第四节 人口转移的模型和研究

在已有的文献中，关于人口与经济增长之间关系的论文多数是使用第二、三节的模型，加以必要的改造来说明想要说明的主要问题。这一节的论文都使用世代交叠模型来说明人口转移的三个阶段。

Galor和Weil（2000）的论文开拓了把历史的人口、技术与生产的发展融为一体的模型。这一模型包含了以经济发展为特征的三个体制的内生转移：马尔萨斯期、后马尔萨斯期和现代增长期。在马尔萨斯期，技术进步缓慢，人口的增长减少了人均收入；后马尔萨斯期，由于技术进步的上升，人口增长只部分减少了人均收入的增长，而收入与人口的增长成正比；而在现代增长时期，收入与人口增长的正相关关系逆转，经济走向人口增长的减少与持续的收入增长。

这篇论文分析了人口增长、技术变化与生活基准间关系的历史性进化。从宏观经济学的观点出发，分析集中于这些时期的以下两个不同点：第一是关于人均收入相关的行动，第二是人均收入水平与人口增长率之间的关系。

现代增长期以人均收入与技术水平的平稳增长为特征，在这一时期，产出水平与人口增长率之间呈负相关的关系。在最贫穷的国家可以见到最高的人口增长率，而在富裕的国家中却有近于零的人口增长率。

在马尔萨斯阶段，技术的增长与人口增长都处于冻结的状态，人均收入近似于常数。人均收入与人口增长的关系与现代增长期相反。

位于马尔萨斯阶段与现代增长阶段之间的后马尔萨斯阶段兼有两个阶段的性质，人均收入虽没有现代增长期增长得那么快，但人均收入是增长的。但同时，马尔萨斯期的人均收入与人口增长之间的正相关关系仍然存在。收入的上升也造成了人口增长率的上升。

最基本的人口增长及收入的关系的刻画是马尔萨斯（1798）的模型。他的模型有两点很重要：存在着以固定的量供应的生产要素，例如土地。这意味着对其他要素来说是规模报酬递减的。另外，生活标准对于人口增长有着正的效应。

马尔萨斯认为当人口比较少时，生活水平较高的话，性的热情会使人口增长。人口很多时，生活水平会较低，人口也会减少。马尔萨斯的模型中技术进步和可以使用的土地不发生变化时，人口会自动地保持均衡。可利用资源的增加在长期情况下，会与人口的增加相抵触。具有高水平技术的国家人口也多，长期来说，国家之间高技术水平并没有导致高的生活水平。实证分析的结果，产业革命前的情况与马尔萨斯模型大体一致。

马尔萨斯阶段以高出生率与高死亡率为特征。生活水平上升后，死亡率下降，死亡率的下降导致了出生率的上升。较高的收入直接使得出生率上升，因为使得结婚倾向上升。

Becker等（1990）指出了在经济发达的国家中，对于孩子的质量来说，较高的收益导致了孩子的质与量之间的替代。Galor和Weil（1996）指出了经济发达国家中，女性可以得到较高的工资，因而孩子的机会成本升高。

这篇论文把从马尔萨斯阶段、后马尔萨斯阶段到现代增长阶段的转移和人口的转移收入到一个模型中。这一模型的核心是解释当收入远远超过维持生存的水平时，出生率就要减少的原因。差不多所有的关于人口转移的研究都集中在收入高的父母转向了少生育而培养高质量的孩子，因而导致出生率下降的解释上。但是，这种解释与其说是由于收入增加的原因，不如说是因为技术进步的结果，技术变化所产生的不均衡提高了人力资本的收益率，所以导致了从数量到质量的转变。技术进步提高了人力资本的收益由Schulz（1964）很明确地说明了。由对农业的分析，Schultz指出当技术的生产性在某时期一定时，孩子们从看父母所做就可以学习如何务农，正式的学校没有什么经济效益。但是当技术迅速变化时，只是看上一代如何耕种得到的知识就没有什么价值了。有必要去学习新的知识来提高生产力，这样就提高了教育的收益。

这一模型的第二部分是最直接地得到的：父母关于孩子的教育水平的选择给技术进步的速度带来影响。有较高的人力资本的孩子具有较高的提高技术边界的可能性，接受先进技术的可能性也高。

第三部分把人口的多少与技术进步相联系。在一定的教育水平上，技术进步的速度是总人口数的递增函数。在给定的教育水平的基础上，人口多会产生更多的供给和需求，造成新边界更迅速地普及。

