第二节 离散时间的经济增长模型

在上一节中，就人口转移与经济增长关系的事实和趋势进行了初步的分析和概括。在以下的各节中，将对以上分析更加具体化、定量化，给出已有的模型和结果。

在文献综述之前，首先要给出文献中使用的基本模型和主要模型所得到的一些结果。首先要介绍离散时间情况下的经济增长模型以及动态分析等内容。

关于这方面研究，要分为两个部分，即一个部门的经济增长模型和两个部门的经济增长模型。这里重点介绍一个部门的模型，在一个部门的经济增长模型中，假设只有一种商品被生产，这种商品可以用于消费，也可以用于将来生产的投资。这一模型中假设代表的消费者可以无限期间生存，所以他的目标函数为无限期间的效用函数。为了区分不同期间的效用，就要把各期的效用用零期（即模型最开始的期间的效用）来核算。最简单的无限期间的效用函数是可加性效用函数，它把各期的效用相加得到无限期间的效用。但各期例如第一期间和第二期间的效用在时间上的差异，由考虑复利的方法，乘以不同的贴现因子相加，构成了代表的消费者一生的效用在零期的贴现值，得到了消费者的目标函数。最简单的模型也是最早研究的模型中，贴现率是一个大于零，小于1的常数，通常记为β。那么，目标函数为

其中，c_t为消费者在t期的消费，而u_t为消费者在t期的消费函数，通常，为使模型简化，设各期的消费函数都相同。为了说明更多的更接近实际的问题，对于这一模型有很多改进。不把β考虑作常数，有本书的内生出生率的模型。而把无限期间的效用看作是不可相加的函数来分析和求其最大化的问题，又有生成算子等更加复杂的研究。

在这一模型中，使用新古典派的生产函数。一般使用柯布—道格拉斯函数：

F（K，L）=AK^αL^1-α

其中，K表示资本，L表示劳动的投入。设

则假设生产函数为如下形式：

f（k）=Ak^α，0＜α＜1

这样，生产函数是凹函数。而且，一定存在k^*，使得f（k^*）=k^*。而且当k＞k^*时，有f（k）＜f（k^*）；当k＜k^*时，有f（k）＞f（k^*）成立。

鉴于生产函数的以上性质，我们可以考虑资本和产出是有界的。由于消费满足以下不等式：

c_t≤f（k_t），t=1，…

因而可选择的消费的集合也是有界集合且为闭集，即紧集。由于产出还要用于下一期的投资，所以实际上

c_t≤f（k_t）-k_t＋1

这是假设投资后的资本会完全消耗的情况，如果假设消耗率δ＜1的话，模型又会变为

c_t≤f（k_t）-k_t＋1＋δk_t

为了简便，我们还是假设前者，因为在没有特殊地要说明关于消耗率带来的影响的情况下，还是以简单的模型为好。

模型中对于效用函数还假设稻田条件成立，即：

当c→0时，u′（c）→∞

而又有

由于这一条件，而使得内部解才成为最优解。即每个期间

0＜c_t＜f（k_t），t=1，…

成立。

又由于生产函数的形式，在0＜k≤k^*的区间内生产是最有效率的。因此，可以把产出限制在一个有限区间内。这样，上面的无限期间最优化的问题就一定有最优解存在。而上面问题的效用函数是凹函数，生产函数也是凹函数，由福利经济学第二定理，以上帕累托最优问题的解也是完全竞争状态下市场均衡的解。由于求解市场均衡比较复杂，我们就可以用假设中心计划者的存在，他一切为了社会福利的最大化，而解帕累托最优问题，从而得到完全竞争的市场均衡解。

由于生产函数和效用函数是严格递增的，能够得到最优解关于初始值是单调递增的。当初始值充分大时，资本的最佳路径是单调递增的，即{k_t}^∞_t=0是递增序列，必有极限存在，而且

这些就是一个部门，生产函数是柯布—道格拉斯函数，而且是α＜1齐次函数时的结果。这时没有产生经济的持续增长。

由于这一模型无法解释内生的经济增长的问题，很多文献又试图改善这一一个部门的简单模型。其中，把生产函数设为

f（k）=Ak

是使模型产生持续性经济增长的一个方向。无论是在离散时间模型，还是在连续时间模型方面A-k模型都有着它的地位。

继Lucas使用两个部门的连续时间模型来说明持续的经济增长问题之后，在离散时间模型方面也有关于两个部门的研究。