2.6 考虑摩擦力的平衡问题

人在斜坡上可以站住而不下滑，说明斜坡不但对人施于垂直坡面的支持力，而且还施于平行坡面指向坡上的作用力。在冰壶运动中，当把冰壶推出后，冰壶的滑动速度会逐渐减小，直至最后停止下来，说明冰面对冰壶作用有与冰壶运动方向相反的作用力。这些现象说明，当相互接触的两物体产生相动滑动或有相对滑动趋势时，在两物体间的接触面上彼此作用着阻碍滑动的力，这种力称为滑动摩擦力，简称摩擦力，将这种现象称为摩擦。摩擦现象在建筑工程中是普遍存在的。如重力坝是依靠底部与地基间的摩擦力来阻止坝体的滑动，如图2.27（a）所示。在软地基上兴建厂房时，采用摩擦柱与土体间的摩擦力来承受基础上部的荷载，如图2.27（b）所示。摩擦也有不利的方面，如输水渠道，由于水流和渠壁产生摩擦，可使流速降低，使渠道发生沉积以及使渠壁破坏等。

图2.27

根据物体的运动状态不同，将摩擦力分为两种情况：当相互接触的两物体沿接触面仅有相对滑动趋势，但仍保持相对静止时产生的摩擦力，称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常用F_s表示；当接触面之间出现相对滑动时产生的摩擦力，称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以F表示。

静滑动摩擦力 如图2.28所示，在粗糙的水平面上放置一重为F_G的物体，物体上作用一水平拉力F_T，当拉力F_T由零逐渐增加的某一时段，物体有相对滑动趋势，但仍保持静止。支承面必然对物体有沿水平面与相对滑动趋势相反的静摩擦力F_s，因此，静摩擦力F_s满足平衡条件，即

ΣF_x=0

F_T-F_s=0

图2.28

则

F_s=F_T

（2.22）

由式（2.22）可知，静摩擦力F_s随主动力F_T的增大

而增大，且满足平衡条件；但它并不是随主动力的增大而无限度地增大，当主动力F_T的大小达到一定数值时，物体将处于将滑而未滑的临界状态；如果主动力F_T再继续增大，

物体发生滑动。因此，静摩擦力是一个有界量。它的上界就是物体处于临界状态时，滑面上的静摩擦力值，称为最大静摩擦力F_max。静摩擦力不但要满足静力平衡方程式（2.22），而且还要满足以下不等式

0≤F_s≤F_max

（2.23）

最大静摩擦力 实验表明，最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力（法向约束力）成正比，即

F_max=f_sF_N

（2.24）

式（2.24）称为静摩擦定律（又称库仑定律）。是工程中常用的近似摩擦理论。式中f_s是比例常数，称为静摩擦因数，它是量纲为一的量。静摩擦因数的大小需由实验测定。静摩擦因数与接触物体的材料和表面情况（如粗糙度，湿度和温度）有关，而与接触面积的大小无关。静摩擦因数的数值可在相应的工程手册中查到。表2.1中列出了一部分常用材料的静摩擦因数。

表2.1

几种材料的静摩擦因数

材料

f_s

材料

f_s

钢与钢

0.1～0.3

土与混凝土

0.3～0.4

钢与铸铁

0.2～0.3

皮革与铸铁

0.3～0.5

砖与混凝土

0.76

木材与木材

0.4～0.6

土与木材

0.3～0.65

石与砖或砖与砖

0.5～0.73

土与土

0.25～1.00

石与混凝土

0.5～0.8

由上述可知，当摩擦系统中的材料和作用在其上的主动力系一定时，物体无论是滑动还是静止，物体所受的垂直于滑面的法向正压力是一定的，则静摩擦力F_s的上界可事先由式（2.24）确定。因此，可以说，最大静摩擦力F_max反映了系统的抗滑能力。

动滑动摩擦力 当静滑动摩擦力达到最大值时，若主动力F_T再继续加大，物体将发生滑动。实验表明，动滑动摩擦力的大小，与接触物体间的正压力成正比，即

F=fF_N

（2.25）

式中f是动摩擦因数，它与接触物体的材料和表面情况有关。一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数，即f＜f_s。实践表明，动摩擦因数随着速度的增加而减小，但最后达到某极限值。在一定速度范围内，动摩擦因数可近似地认为是个常数。

摩擦角与自锁 如图2.29（a）所示，无论物体滑动与否，作用在物体上的力系在滑面法线方向上满足力投影平衡方程式，即

ΣF_y=0

F_N-F_Rcosφ=0

则

F_N=F_Rcosφ

①

将式①代入式（2.24）中，可求得最大静摩擦力为

F_max=f_sF_N=f_sF_Rcosφ

②

由式②可知，最大静摩擦力是事先可以求得，它随主动力合力F_R与滑面法线之间的夹角φ而变。因此，可以说最大静摩擦力是表征主动力抗滑能力的特征量。而主动力沿滑面方向的分量为

