2.5 物体系统的平衡
前面我们所研究的都是单个物体的平衡问题，面对的研究对象只是一个，未知量最多三个，可直接应用平衡方程求解，解题过程比较简单。而对于物体系统的平衡问题，其研究对象较多，所包含的未知量较多，而且未知量之间的关系比较复杂。因此，必须了解物体系平衡问题的类型，掌握求解的要点，才能以最短的计算过程、最少的计算量，迅速地求出未知量。
物体系统平衡问题的类型 物体系统平衡问题可分为静定平衡问题和超静定平衡问题等两类。当由n个物体组成的物体系统处于平衡时，则可形成n个平衡力系；整个物体系可得到的独立平衡方程数目，等于各个平衡力系可列独立平衡方程数目之和。若物体系中的未知量数目等于或小于物体系可列的独立平衡方程数目，则所有未知量都可由平衡方程组求出，这样的问题称静定问题。当物体系中的未知量数目大于物体系可列独立平衡方程数目时，未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称超静定问题。对于超静定问题，
将在第10章中研究。
求解物体系统平衡问题的要点 只要物体系统的平衡是静定问题，最原始的解题方法是：作出物体系中各个物体的受力图，列出各平衡力系的平衡方程，所有平衡力系的平衡方程组成一个方程组，解此方程组，即可求出所有未知量。此种原始方法，虽然可行，但比较麻烦，计算工作量大，针对性不强。只要我们针对所求解的未知量，选取合适的研究对象以及采用合理的计算顺序，可以避免解联立方程组，大大地减少计算量，简捷地计算出所求未知量。
判定物体系统平衡问题类型。作出各个物体的受力图，由各物体作用的力系类型确定物体系能列独立平衡方程数，进而判定物体系的平衡是不是静定的。若为静定问题，才可进行后续静定分析计算。
正确作出物体系的受力图。在作出各个物体和整个物体系统的受力图后，对于不需要求解的物体系中某些物体间的相互作用力（物体系内力），可以不解除这些物体之间的约束，再画出由这几个物体组成的物体系局部受力图。注意同一约束力在各个对象上的表达方式要相同；注意各物体之间的作用力F与反作用力F′作用线共线，且绝对指向相反；在计算过程中，要特别注意作用力与反作用力的大小相等，即F′=F。
确定研究对象的选取次序。首选研究对象的条件是：对象上未知量数目等于或小于此平衡力系的独立平衡方程数目。当没有符合上述条件的对象时，可观察是否存在除一个未知力外，其他未知力都汇交于一点或都相互平行的力系，符合这种条件的对象也可作为首选，这时，对其他未知力交点可列力矩的平衡方程，或在其他未知力垂直方向列力投影平衡方程，可求出部分未知力。当首选对象上的未知力求出后，则与首选对象有相互作用的其他物体上对应的反作用未知力就变成了已知力，这样，可针对所求未知量以及根据首选对象的条件，再选研究对象，进行求解。重复以上步骤，即可解出所求的未知量。
【例2.12】图2.25（a）所示为一静定梁，B为中间铰。试求支座A、C的约束力和铰B的约束力。
图2.25
解：（1）对物体系进行受力分析，确定选取对象顺序。
物体系是由AB和BC梁段组成，每个梁段都作用平面任意力系，则可列六个平衡方程。物体系中包含未知约束力共六个（A处为固定端支端有两个约束力和一个约束力偶；中间铰B处有两个约束力，C处为可动铰支座有一个约束力）。平衡方程数等于未知量数，则此问题是静定的。分别作两梁段的受力图如图2.25（b）、（c）所示。在BC梁段上有三个未知大小的力，符合首选对象条件；在AB梁段上，有五个未知大小的力，不符合首选对象条件。因此，选取对象的次序为首选BC，后选AB。
（2）选BC为研究对象，列平衡方程
ΣMB（F）=0
FCsinα×2-F×1=0
则
FC=F2si×nα1=2×200.707=14.1（kN）
ΣMC（F）=0
F×1-FBy ×2=0
则
FBy=F2×1=220=10（kN）
ΣFx=0
FBx-FCcosα=0
则
FBx=FCcosα=10（kN）
（3）选取AB为研究对象，列平衡方程
ΣFx=0
FAx-F′Bx=0
则
FAx=F′Bx=FBx=10（kN）
