引理 XXVI

一个三角形的种类和大小已给定，使它的三个角放置在数目相同的位置给定的直线上，它们不全平行，一个角对一条直线。

三条无穷直线AB，AC，BC的位置被给定，且三角形DEF需如此放置，它的角D与线AB，角E与线AC，且角F与线BC接触。在DE，DF和EF之上画三个圆弓形DRE，DGF，EMF，能做出分别与角BAC，ABC，ACB相等的角。但是这些弓形画在直线DE，DF，EF的那些方向，使字母DRED与字母BACB，字母DGFD与字母ABCA字母，字母EMFE与字母ACBA转回的顺序相同；然后补足这些弓形为完整的圆。设前两个圆相互截于G，且它们的中心为P和Q。连结GP，PQ，取Ga比AB如同GP比PQ，且以G为中心，间隔Ga画圆，它截第一个圆DGE于a。既连结aD截第二个圆DFG于b，又连结aE截第三个圆EMF于c。现在可以做出与图形abcDEF相似且相等的图形ABCdef。这做出之后，问题被完成。

引Fc交aD于n，并连结aG，bG，QG，QD，PD。由作图，角EaD等于角CAB，且角acF等于角ACB，因此三角形anc与三角形ABC相等。所以角anc或者角FnD等于角ABC，因此等于角FbD；且所以点n落在点b上。此外，角GPQ，它是圆心角GPD的一半，等于圆周角GaD；再者，角GQP，它是圆心角GQD的一半，等于圆周角GbD对两个直角的补，且因此等于Gba；因此三角形GPQ，Gab相似；又Ga比ab如同GP比PQ；亦即（由作图）如同Ga比AB。于是ab和AB相等，且所以三角形abc，ABC，我们刚刚证过它们相似，它们亦相等。因此，三角形DEF的角D，E，F分别接触三角形abc的边ab，ac，bc，能完成与图形abcDEF相似且相等的图形ABCdef，且其完成使问题得以解决。此即所作。

系理 因此可引一条直线，它被三条位置给定的直线截出长度给定的部分。想象三角形DEF，点D靠近边EF，且使边DE，DF位于一直线上，［三角形］化成一直线，其给定的部分DE位于位置给定的直线AB，AC之间，且其给定部分DF位于位置给定的直线AB，BC之间；应用前面的作法于此种情况，问题得解。