最后的部分是最古典的部分。经济以固定的生产要素土地的存在与维持生命的消费水平（在此水平以下的人类不能生存）为特征。若技术进步能够提高产出到高于维持水平的话，人口就增加，而土地—劳动的比却下降。如没有再高一些的生产技术的话，由于人口增多，造成的工资下降，而使消费又回到维持生命的水平。人均收入又回到以前的均衡。持续的技术进步才能克服人口增长所造成的负效应，实现持续增长。

这一模型产生了马尔萨斯的伪定常点。这一定常点在长期是稳定的，但是内生性质在长期均衡中消失。马尔萨斯阶段人均产出是稳定的。技术进步缓慢，产出与人口成比例地增加。关于土地—劳动率的振动引出了实质工资与出生率的临时的变化，这些使得人均收入返回到以前的稳定均衡水平。由于技术进步缓慢，人力资本收益低，父母没有把孩子的数量向质量转换的意愿。这样，马尔萨斯的伪定常点长期消失是因为人口的多少对于技术进步率的影响。在人口很多的水平上，由人口而带来的技术进步率越高，父母认为对他们的子女提供一定程度的人力资本是最佳的。在这一点上，产生了好的循环：高的人力资本提高了技术进步，技术进步又反过来提高了人力资本。

技术进步的初期给人口增长带来两个效果。一方面，技术的改善使得家庭预算的限制放松，也就是说，可以使更多的资源用于孩子的教育。另一方面，这也导致了向孩子的质量方面资源增加的再分配。后马尔萨斯时期，前者的影响是主要的，所以人口增加。结果，从人力资本水平的增加而产生的更快的技术进步成为人口转移的要因：工资与孩子质量的收益持续增加，远离孩子数量的移动越来越重要，人口走向减少。在现代增长时期，和技术与人均产出共同迅速增长相对应，人口增长很稳定。

在各期间，使用土地和有效劳动来生产一种商品。假设土地的供给是外生的，以固定的量来供应的。生产函数为

Y_t=H^α_t（A_tX）^1-α （1.5）

其中，H_t为t期间所雇用的劳动的有效单位的数量，而X则表示每个时期在生产中所投入的土地，A_t＞0表示在时刻t内生决定的技术水平；而A_tX则表示在t期生产中所使用的有效资源，且0＜α＜1。工人人均产出为

y_t=h^α_tx^1-α_t≡y（h_t，x_t） （1.6）

其中，为工人人均的劳动有效单位；而则表示时刻t的工人人均有效资源。

假定不存在对于土地的权利，所以土地的收入为零。工资为

偏好与预算约束

在每个时刻t，每个世代拥有L_t个相同的个人加入劳动市场，假设每个个人只有一个上一代的父亲或母亲。每个世代生存两个时期，在t-1期，即儿童期，消费父母所拥有的1单位某个部分比例的时间。孩子的质量随父母付出的育儿时间的增加而提高。在第二个时期，每个个人拥有1单位的时间初始禀赋，他们把自己的时间在抚育孩子和参加生产之间分配。他们要选择自己子女的质量与数量，决定自己投入生产的时间比例，得到工资，并依赖工资来进行消费。

t世代的个人的效用函数为

u^t=c_t^1-γ（n_th_t＋1）^γ （1.8）

γ∈（0，1），其中，c_t为t世代的个人消费，n_t为t世代的个人的孩子数量，而h_t＋1为t世代的每个孩子的人力资本。

为了模型简单，假设抚育孩子（生产孩子的数量和质量）只需要父母的时间。设对于每个孩子需要τ＋e_t＋1的时间成本。其中，τ为单纯抚育孩子所需的时间成本，并不考虑孩子的质量，而e_t＋1为孩子的质量（教育）与父母付出的1单位时间的比例。

考虑t世代的个人在时刻t有h_t的劳动有效单位，他要在教育孩子和供给劳动之间选择，把供给劳动于生产的所得用于消费，即

c_t≤w_th_t［1-n_t（τ＋e_t＋1）］

其中，中括号中的后一项为教育所有孩子所需的时间。改写上式，得到

w_th_tn_t（τ＋e_t＋1）＋c_t≤w_th_t （1.9）

在这里把

z_t≡w_th_t

定义为潜在收入。

人力资本的生产

个人的人力资本水平由他们的教育和技术环境所决定。

h_t＋1=h（e_t＋1，g_t＋1） （1.10）

其中

为技术增长率。

人力资本的生产函数是父母对于教育投资的时间e_t＋1的递增凹函数，也是技术增长率的递减的严格凸函数，且h（0，0）=1。也就是说，设h₁＞0，h₂＜0，h₁₁＜0，h₂₂＞0，h₁₂＞0。

