命题XXVII 问题XIX

画出一条轨道，它与五条位置给定的直线相切。

设ABG，BCF，GCD，FDE，EA为五条位置被给定的切线。由任意四条切线所含的四边形ABFE的对角线AF，BE平分于M和N，则（由引理XXV系理3）经过平分点所作的直线MN经过轨道的中心。再者，其他任意四条切线所含的四边形BGDF的对角线（据我如此说）BD，GF平分于P和Q：则过平分点所引的直线PQ经过轨道的中心。所以中心在平分线的交点被给定。设那个点为O。平行于任意切线BC在这样的距离引［直线］KL，使得O位于平行线的中间，则所作的KL与要画的轨道相切。这条切线截其他任意两［切线］GCD，FDE于L和K。过这些不平行的切线CL，FK与平行的切线CF，KL的交点C和K，F和L引CK，FL交于R，并引直线OR，再延长它与平行的切线CF，KL在切点处相截。这由引理XXIV的系理2是显然的。由同样的方法容易找到其他切点，且在此时由问题XIV的作法画出轨道。此即所作。

无论轨道的中心或者其渐近线已给定的问题，已包括在以上的命题中。因为与中心一同给定的点和切线，其他同样数目的点及同样数目的切线在离开中心等距的另一侧被给定。但是渐近线被视为切线，且其无穷远距离的终点（如果可以这样说的话）为切点。想象任意切线的切点远去至无穷，则切线转变为渐近线，由此以上问题的作图法转变为当渐近线给定时问题的作图法。画出轨道之后，由这里的方法容易找到其轴和焦点。在引理XXI的作图和图形中，使动角PBN，PCN的股BP，CP，它们的交点画出轨道，彼此平行，并在那个图形中围绕它们的极B和C转动而保持［平行的］位置。其间那些角的其他的股CN，BN的交点K或者k，画出圆BGKC。设这个圆的中心为O。由这个中心往尺子MN，在画出轨道期间，它由那些其他的股CN，BN所交出，落下垂线OH交圆于K和L。且当其他的股CK，BK交于那个点K时，它距尺子较近，初始的股CP，BP平行于长轴，并且垂直于短轴；且如果同样的股交于较远的点L时，得到相反的结果。因此，如果轨道的中心被给定，其轴将被给定。这些被给定之后，立得焦点。

但是轴的平方的彼此之比如同KH比LH，且由此，经过给定的四个点，易于画出种类被给定的轨道。因为，如果给定的点中的两个点构成极C，B，第三点给定动角PCK，PBK［的大小］；由这些给定的能画出圆BGKC。然后，由于轨道的种类给定，OH比OK，且因此OH自身被给定。以O为中心且OH为间隔画另一个圆，直线，它与这个圆相切，且当初始的股CP，BP交于给定的第四点时，经过股CK，BK的交点，是轨道能被画出的那条尺子MN。因此，种类给定的不规则四边形（如果排除某些不可能的情形）可内接于任意给定的圆锥截线。

也有其他一些引理，给定点和切线，能用于画出种类给定的轨道。其类型如，如果过位置给定的任意点引直线，与给定的圆锥截线交截于两点，且两个交点间被平分，平分点位于另一条圆锥截线，其种类与前者相同，且具有与前者的轴平行的轴。然而我急于［转到］更有用的内容。