第三节 世代交叠模型

基本世代交叠模型的设定

世代交叠模型由无限的相互交叠的世代序列所构成。每个世代有有限的生命，而经济却是永远继续的。

在这一模型中假设每个代表的消费者只能生存有限的期间，假设生存两个期间为青年期和老年期。模型中假设在t期出生的t世代的消费者在t期付出1单位的劳动获得w_t的报酬。他用这一报酬来进行这一期的消费c_t和储蓄s_t。而在下一个期间即t＋1期，这是t世代的老年期，在这一期中，他退休不再劳动，他把上一期储蓄得到的钱全部用于老年期的消费。

这一模型中，t世代的消费者的总效用为

u（c_1t）＋βu（c_2t＋1）

其中，c_1t为t世代的消费者在t期的年轻时期的消费，而c_2t＋1为他在t＋1期老年期的消费，而0＜β＜1为贴现率。

预算约束为

w_t=c_1t＋s_t

及

c_2t＋1=（1＋r_t＋1）s_t

其中，w_t表示消费者付出的1单位劳动得到的工资；s_t则表示消费者的储蓄；而r_t＋1表示t＋1期的利息。前一个预算约束式表示消费者的工资都用于支付t期的消费和储蓄，以备退休后生活之需。而后一预算约束式则表示消费者储蓄的本和息都用于他老年期的消费。

消费者的行动是选择他t期的消费和储蓄，以使他的效用达到最大。把预算约束代入效用函数的表示式得到

u（w_t-s_t）＋βu［（1＋r_t＋1）s_t］

效用函数变成了s_t的函数，消费者在工资w_t和利息r_t＋1给定的情况下，选择他的储蓄s_t而使他的效用达到最大。由于我们也假设稻田条件成立，所以0＜s_t＜w_t成立。由于u被假设为严格凹函数，所以最优解一定唯一存在而且是内部解。由一阶条件得到

-u′（c_1t）＋（1＋r_t＋1）βu′（c_2t＋1）=0 （1.1）

这是一个差分方程。

从生产者的角度来看，他的生产函数为

F（K，L）=AK^αL^1-α=Lf（k）

其中，K是生产的资本投入，而L为劳动投入，而A为常数，。

企业的利润函数为

AK^αL^1-α-wL-rK

由企业的利润最大化，得到一阶条件

由上式得到

w_t＝f（k_t）-k_tf′（k_t）

及

r_t＋1=f′（k_t＋1）

在这里，，而。

假设有人口增长存在，而且设人口增长率是不变的，即

把以上表示代入式（1.1），得到

u′［f（k_t）-k_tf′（k_t）-s_t］＋β［1＋f′（k_t＋1）］u′｛［1＋f′（k_t＋1）］s_t｝=0 （1.2）

由于以上为市场经济模型，那么，在均衡时应有储蓄等于资本的投资，也就是

s_tL_t=K_t＋1

上式可以改写为

s_tL_t=k_t＋1L_t＋1

即

s_t=nk_t＋1 （1.3）

代入式（1.2），得到

u′［f（k_t）-k_tf′（k_t）-n（1＋k_t＋1）］＋β［1＋f′（k_t＋1）］u′｛［1＋f′（k_t＋1）］nk_t＋1｝=0 （1.4）

这是一个差分方程，称为欧拉方程。这是世代交叠模型的动态方程。在世代交叠模型中，上一世代，即父母没有对于子女的爱，而且子女也没有任何赡养父母的义务，父母退休后的生活完全靠他们年轻时期劳动收入的储蓄来支撑。这样，就产生了过度储蓄的现象，造成了这一模型并不是帕累托效率的。这也是在动态的情况下，存在消费的时间选择的情况下，虽然是完全市场竞争均衡但并非帕累托最优的例子。存在着帕累托改善，例如，把t世代人的储蓄减少美元而用于他们自己t期的消费，而由t＋1世代的每个人给上一世代的人1美元，而t＋2世代的每个人又给上一世代的人1美元，这样，只要人口的增长数量n＞1，而且大于各期的利息t世代人就可以多消费美元，而t＋1世代减少的部分，由下一世代补给，由于世代是没有穷尽的，所以这就成为帕累托改善。因而，世代交叠模型存在帕累托改善，它就不是帕累托最优的。这一模型是研究年金、养老保险常用的模型。因为，他只研究两个时期的效用最大化的问题，因而比较简单。

这一模型还有很多扩张，首先，考虑遗产的问题，如果假设各个世代在老年期并非消费他们所有的储蓄而留有剩余财产，这就又可考虑遗产的问题。其次，在各世代的两时期效用方面加上孩子的费用和出生率的选择，又可以研究什么样的政策对于刺激出生率的上升更为有效，也可以利用这一模型研究先进国家出生率下降的原因等问题。下面，我们先就出生率方面的研究来总结。