1.2 随机事件

在自然界和社会活动中常常会出现各种各样的现象．有一类现象，在一定条件下必然发生，例如，向上抛一颗石子后必然会落地，同性电荷必然相互排斥，等等．这类现象的共同特点是，在确定的试验条件下它们会必然发生，称这类现象为确定性现象．另一类现象则不然．例如，在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么，这个试验多于一种可能结果，但是在试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果．同样地，同一门大炮对同一目标进行多次射击（同一型号的炮弹），各次弹着点可能不尽相同，并且每次射击之前无法肯定弹着点的确切位置，以上所举的现象都具有随机性，即在一定条件下进行试验或观察会出现不同的结果（多于一种可能的试验结果），而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果（不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为随机现象．这种现象在大量重复试验中其结果又具有统计规律性，概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科．

1.2.1 随机试验与样本空间

1. 随机试验

在实际中我们会遇到各种各样的试验，包括各种各样的科学实验，以及对某事物的观察等．在随机现象的研究中，我们需要做大量的观测或试验．下面举一些试验的例子．

E1：抛1枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况．

E2：抛1颗骰子，观察出现的点数．

E3：抛1枚硬币3次，观察正面H，反面T出现的情况．

E4：抛1枚硬币3次，观察出现正面的次数．

E5：记录公交站某时刻的等车人数．

E6：从某厂生产的相同型号的灯泡中抽取1只，测试它的寿命．

E7：记录某地区10月份的最高气温和最低气温．

在实际生活中还存在许多随机试验的例子．例如，彩票的开奖，质检部门对产品的质量检查等等．这些实验具有共同特点：对每个试验可以预先知道可能出现的所有可能结果，但是做实验之前不能知道试验将会出现什么结果，此外，试验可以在相同条件下重复进行．

定义1.1　如果一个试验满足下列条件：

（1）试验可以在相同的条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确的，可知道的（在试验之前就可以知道的）并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验出现哪一个结果．

我们称这样的试验是一个随机试验，常用E表示．为方便起见，也简称为试验，今后讨论的试验都是指随机试验．

我们是通过随机试验来研究随机现象的．

2. 样本空间

对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果．例如掷1枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果．若我们观察的是掷2枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）4种，如果掷3枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果．

定义1.2　试验E所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为S．样本空间中的元素，即E的每个可能结果称为一个样本点，常用e表示．

下面写出前面试验Ek(k=1,2,…,7)的样本空间Sk(k=1,2,…,7)：

S1={H,T}；

S2={1,2,3,4,5,6}；

S3={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}；

S4={0,1,2,3}；

S5={0,1,2,3,}；

S6={t|t>0}；

S7={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}，这里x表示最低温度（℃），y表示最高温度（℃）．并设这一地区10月份的温度不会小于T0，也不会大于T1．

从这些例子可以看出，由于问题的不同，样本空间可以相当简单，也可以相当复杂，在今后的讨论中，都认为样本空间是预先给定的，当然对于一个实际问题或一个随机现象，考虑问题的角度不同，样本空间也可能选择不同．

在实际问题中，选择恰当的样本空间来研究随机现象是概率中值得研究的问题．

1.2.2 随机事件

在实际中，进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合．

定义1.3　试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件．一般用字母A,B,C，或A1,A2,A3，表示．特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．

定义1.4　在每次试验中，当且仅当这个子集中的一个样本点出现时，称为这一事件发生．

定义1.5　样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生，S称为必然事件．空集ø不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中它总是不发生，ø称为不可能事件．