最大化

t世代选择孩子的数目n_t和质量使得效用达到最大。即，使

{w_th_t［1-n_t（τ＋e_t＋1）］}^1-γ［n，h（e_t＋1，g_t＋1）］^γ

达到最大，而选择n_t和e_t＋1，且服从限制条件

考虑关于n_t的一阶条件，应有

-（1-γ）（τ＋e_t＋1）（w_th_t）^1-γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］^-γ［n_th（e_t＋1，g_t＋1）］^γ＋γ（w_th_t）^1-γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］^1-γ（n_t）^γ-1［h（e_t＋1，g_t＋1）］^γ≤0

即

-（1＋γ）n_t（τ＋e_t＋1）＋γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］≤0

我们得到

n_t（τ＋e_t＋1）≥γ

当限制条件不产生约束时，应有一阶条件为0，即

n_t（τ＋e_t＋1）=γ

成立。而当约束条件产生约束时，也就是说，当时，可以得到

怎样描述限制条件是否产生约束呢？在这里定义当消费为时的潜在收入为

是使得一阶条件为等式成立时的潜在收入，也就是说，当n_t（τ＋e_t＋1）=γ且消费为时的潜在收入。当潜在收入时，由的定义，得到

而当n_t（τ＋e_t＋1）＞γ时，会有

-（1-γ）n_t（τ＋e_t＋1）＋γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］＜-γ（1-γ）＋γ（1-γ）=0

因而，当n_t（τ＋e_t＋1）＞γ，且满足时，并不能取到最大值。因此，必有

n_t（τ＋e_t＋1）=γ

成立。而当时，有

因而，必有

n_t（τ＋e_t＋1）＜γ

也就是说，只有

成立。那么，

我们得到

由关于e_t＋1的一阶条件，得到

-（1-γ）［1-n_t（τ＋e_t＋1）］^-γn_t［n_th（e_t＋1，g_t＋1）］^γ＋γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］^1-γn^γ_th^γ-1h₁≤0

即，得到

-（1-γ）n_th（e_t＋1，g_t＋1）＋γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］h₁≤0 （1.12）

设

H（e_t＋1，g_t＋1）=-（1-γ）n_th（e_t＋1，g_t＋1）＋γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］h₁（e_t＋1，g_t＋1）

由假设h₂＜0和h₁₂＞0，因而

假设对H（0，g_t＋1），存在，使得。即，

又由于H=-（1-γ）n_th（e_t＋1，g_t＋1）＋γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］h₁（e_t＋1，g_t＋1）是g_t＋1的递增函数，当时，应有H（0，g_t＋1）＞0。又由

因而存在e_t＋1＞0，使得式（1.12）成为等式。即，

-（1-γ）n_th（e_t＋1，g_t＋1）＋γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］h₁（e_t＋1，g_t＋1）=0 （1.13）

由于，由隐函数定理，存在连续可微函数e使得

e_t＋1=e（g_t＋1）

由

{-n_th₁＋γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］h₁₁}de_t＋1＋{-（1-γ）n_th₂＋γ［1-n_t（τ＋e_t＋1）］h₁₂}dg_t＋1=0