ΣFy=0
FAy-q×2-F′By=0
则
FAy=q×2+F′By=10+10=20（kN）
ΣMB（F）=0
MA-FAy ×2+q×2×1=0
则
MA=FAy ×2-q×2×1=40-10=30（kN·m）
校核：ΣMA （F）=MA-q×2×1-F′By ×2=30-10-20=0
计算无误。
【例1.13】三铰刚架的受力及尺寸如图2.26（a）所示。求固定铰支座A、B和中间铰链C的约束力。
解：（1）对物体进行受力分析，确定选取对象顺序。
刚体共有六个未知大小的约束力，而两个构件（AC和BC）都受平面任意力系作用，故可列六个独立平衡方程，因此，刚架为静定结构。分别对刚架整体和AC、BC单个构件进行受力分析，各受力图如图2.26（b）～（d）所示。观察AC部分和BC部分的受力，未知力两两相交且两两平行，无论如何选取投影轴和矩心，每个平衡方程都将包含两个未知力，因而必须解联立方程组，才能解出这六个未知力。为避免解联立方程组，由刚架的整体受力图可知，其上的四个未知约束力虽然不能由三个平衡方程全部解出，但除力FBy外，其他三个未知力汇交于点A，故可以点A为矩心，由力矩方程单独解出FBy。若以B点为矩心，同理也可解出FAy。当解出力FBy和FAy后，即可再取BC为研究对象，求出其他未知量。由以上分析可得，本题取研究对象的顺序是先取整体刚架，再取其中任一部分构件。
（2）选取整个刚架为研究对象[图2.26（b）]，列平衡方程
图2.26
ΣMA（F）=0
FBy ×8-q×8×4-F×2=0
则
FBy=5×32+32×2
=28（kN）
8
ΣFy=0
FAy+FBy-q×8=0
则
FAy=q×8-FBy=40-28=12（kN）
ΣFx=0
FAx-FBx+F=0
则
FAx=FBx-F
①
注意：尽管由式①还解不出FAx和FBx，但是，还是要把两未知力之间的关系式求出，以备后边求解用之，可避免重复选取对象的麻烦。
（3）选取BC为研究对象[图2.26（d）]，列平衡方程ΣMC（F）=0
FBy ×4-FBx ×4-q×4×2=0
则
FBx=FBy×4-q×8
=28×4-5×8
=18（kN）
4
4
将FBx代入式①中，可得
FAx=FBx-F=18-32=-14（kN）
ΣFx=0
F′Cx-FBx=0
则
F′Cx=FBx=18（kN）
ΣFy=0
FBy-F′Cy-q×4=0
则
F′Cy=FBy-q×4=28-20=8（kN）
校核：ΣMB（F）=F′Cy ×4-F′Cx ×4+q×4×2=8×4-18×4+5×8=0，计
算无误。
思考题
2.21 判定图（a）、（b）所示物体系统是静定问题还是超静定问题。
思考题2.21图
2.22 对于整个物体系统来说，可能是一个静定问题；而单独拿出物体系统中的某一个物体来说，也可能成为超静定问题。因此，求解物系问题的关键是有序地选取研究对象。你如何确定这些对象求解的先后?
2.23 图示为由AB、BC和CD等三个梁段组成的多跨静定梁，共有九个未知约束力。试分析求解这些约束力时选取研究对象的次序。
思考题2.23图
2.24 图（a）、（b）所示分别为简支刚架和三铰刚架，都作用了三个集中力F1、F2和F3，作用位置如图所示。三个力的合力为FR，如图中虚线所示。对于这两个结构，用分力求支座约束力与用合力求出的支座约束力是否相同?为什么?
思考题2.24图
2.25 在求解物体系统问题的过程中，最容易出错的地方是物体之间的联系点处。物体之间的相互约束力怎样表达?在代数方程计算中，作用力与反作用力的数值如何代入?
习题
2.26 求图示组合梁的支座约束力。2.27 求图示组合梁的支座约束力。
习题2.26图
习题2.27图
2.28 求图示三铰刚架的支座约束力。
习题2.28图
习题2.29图
2.29 求图示组合刚架的支座约束力。
2.30 在图示结构中，各杆自重不计。试求CD、DE两杆所受的力。
2.31 图示为一组合梁ABC的支承及所受的荷载。求固定端支座A的约束力。
习题2.31图
习题2.30图