起立鼓掌问题
我们通过考察一个非常简单的社会现象作为探讨复杂适应社会系统的开端：起立鼓掌问题（可参考Schelling，1978； Miller and Page，2004）。起立鼓掌，是说观众不由自主地1起身为感人的演出鼓掌。尽管起立鼓掌问题本身并不宏伟，也不显得多么重要，但在现实世界中却确实存在着与他们十分类似的现象（我们稍后会讨论）。而且，他们为探索在建模复杂的社会系统时所遇到的一些关键问题提供了一个适宜的起点。
假如我们想构建一个关于起立鼓掌现象的模型。这并没有现成的方法或手段来实现。要建模这样一个现象需要使用各种数学的、计算的甚至是文学上的技巧。建模方法的最终抉择取决于我们的需求、想象，甚至包括我们在专业领域内的社会影响力。
不论采取哪种方法，对任何模型的探索都是为了获得在方便思考的同时仍具备一定的反映、勾绘现实的能力。
关于起立鼓掌问题的一个典型的数学模型可通过如下方法求得：假定演播厅共有N位观众，每个观众都对应一个描述实际演出质量的信号q；令si（q）表示第i位观众对应的信号，这里我们进一步指定该信号过程为，比方说，形如si（q）=q+εi的函数，其中εi是服从均值为0、标准差为σ的正态分布的随机变量；最后，我们假定对每个观众i，当且仅当si（q）＞T时他才起立鼓掌，其中T为某个临界阈值，只有当观众接收的信号强度高于它时，他才起立鼓掌。
如上给定的简单数学模型，能在多大程度上反映实际情况呢？该模型可以用来预测起立鼓掌的人数。我们可以将该预测与模型的关键特征进行关联；从而我们能将诸如演出质量q，起立阈值T，甚至q的标准差σ等模型要素与（在给定观众规模下）出现（首次）起立鼓掌的可能性关联起来。对于上述给定的模型，起立鼓掌的可能性是我们所能预测的。这些预测也确实在一定程度上反映了现实情况，但是他们不能阐释一些关键信息（比如后续的起立鼓掌情况）——这些信息正是使得起立鼓掌问题变得尤为有趣的首要原因。
鉴于此，我们需要修改模型使得它能反映更多的信息。由于在实际环境中，人们是有可能被其他人的反应所影响的。为此我们引入一个新的参数α，它表示：如果受各自的信号q激发而起立鼓掌的观众比例超过α，则会导致那些（由于他们感知的信号q小于等于T）而本无心起立鼓掌的观众最终无视自己原有信号的约束，受整体趋势影响而起立。在某些领域，比如经济学，我们甚至需要更进一步地探究α以判断是否可以将之与某些第一性原理联系起来。例如，也许人们会意识到他们自己对表演水平的判断是不完全的，因而会通过观察其他人的反应并将这些观察到的信息与自己原有的判断综合起来作出决定。在这里我们为了避免这种复杂情况，仅仅假设（由于某些原因）α是存在的。
我们更精细的模型为刻画起立鼓掌问题提供了一些新的见解。如果初始情况下起立的人数比例超过α，那么所有人都会这么做；否则，起立鼓掌的人数仍然保持原有水平。此时，我们仍能利用该模型来对现实情况进行预测。通过了解各种规模下初始鼓掌的可能性，我们能预测（在给定某个α时）其他人亦加入鼓掌的可能性。
正如我们所看到的，数学模型可以如此简洁而优美。但这个模型仍不能如我们所期望的那样反映所有的现实情况。例如，我们知道实际情形下鼓掌的情况并不会完全吻合模型所预测出的极端情况；相反，鼓掌经常表现出时间上的渐进性——逐渐有新的观众成批地加入鼓掌，以及空间上的区域性——掌声通常集中于剧院中的某些区域。我们现有模型所能反映的和我们所期望得到的对现实情况的反映之间尚存在着相当大的差距。