F_Rx=F_Rsinφ

③

主动力的这一分量F_Rx是表征主动力的滑动能力的特征量。由以上分析可知，主动力具有

双重性，它既有抗滑能力F_max=f_sF_Rcosφ，又有滑动能力F_Rx=F_Rsinφ。主动力的这两

种相反的能力的比值为

FFmRaxx=FFRcRosisnφφf_s=taf_snφ

④

由式④可知，这个比值与主动力的大小无关。当物体处于临界状态时，物体还是静止的，主动力的抗滑能力等于滑动能力，这时两者的比值为

FFmRaxx=taf_snφ=1

将这时主动力合力与滑面法线之间的夹角φ=φ_f称为摩擦角。显然，摩擦角φ_f只与静摩擦因数f_s有关，是事先可以求得的，即

f_s=tanφ_f或φ_f=arctanf_s

⑤

在对滑块进行受力分析时，事先可画出摩擦角φ_f，如图2.29（b）～（d）所示。

图2.29

当φ=φ_f时，即主动力合力作用在摩擦角边缘，如图2.29（b）所示。显然，主动力的抗滑能力与滑动能力的比值为

FFmRaxx=ttaannφφf=1

⑥

式⑥说明主动力的抗滑能力等于其滑动能力，物体必处于临界状态。

当φ＜φ_f时，主动力合力作用在摩擦角之内，如图2.29（c）所示。主动力的抗滑能力与滑动能力的比值为

FFmRaxx=ttaannφφf＞1

⑦

式⑦说明主动力的抗滑能力大于其滑动能力，物体必处于静止状态。将主动力合力作用在摩擦角之内，物体处于静止状态这种现象称之自锁。工程实际中常应用自锁条件设计一些机构或夹具，如螺旋千斤顶、压榨机、圆锥销等，使它们始终保持在自锁状态下工作。

当φ＞φ_f时，主动力合力作用在摩擦角之外，如图2.29（d）所示。主动力的抗滑能力与滑动能力比值为

FFmRaxx=ttaannφφf＜1

⑧

式⑧说明主动力的抗滑能力小于其滑动能力，物体必处于滑动状态。

考虑摩擦时物体的平衡 考虑摩擦时物体的平衡问题，其求解步骤与不计摩擦时的平衡问题大致相同，但有如下几个特点：

对物体受力分析时，除了主动力和一般的约束力外，还必须考虑接触面间切向的摩擦力F_s，通常增加了未知量的数目。

为确定这些新增加的未知量，需列补充方程，即F_s≤f_sF_N，补充方程的数目与摩擦力的数目相同。

由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，即0≤F_s≤f_sF_N，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，这个范围叫做平衡范围，也可用不等式表示。

工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号，即F_s=f_sF_N。在作受力图时，必须根据相对滑动趋势，正确判定摩擦力的方向，摩擦力F_s的方向按真实方向画。

【例2.14】用绳拉一重为F_G=600N的物体，绳与水平面的夹角α=30°，如图2.30

（a）所示，设物体与地面间的静摩擦因数f_s=0.2，当绳的拉力F_T=120N时，问能否拉动物体?并求此时的摩擦力。

图2.30

解：（1）取物体为研究对象，假设物体处于静止状态，静摩擦力为F′_s，画其受力图

如图2.30（b）所示。

（2）设置坐标系如图2.30（b）所示，由静力平衡条件得

ΣF_x=0

F_Tcos30°-F′_s=0

则

F′_s=F_Tcos30°=120×0.866=103.9（N）

ΣF_y=0

F_N+F_Tsin30°-F_G=0

则

F_N=F_G-F_Tsin30°=600-120×0.5=540（N）

由摩擦定律得

F_max=f_sF_N=0.2×540=108（N）

（3）判断物体的运动状态。由于假设物体静止时所需的静摩擦力F′_s小于最大静摩擦力F_max，所以物体确实处于静止状态。这时接触面上产生的静摩擦力为F_s=103.9（N）。

本例题是判断物体处于静止还是滑动状态的问题，求解这一类问题时，先假设物体处于静止状态，由平衡条件计算此时接触面上的假设静摩擦力的值F′_s，由摩擦定律计算最大静摩擦力值F_max。根据式（2.23）判定物体的运动状态。

【例2.15】物体重为F_G，放在倾角为θ的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为f_s，如图2.31（a）所示。当物体处于平衡时，试求水平力F₁的取值范围。

图2.31

解：（1）对物体上滑的临界状态进行受力分析。在此状态下，静摩擦力F_s沿斜面向下，并达到最大值F_max，这时，水平力F₁也就达到了其最大值F_1max。物体受力如图2.31（b）所示，列平衡方程

