2.4 平面任意力系的平衡

平面任意力系的平衡条件 由上节讨论可知，反映平面任意力系的特征量是它的主矢和对某一点的主矩。由力系的主矢和主矩即可判定力系的等效结果。显然，主矢等于零，表明力系不可能合成一个力。主矩等于零，表明力系不可能合成一个力偶。主矢和主矩同时等于零，说明原力系必为平衡力系。平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即

F′_R=0

M_O=㊣

㊣0㊣

（2.16）

平面任意力系的平衡方程 把平衡条件用方程式表示，对于平面任意力系，平衡方程有三种形式。

基本形式平衡方程。由式（2.14）和式（2.15）可知，当式（2.16）成立时，可得

下列方程式

ΣF_xi=0ΣF_yi=0ΣM_O（F_i）=

㊣

㊣

（2.17）

0㊣

式（2.17）表示力系中所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。式（2.17）是平面任意力系平衡方程的基本形式。它只是平衡条件的解析表达的一种形式。

【例2.7】图2.18（a）所示悬臂梁，受力如图所示。试求固定端支座的约束力和约束力偶。

图2.18

解：（1）取梁AB为研究对象，对其进行受力分析。梁所受的主动力有均布荷载q和集中荷载F。它所受的约束力为固定端支座A处的两个约束力F_Ax、F_Ay和约束力偶M_A。

其受力如图2.18（b）所示。

（2）设置坐标系，列平衡方程。

ΣF_x=0

F_Ax-Fsin30°=0

则

F_Ax=Fsin30°=6（kN）

ΣF_y=0

F_Ay-ql-Fcos30°=0

则

F_Ay=ql+Fcos30°=30.4（kN）

ΣM_A（F）=0

M_A-qll2-Fcos30°l=0

则

M_A=ql22+Flcos30°=40.8（kN·m）

（3）校核。

ΣM_B （F）=M_A-F_Ayl+qll2=40.8-30.4×2+10×2=0

计算过程无误。

二力矩式平衡方程。在三个平衡方程中有两个矩方程和一个投影方程，即

ΣM_A（F_i）=0ΣM_B（F_i）=0ΣF_xi=

㊣

㊣

（2.18）

0㊣

附加条件为：x轴不可与A、B两点的连线垂直。

为什么式（2.18）也能满足力系平衡的必要和充分条件呢?这是因为，如果两个矩方程成立，则排除了力系合成一个力偶的可能性。显然，力系最有可能与过A、B两点连线的一个力等效，如图2.19所示；若选取的投影轴不与A、B两点连线垂直，当力系在满足投影方程ΣF_x=0时，这就完全排除了力系简化为过A、B两点连线的力的可能性。故所研究的力系为平衡力系。

图2.19

三力矩式平衡方程。三个平衡方程都为力矩方程，即

ΣM_A（F_i）=0ΣM_B（F_i）=0ΣM_C（F_i）=

㊣

㊣

（2.19）

0㊣

附加条件为：A、B、C三点不共线。

若三个矩方程都成立，排除了力系合成力偶的可能性；最大可能是力系与过A、B、C连线的一个力等效；但式（2.19）的附加条件又完全排除了这种可能性。故所研究的力系也必为平衡力系。

上述三组方程式（2.17）～式（2.19），究竟选用哪一组方程，要根据具体情况选定。对于受平面任意力系作用的单个对象的平衡问题，尽管可写出多于三个不同形式的平衡方程，但是，其中只有三个是独立的，任何第四个方程只是前三个方程的线性组合。

【例2.8】求图2.20（a）所示的简支梁AB的支座约束力。

图2.20

解：（1）取梁AB为研究对象进行受力分析。梁所受的主动力有均布荷载q，集中力F和集中力偶M_e。它所受的约束力有固定铰支座A的两个分力F_Ax和F_Ay，可动铰支座B

的约束力F_B。其受力如图2.20（b）所示。

（2）设置坐标系，列平衡方程。

ΣM_A（F）=0

F_B ×8-M_e-F×4-q×4×2=0

则

F_B=M_e+F×4+q×8

=80+160+160

=50（kN）

8

8

ΣM_B（F）=0

-F_Ay ×8-M_e+F×4+q×4×6=0

则

F_Ay=-M_e+4×F+q×24

=-80+160+480

=70（kN）

8

8

ΣF_x=0

F_Ax=0

（3）校核。

ΣF_y=F_Ay-q×4-F+F_B=70-80-40+50=0

计算过程无误。

【例2.9】求图2.21（a）所示刚架A、D处的支座约束力。

图2.21

解：（1）取刚架为对象，进行受力分析。刚架上所受的主动力有F和力偶M_e。受有固定铰支座A的约束力F_Ax和F_Ay；有可动铰支座B的约束力F_B，作用线与水平面夹角α

=45°。刚架受力如图2.21（b）所示。

（2）设置坐标系列平衡方程求解。

ΣM_D （F）=0 F_Ay ×4-M_e-F×2=0

则

F_Ay=M_e+F×2

=20+40×2

=25（kN）

4

4

ΣM_A （F）=0 F_Dsinα×4+M_e-F×2=0

则

F_D=F×4s2in-αM_e=48×00-.27007=21.22（kN）

ΣM_B（F）=0 F_Ax ×4+M_e-F×2=0

则

F_Ax=F×2-M_e

4

=804-20=15（kN）

（3）校核。

ΣF_y=F_Ay-F+F_D ·sinα=25-40+21.22×0.707=0

计算过程无误。

由以上例题分析可知，在求解过程中，采用二力矩式或三力矩式方程，尽量把矩心选在多个未知力的交点处，使一个方程中只包含一个未知量，可以不解联立方程，直接求得

未知量。采用矩方程往往比投影方程简便。

平面平行力系的平衡方程 平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。在平面力系中，各力的作用线相互平行时，称为平面平行力系。如图2.22所示，设物体受平面平行力F₁、F₂、…、F_n的作用。如选取x轴与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在x轴上的投影恒等于零，即ΣF_x≡0。于是，由式（2.17）可知，平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即

