概率论与数理统计
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1.1 排列与组合

在古典概型中计算事件的概率时，我们会经常用到排列组合及其总数计算公式．为了方便读者学习，在这里我们给出排列组合的定义及相关公式．

1.1.1 两个基本原理

1. 乘法原理

如果完成一个事件有k个步骤，第1步有n1种方法，第2步n2种方法，……，第k步有nk种方法，而且完成这件事情必须经过每一步，那么完成这件事共有

n=n1×n2×…×nk

种方法．

例如，从一楼到二楼有3个楼梯可以走，从二楼到三楼有2个楼梯可以走，那么某人从1楼到3楼共有3×2=6种走法．

2. 加法原理

如果完成一个事件有k类方法，第一类有n1种完成方法，第二类有n2种完成方法，……，第k类有nk种完成方法，任何2种方法都不相同，那么完成这件事共有

n=n1+n2+…+nk

种方法．

例如，由甲城到乙城去旅游有3类交通工具：汽车、火车、飞机．而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城去旅游共有5+3+2=10个班次可供旅游者选择．

1.1.2 排列

1. 选排列和全排列

从n个不同的元素a1,a2,…,an中，任取k（k≤n）个元素equa按照一定顺序排成一列equa，称为从n个元素中选k个元素的选排列，特别地，当k=n时，称equa为全排列．

下面我们来看选排列和全排列的总数计算方法．

由于排在第1个位置上的元素equa可以是a1,a2,…,an这n个元素中的某一个，有n种选法，因为是不放回选取，排在第2个位置上的元素equa只能是a1,a2,…,an中除去equa的n-1个元素中的某一个，从而equa有n-1种选法，……，排在第k个位置上的元素equa只能是a1,a2,…,an中除去equa的n-k+1个元素中的某一个，从而equa有n-k+1种选法．按照乘法原理，从n个不同的元素a1,a2,…,an中，任取k（k≤n）个元素可以构成

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种不同的选排列．特别地，n个不同的元素a1,a2,…,an可以构成

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种不同的全排列（规定）．

【例1.1】　用1,2,3,4,5这5个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解　组成三位数时首位数有5种取法，由于不允许有重复数字，则十位数有4种取法，同理，个位数有3种取法，故可以组成没有重复数字的三位数个数为

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【例1.2】　有10本不同的书，5个人去借，每人借1本，问有多少种不同的借法？

解　这个问题相当于问从10本不同的书（10个不同的元素）选5本书（5个元素）构成的不同选排列的种数，故有

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种借法．

2. 有重复的排列

从n个不同的元素a1,a2,…,an中，每次取1个，放回后再取下1个，如此连续取k次所得的排列equa按照一定顺序排成一列equa，称为从n个元素中选k（k≥1）个元素的有重复排列．这里的k允许大于n．

下面我们来看有重复排列的总数计算方法．

由于排在第1个位置上的元素equa可以是a1,a2,…,an这n个元素中的某一个，有n种选法，排在第2个位置上的元素equa也可以是a1,a2,…,an这n个元素中的某一个，故也有n种选法，同样，排在第k个位置上的元素equa也可以是a1,a2,…,an这n个元素中的某一个，故也有n种选法．按照乘法原理，从n个不同的元素a1,a2,…,an中有放回抽取k（k≥1）个元素可以构成

n×n×…×n=nk

种不同的有重复排列．

【例1.3】　用1,2,3,4,5这5个数字可以组成多少个三位数？

解　此例和例1.1的区别在于组成三位数的数字可以重复，是可重复排列问题，可组成的三位数个数为53=125．

【例1.4】　手机号码为11位数，问以139开头可以组成多少个手机号码？

解　从第4位到第11位每一位都可以是0，1，2,…，9这10个数字中的任意一个，是可重复排列问题，故手机号码个数为108．

1.1.3 组合

1. 组合的定义

从n个不同的元素a1,a2,…,an中，任取k（k≤n）个元素equa而不考虑其顺序组成一组equa，称为从n个元素中选k个元素的组合，此种组合的总数equa．

可以把选排列分解成下面两个步骤来完成：

第1步，从n个不同的元素a1,a2,…,an中任意抽取k（k≤n）个元素组成一组（这是一个组合）；

第2步，将这一组k个元素进行排列（这是一个全排列），从而有

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由此得到组合计算公式，对1≤k≤n有

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且规定equa．若k>n，规定equa．

排列与组合都是计算“从n个元素中任取k个元素”的取法总数公式，其主要区别在于：如果不考虑取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式，而是否考虑元素间的次序，可以从实际问题中得以辨别．

【例1.5】　有10个球队进行单循环比赛，问需安排多少场比赛？

解　这是从10个球队中任选2个进行组合的问题，故选法总数

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即需要安排45场比赛．

【例1.6】　一个盒子中有20只球，其中红球15只，白球5只，从中任取3只球，其中恰有1只白球，问有多少种不同的取法？

解　取出的3只球中恰有1只白球，这只白球必须从5只白球中抽取，有equa种取法；而取出的3只球中另外2只是红球，必须从15只红球中抽取，有equa种取法，因此选法总数为

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2. 关于组合的一些常用等式

（1）equa．事实上，

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特别地，

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（2）equa．此式称为二项展开式，equa称为二项系数．

显然，equa．

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