ΣF_x=0

F_1maxcosθ-F_Gsinθ-F_max=0

ΣF_y=0

F_N-F_1maxsinθ-F_Gcosθ=0

列补充方程

F_max=f_sF_N

三式联立，可解得

F_1max=F_Gscionsθθ+-ffsscsionsθθ=F_G1ta-nθf_s+tafnsθ

（2）对物体下滑的临界状态进行受力分析。在此状态下，摩擦力F_s沿斜面向上，并达到最大值F_max，这时，水平力F₁将为最小值F_1min。物体受力如图2.31（c）所示。列平衡方程

ΣF_x=0

F_1mincosθ-F_Gsinθ+F_max=0

ΣF_y=0

F_N-F_1minsinθ-F_Gcosθ=0

列补充方程

F_max=f_sF_N

三式联立，可解得

F_1min=F_Gscionsθθ-+ffsscsionsθθ=F_G1ta+nθf_s-tafnsθ

（3）确定平衡范围。综合上述两个结果可知，为使物块静止，力F₁必须满足如下条件

F_1min≤F₁≤F_1max

在此例题中，如斜面的倾角小于摩擦角，即tanθ＜f_s，推力F_1min=F_G1ta+nfθs-tafnsθ为负

值。这说明，此时物块不需要力F₁的支持就能静止于斜面上；而且无论重力F_G有多大，物块也不会下滑，这就是自锁现象。另外，此例题要求F₁的取值范围，为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。

【例2.16】铰车制动器如图2.32（a）所示。已知鼓轮半径r=0.15m，制动轮半径

R=0.5m，主动力F₁=200N，制动轮与制动块之间的静摩擦因数f_s=0.6，图中尺寸a=

0.4m，b=1.6m。试求维持系统静止所需最小制动力F₂的大小（不计制动块的厚度）。

图2.32

解：（1）取制动轮为研究对象，对其临界状态进行受力分析。制动轮在主动力F₁作用下，具有逆时针转动趋势。因此，制动块除给制动轮正压力F_N外，还有一个向右的最大静摩擦力F_max。其受力图如图2.32（b）所示。列平衡方程，得

ΣM_O（F）=0

F₁r-F_maxR=0 F_max=RrF₁

列补充方程

F_max=f_sF_N

求解以上方程，得

F_N=fFs1Rr=200.06××00..155=100（N）

（2）取杆AB为研究对象，画其受力图如图2.32（c）所示。列平衡方程，得

ΣM_A（F）=0

F′_N ×a-F₂（a+b）=0

则

F₂=Fa′_N+×ba=01.004+×01..46=20（N）

此例题是考虑摩擦时，物体系统的平衡问题。在最小制动力F₂作用的情况下，物体系统处于临界平衡状态。

思考题

2.26 当汽车行驶在结冰的路面上时，采用什么办法可以防止打滑?

2.27 在风的作用下形成的沙堆，迎风面的坡度较小，背风面的坡度较大，沙的摩擦角等于迎风面的坡度还是背风面的坡度?为什么?

2.28 在用传送皮带输送物体时，对皮带运行的速度以及坡度有无限制?为什么?2.29 物体A放在粗糙的斜面上，如图所示，设α＞φ^m（物体不自锁）。现在物体上

加一个垂直斜面方向的力F，问加上此力后能否制止物体下滑?为什么?

2.30 已知桌子重F_G，尺寸如图所示。现以水平力F推桌子，当刚开始推动时，A、B两处的摩擦力是否都达到最大值?若A、B两处的摩擦因数相同，此时两处的摩擦力是否相等?当力F较小而未能推动桌子时，能否求出A、B两处的静摩擦力?

思考题2.29图

思考题2.30图

习题

2.32 图示为一吊桥的锚固墩，吊桥的铁索锚固在墩内。已知铁索的拉力F=1960kN，锚固墩与地基的静摩擦因数为0.4。铁索与水平线间的夹角α=20°，求锚固墩不致滑动时的最小自重。

习题2.32图

习题2.33图

2.33 图示物体重F_G=1000N，放在倾角α=30°的斜面上，物体与斜面接触面间的静摩擦因数f_s=0.15，如受水平力F=500N作用，问此物体是否发生滑动?如滑动，其滑动方向朝上还是朝下?如果静止，静摩擦力的大小和方向如何?

2.34 图示为用以升降混凝土的简单起重机。已知混凝土和吊桶共重25kN，吊桶与

滑道间的静摩擦因数为0.3，分别求重物匀速上升与下降时的绳子张力。

习题2.34图

习题2.35图

2.35 图示为混凝土坝的横断面，坝高50m，底宽

44m，设1m长的坝段受到水压力F=9930kN，作用位置

如图示。混凝土的容重γ=22kN/m³。坝与地面的静摩擦因数为0.6，问此坝是否会滑动?此坝是否会绕点B而倾倒?

2.36 砖夹由曲杆AHB和HCED在点H铰接而成。

砖重为F_G，提砖的力F与砖的重力F_G作用在同一铅直线上，其余尺寸如图所示，尺寸b是点H到砖块上所受压力的合力作用线间的距离。设砖夹与砖之间的静摩擦因数为0.5，问b应为多大时才能把砖夹起?

习题2.36图