得到

由假设h₂＜0及h₁₂＞0，得到

由于计算e″ 需要关于h的三阶偏导的假设，笔者只是假设e″＜0，因为这样最接近于实际。

由上面计算可知，当时，会有

-（1-γ）n_th（0，g_t＋1）＋γ（1-n_tτ）h₁（0，g_t＋1）＜0

那么，e_t＋1=0就是最佳选择。所以，得到

下面计算n_t的表示式。在式（1.11）中代入e_t＋1的表示式，得到

其中，z_t=w_th_t，为了简便起见，令，。得到以下性质：

（1）技术进步率的上升减少了孩子的数量，而增加了孩子的质量。即

（2）若，则父母收入的增加导致了孩子数量的上升，但对他们的质量并不影响。

（3）若，则父母收入的增加并不影响孩子的数量和质量。

技术进步

假设技术进步g_t＋1依赖于t期的人均教育水平e_t与t期的人口L_t：

g_t＋1=g（e_t，L_t） （1.16）

假设

g（0，L_t）＞0，g_i（e_t，L_t）＞0，g_ii（e_t，L_t）＜0，i=e_t，L_t

由这一假设，技术进步随人口的增加而增加。这一假设是与实际情况相符的。

由定义，得到t＋1期的技术

A_t＋1=A_t（1＋g_t＋1） （1.17）

设初期的技术为A₀是给定的。

人口

L_t＋1=n_tL_t （1.18）

由此得到

设初期的人口为L₀是给定的。

有效资源

工人人均有效资源，则

为平均工人有效资源的变革。这里设为给定的。

由式（1.15）和式（1.16），得到

令

及

且得到φ^b_e（e_t，L_t）＞0及φ^a_x（e_t，g_t，x_t，L_t）＜0。

动态系统

经济的发展由以下满足式（1.14），式（1.16），式（1.18）和式（1.20）的序列

{e_t，g_t，x_t，L_t}^∞_t=0

所决定。由前面的分析，此动态系统分为两个部分。

（1）当时，

（2）当时，应有

因为四维和三维的动态系统既难以得到解析解，又难以用位相图来表示，因此采用简化的手法，在分析技术与教育动态时，把人口当作不变的定数来看，这样就可以减少动态系统的维数，用位相图来进行分析。

Doepke（2004）研究了在各发达国家中，从产业化前的停滞状态向现代增长进行的经济移转会伴随人口从高到低的变化。这一论文开拓了伴随人口减少的停滞状态转向增长的出生率与经济增长一体化模型。在政策方面，非常严厉禁止使用童工的时期，教育方面的补助会产生较小的效果。除了对于出生率所给予的影响外，在这一政策发展的过程中，也决定了收入分配的发展。

同样说人口减少，不同的国家人口的减少率有很大差别。例如，韩国与巴西，达到经济发展的时期差不多相同，那时的出生率也大致相同，但韩国的人口减少却很严重。这一论文试图说明由于教育与童工的劳动政策不同而造成国家之间人口减少的速度不同的结果。

第一，差不多所有的经济模型中，出生率的选择基于数量与质量，即孩子的数量与孩子平均教育的相反的利益。若出生率与孩子的教育确实是相互影响的话，政府对于孩子受教育机会的政策就对出生率有重要的影响。

第二，我们观察经济增长期间国家之间关于孩子教育与劳动政策的差异很大。差不多在所有的国家，发展的某个时期导入教育与劳动制度，但是所导入的制度的程度与时间点却大有差异。韩国从50年代开始，致力于加强基础教育，从60年代起完全地排除童工，由于教育的发展，而快速开始发展。而巴西基本上没有重视基础教育，在教育上相对比别的国家落后，在90年代仍允许童工存在。

这篇论文的模型中，各个国家之间，关于孩子的劳动限制与教育补助金导入时间不同而对出生率减少速度的影响程度不同。理论的框架由下面三个重要要素所组成：农业生产函数、工业生产函数与量—质出生率模型。

从实证分析可以知道这些要素确实对人口增长的移动产生影响。如果父母必须支付孩子的教育，而且孩子的劳动必须限制的话，出生率的移动就变得缓慢，进行也缓慢。如果孩子的劳动限制很严，教育方面的补助金对出生率和人口增长产生相对小的影响。

对这一制度实行的时间所产生的影响进行了调查。这一制度开始实行的时期对收入分配产生很大影响。若制度在人口刚开始移动时实行的话，不平等在移动的期间保持较低的水平。若滞后实行这一制度的话，最初时收入的差很大，一旦政策改变则不平等的差减少。

论文得到的结果显示，影响教育机会成本的政策是造成国家之间人口移动差异的原因。因为影响出生率的政策在经济移动期间很大地影响收入分配，拥有技术的父母和没有经过训练的父母之间的内生出生率的差别是带来分配效果的主要因素。通过这一差异，教育政策给予经过训练和没有经过训练的人们的相对数目以长期的影响。

Galor和Weil（2000），Kogel和Prskawetz（2001），Jones（2001），Hansen和Prescott（2002）及Tamura（2002）开发了从伴随人口移动的工业革命到现代增长为止的产生移动的模型。这些模型的特征在于人力资本收益率的上升减少了出生率。其他的出生率减少的理论基于男性和女性的社会作用的变化（Galor and Weil，1996；Lagerlof，2003）、老年保障和儿童死亡率的变化的文献。这篇论文对于童工的强调与Hazan和Berdugo（2002）相似，他们主张童工与成年工人之间工资率增加的差别造成出生率的减少。现有的论文或者并没有集中讨论国家之间出生率减少的差别，而讨论这一差别的论文又有很多的解释。例如，国家之间关于子女的质量偏好的差异，孩子成本的差异，生产技术集约性的差异或者移动过程中，人力资本的生产函数给予出生率的影响等。Galor和Moav（2002）开发了人口方面对于儿童质量的偏好分配的问题。Galor和Moutford（2003）集中在国际贸易的作用、对于经过训练劳动的需要和人口增长上。