ΣF_y=0

ΣM_O（F）=㊣

㊣0㊣

（2.20）

式（2.20）是平面平行力系平衡方程的基本形式，当力系中所有各力在不与力作用线垂直的任一轴上投影代数和为零；力系中各力对任一点的矩的代数和等于零，力系满足这两个方程时，力系必是平衡的。

由平面任意力系平衡方程的二力矩形式，可导出平面平行力系平衡方程的二力矩式，即

ΣM_A（F）=0

ΣM_B（F）=㊣

㊣0㊣

（2.21）

图2.22

附加条件为：A、B两点的连线不与各力的作用线平行。

【例2.10】一桁架桥如图2.23（a）所示。桁架各杆的自重不计。试求支座A、B的约束力。

图2.23

解：（1）取整个桁架为研究对象进行受力分析。桁架上作用有已知荷载F₁、F₂、F₃。可动铰支座B处的约束力F_B也平行于已知荷载各力。固定铰支座A处的约束力F_A的作用线只有与其他各力平行，才能保持力系为平衡力系。因此，荷载与支座约束力组成平行力系。桁架受力如图2.23（b）所示。

（2）设置坐标系如图示，列平衡方程。

ΣM_A（F）=0

F_B×12-F₁×3-F₂×6-F₃×9=0

则

F_B=60×3+100×6+40×9

=95（kN）

12

ΣF_y=0

F_A+F_B-F₁-F₂-F₃=0

则

F_A=60+100+40-95=105（kN）

（3）校核。

ΣM_B（F）=-F_A×12+F₁×9+F₂×6+F₃×3

=-105×12+60×9+100×6+40×3=0

说明计算无误。

【例2.11】塔式起重机如图2.24所

示，塔架重F_G1=220kN，作用线通过塔架

的中心，轨道AB的间距为4m，平衡锤C的重心到塔身中心线距离为6m，最大伸臂

长为12m。最大起重量为F_G2=50kN。保证

起重机在满载和空载时都不致翻倒，试求平衡锤的重量F_G3的取值范围。

解：（1）取起重机为研究对象进行受力分析。作用在其上的主动力有荷载F_G2，塔架的重力F_G1，平衡锤的重力F_G3，轨道对轮的光滑面约束力F_NA和F_NB。其受力如

图2.24所示。

（2）列平衡方程求解。分别列两种临界状态的平衡方程进行求解。

图2.24

当满载时，为使起重机不绕点B顺时针转动翻倒，力系必须满足不等式

ΣM_B（F）≥0。在此倾倒的临界情况下，F_NA=0，ΣM_B（F）=0，此时求出的F_G3值是所允许的最小值F_G3min。

ΣM_B（F）=0

F_G3min×（6+2）+F_G1×2

-F_G2×（12-2）=0

则

F_G3min=50×10-220×2

=7.5（kN）

8

当空载时，F_G2=0，为使起重机不绕点A逆时针转动翻倒，力系必须满足不等式

ΣM_A（F）≤0。在倾倒的临界情况下，F_NB=0，ΣM_A（F）=0，这时求出的F_G3值是所允

许的最大值F_G3max。

ΣM_A（F）=0

F_G3max×（6-2）-F_G1×2=0

则

F_G3max=2×4F_G1 =2×4220=110（kN）

起重机实际工作时，不允许处于将要翻倒的临界状态，要使起重机不翻倒，平衡锤重F_G3的取值范围应是

7.5kN＜F_G3＜110kN

思考题

2.16 你是否可以应用一个读数50kg的杆秤一次称量100kg以上的物体?说明你的方法?

2.17 平面任意力系的平衡方程有三种形式，每一种形式有三个平衡方程，那么一个平面任意力系就可以列出九个平衡方程，则可求解九个未知量，这种说法对吗?为什么?

ΣF_x=0

㊣

2.18 图示力系作用于刚体，当力系满足二力矩式平衡方程组

ΣM_A （F）=0ΣM_B（F）

㊣

时，

=0㊣

能否绝对保证刚体平衡?为什么?

思考题2.18图

思考题2.19图

2.19 图示作用于刚体上虽然是平衡的平行力系，只要设置的坐标轴不与力作用线平行，仍然可列两个投影平衡方程ΣF_x=0、ΣF_y=0和一个力矩平衡方程ΣM_O（F）=0。这三个方程是独立的，因此可解三个未知量，这种判定成立吗?为什么?

2.20 平面汇交力系是否也能采用力矩形式的平衡方程?有什么限制条件?

习题

2.20 求图示悬臂梁的支座约束力。

习题2.20图

习题2.21图

2.21 求图示外伸梁的支座约束力。2.22 求图示悬臂刚架的支座约束力。2.23 求图示简支刚架的支座约束力。

2.24 某厂房边柱高9m，受力如图所示。已知F₁=20kN，F₂=40kN，F₃=6kN，q=4kN/m，F₁、F₂到柱轴线的距离分别为e₁=0.15m，e₂=0.25m。试求固定端支座A

的约束力。

2.25 图示为雨篷结构简图，水平梁AB受均布荷载q=12kN/m，B端用斜杆BC拉

住。求铰链A、C处的约束力。

习题2.22图

习题2.23图

习题2.24图

习题2.25图