微小部分的体积为ΔV=tΔA，把此关系代入式（3.13）中，并消去t，则得等厚均质平薄板的重心坐标公式为

x_c=ΣΔAx

㊣

A

y_c=ΣΔAy㊣

（3.15）

A㊣

图3.11

式（3.15）在极限情况下，可写成积分形式，即

x_c=∫_AxdA

㊣

A

y_c=∫_AydA㊣

（3.16）

A㊣

【例3.5】试求图3.12所示均质物体的重心。

解：可将图示物体的形状看成为一个大长方体挖去一个小长方体而成。以C₁、C₂分别表示这两个长方体的重心。

取坐标系如图3.12所示。计算两长方体的体积及其重心坐标，挖去的体积应视为负值。即

V₁=80×60×80=384000（cm³ ）

x₁=40cm，y₁=30cm，z₁=40cm

V₂=-40×30×40=-48000（cm³ ）

图3.12

x₂=60cm，y₂=45cm，z₂=60cm，应用重心坐

标公式（3.13），求得该物体的重心坐标为

x_c=V₁Vx₁1++VV22x₂ =3840003×844000+0-（-4488000000）×60=37.1（cm）y_c=V₁Vy₁1++VV22y₂ =3840003×834000+0-（-4488000000）×45=27.9（cm）z_c=V₁Vz₁1++VV22z₂ =3840003×844000+0-（-4488000000）×60=37.1（cm）

利用对称性判定均质物体重心 若均质物体有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心在此对称面、对称轴或对称中心上。在求解均质物体重心时，若物体有对称面或对称轴，将坐标轴可设置在对称轴或对称面上，这样可减小计算量。

试验法确定物体重心 在工程中，对一些形状复杂或质量分布不均匀的物体，常用试验法来确定物体重心位置。常用的有以下两种方法：

悬挂法。对于形状复杂的薄板或具有对称面的板形零件，可先将薄板悬挂于任意一点A[图3.13（a）]，由二力平衡条件可知，重心一定在过悬挂点的铅垂线AB上，待薄板平衡后，画出铅垂线AB。然后再将薄板悬挂于另一点D[图3.13（b）]，同样可画出另一铅垂线DE。两直线的交点C，即为该薄板的重心。

称重法。工程上对体积较大的物体，常用称重法来确定其重心位置。例如，一发动机连杆，由于具有对称轴，所以只需确定重心在此轴线上的位置。首先用磅秤称出连杆的总重量F_G，然后将其一端支承在点A，将另一端点B置于磅秤上（图3.14），测出支点A与B间的水平距离l，最后列出连杆所受的力系对端点A的力矩方程。即

ΣM_A（F）=0

F_Bl-F_Gx_c=0

图3.13

图3.14

求解此方程，即得到发动机连杆的重心位置为

x_c=F_Bl

F_G

思考题

3.8 重心是物体重力合力的作用点，此点一定要在物体上吗?

3.9 你是否可以应用二力平衡原理，采用实验的方法确定小物体的重心?

3.10 计算物体的重心，如果选取两个不同的坐标系，则得出的重心坐标数值是否一样?这是否意味着物体的重心位置会改变?

3.11 将物体沿过重心的平面切为两半，两边是否一样重?

3.12 将一均质等截面的直钢筋弯成半圆形，直线形与半圆形的重心位置相同吗?

习题

3.9 材料A和B的比重分别为γ_A=24kN/m³，γ_B=64kN/m³。确定图示组合体的重心（单位：cm）。

3.10 图示机床重50kN，当水平放置时（θ=0°）秤上读数为35kN，当θ=20°时秤

上读数为30kN。试确定机床重心的位置（单位：m）。

习题3.9图

习题3.10图

3.11 求图示均质混凝土基础的重心位置（单位：m）。

习题3.11图