为了满足这些额外的需求以弥补差距，我们可以从复杂系统中引入一些思想来进一步扩展数学模型。这可能要求我们使用不同的底层架构来建模，甚至可能需要借助间接的计算而非直接的数学公式，但此刻，确定建模的方向（或目的）比选择究竟基于哪种底层架构来建模更为重要。我们需要做的第一步工作是为每个观众在剧院中分配座位，而不再简单假定他们都坐在剧院的前排。此外，我们还假定观众之间是存在联系的，即通常是熟人相伴而来并坐在一块（参见图2.1）。2
一旦我们区分观众座次，假定相熟的人坐在相邻的位置，则模型的驱动力也将发生变化。例如，之前的信号独立性假设将受到质疑。很有可能坐在剧院某个位置（或者说“过道旁边”）的观众对演出好坏的感受与其他位置的观众不一样。观众所处的位置不但决定了诸如身旁还有哪类观众等一些物理因素，而且还左右了对演出好坏的初始倾向。同样，当周围除了陌生人外还有他的朋友时，观众会区别对待由他们的朋友传递过来的信号——这要么是由于来自同伴的压力(4)，要么是因为他们的友谊本来就是建立在一些共同爱好之上(5)。
图2.1 构建起立鼓掌模型的两种视角
在最简单的情况下，模型并不区分座位本身，就像所有观众都坐在同一个座位上一样（见左半图），而更加精细的模型（见右半图）注重座位的空间布局、观众间生疏程度以及诸如视觉效果等物理因素在系统中所扮演的作用。在这两种模型中，前者可能需要依赖形式数学、统计学等传统工具，而后者可能需要充分利用基于主体对象的计算模型这类新技术。
承认观众座次位置的差异以及他们彼此之间的生疏有别，为我们的模型引入了一个新而重要的异质性来源。在（之前的）数学模型中，仅有的异质性来源于对εi的不同刻画。而现在，即使是“同一个”人观看同一场演出，如果他坐在演播厅的不同位置或与不同的人为伍，也将会有不同的反应。
模型动力学也开始变得更加复杂。在原来的模型(6)里，我们为每个观众（根据其信号q的大小）做出是否起立鼓掌的决定后，下一步的决定（是否那些原本不打算鼓掌的观众由于受气氛感染等因素影响而起立鼓掌）取决于原本打算起立鼓掌的人数（所占的比例是否超过α）。继此之后，模型将维持在一个均衡状态——要么只有原本决定起立的人在鼓掌，要么所有人都这么做。新模型体现了更加详尽（也更贴切实际）的动力学。一般而言，它不会在只经历两次决定之后就达到稳定。通常情况下，首轮起立鼓掌将会导致其他人效仿，继而这个效仿也会引起更多人的反应；这样，整个系统将呈现出一系列逐步波及式的响应行为，难以马上稳定下来。
这两种建模方法以完全不同的方式来刻画现实情况。在第一个模型中，要么起立鼓掌的人数比例小于α，要么所有人都起立；而在第二个模型中，起立鼓掌的人数比例可以是任何百分比。在第一个模型中的结果取决于两阶段的决定；在第二个模型中，逐级响应会最终波及整个观众席，而这个响应往往需要经历多个阶段（不止两次）。在第一个模型中每个人所受到的影响是相同的（有或者无）；而在第二个模型中所受到的影响取决于友情关系，甚至座位的位置。奇妙的是，位于前排的观众相比其他人而言拥有最多的视觉影响力而受到的视觉影响最少，然而最后一排的观众刚好相反（不妨将前者想象成名人而将后者想象为学者）。
第二个模型提供了许多新的分析能力。是演出本身吸引了更多的观众导致更多的掌声吗？怎样改变剧院的设计（比如增加包厢）来影响鼓掌？如果你想诱发一次鼓掌，在哪儿安置你的“托儿”会比较合适？如果观众倾向于根据对演出的偏好来选择座次——比如过道的左右两侧，或前排更贵的座位——那么鼓掌的表现模式是否会有所不同？
尽管起立鼓掌本身并不是最迫切的社会问题，但是它与大量和社会传染病有关的重要行为有关联。在这些疾病传播过程中，人们总是与其他人有着关联并受之影响。因此，为了明白一种疫情蔓延的动态，我们不仅需要知道人与人之间接触时疾病是如何传播的，而且需要知道随着时间的推移谁和谁进行了接触。这种传播现象推动了各种各样重要的社会进程——从犯罪到学术创造，以及卷入恐怖组织等。