实质上必然事件就是在每次试验中都发生的事件，不可能事件就是在每次试验中都不发生的事件．

下面取几个事件的例子．

【例1.7】　试验E1有2个基本事件{H}，{T}；试验E2有6个基本事件{1},{2},…,{6}．

【例1.8】　在试验E3中事件A：“3次出现同一面”，即

A={HHH,TTT}．

【例1.9】　在试验E6中事件B：“寿命小于500小时”，即

B={t|0≤t<500}．

【例1.10】　一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，任取3件，则

A={恰有1件正品}，

B={恰有2件正品}，

C={至少有2件正品}，

这些都是随机事件，而D={3件中有正品}为必然事件，E={3件都是次品}为不可能事件．

随机事件可有不同的表达方式：一种是直接用语言描述，同一事件可有不同的描述；也可用样本空间子集的形式表示．此时，需要理解它所表达的实际含义，有利于对事件的理解．

1.2.3 随机事件间的关系与运算

对于随机试验而言，它的样本空间S可以包含很多随机事件，分析事件之间的关系，可以帮助我们更深刻地认识随机事件，为此需要给出事件之间的关系与运算规律，有助于我们讨论复杂事件．

随机事件是样本空间的子集，从而事件的关系与运算和集合的关系与运算完全相类似．下面给出这些关系和运算在概率论中的提法，并根据“事件发生”的含义给出它们的概率意义．

1. 事件的包含关系与相等

设事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记作A⊂B，B⊃A．

显然有，ø⊂A⊂S．

例如在试验E2中，令A表示“出现1点”，B表示“出现奇数点”，则A⊂B，事件A就导致了事件B的发生，因为出现1点意味着奇数点出现了，所以A⊂B可以给上述含义一个几何解释，设样本空间是一个正方体，A,B是两个事件，也就是说，它们是S的子集，“A发生必然导致B发生”意味着属于A的样本点在B中，由此可见，事件A⊂B的含义与集合论是一致的．

若A⊂B同时有B⊂A，称A与B相等，记为A=B．易知相等的两个事件A与B总是同时发生或同时不发生，在同一样本空间中两个事件相等意味着它们含有相同的样本点．

2. 并（和）事件

称事件“A与B中至少有一个发生”为A与B的和事件，也称为A与B的并事件．记作A∪B．A∪B发生意味着：或事件A发生，或事件B发生，或事件A和B都发生．

显然有，A∪ø=A,A∪S=S,A∪A=A,A⊂A∪B,B⊂A∪B．

若A⊂B，则A∪B=B．

【例1.11】　设某种圆柱形产品，若底面直径和高都合格，则该产品合格．

令A={直径不合格}，B={高度不合格}，则A∪B={产品不合格}．

【例1.12】　甲乙2人向同一目标射击，令A表示“甲命中目标”，B表示“乙命中目标”，C表示“目标被命中”，则C=A∪B．

类似地，设n个事件A1,A2,…,An，称“A1,A2,…,An中至少有一个发生”这一事件为A1,A2,…,An的并，记作A1∪A2∪…∪An或．

3. 积（交）事件

称事件“A与B同时发生”为A与B的积事件，也称或A与B的交事件．记作A∩B或AB．AB发生意味着：事件A发生且事件B也发生，也就是说，事件A和B都发生．

显然有，A∩ø=ø,A∩S=A,A∩A=A,A∩B⊂A,A∩B⊂B．

若A⊂B，则AB=A．

如例1.11中若C={直径合格}，D={高度合格}，则CD={产品合格}．

设n个事件A1,A2,…,An，称“A1,A2,…,An同时发生”这一事件为A1,A2,…,An的交，记作A∩A∩…∩An或．

4. 差事件

称“事件A发生而B不发生”为事件A与B的差事件，记作A-B．

显然有，A-B⊂A，A-ø=A，A-B=A-AB．

若A⊂B，则A-B=ø．

例如在试验E2中，令A表示“出现偶数点”，B表示“出现的点数小于5”，则A-B表示“出现6点”．

注意在定义事件差的运算时，并未要求一定有B⊂A，也就是说，没有包含关系B⊂A照样可做差运算A-B．

5. 互不相容事件（互斥事件）

若两个事件A与B不能同时发生，即AB=ø，称A与B为互不相容事件（或互斥事件），简称A与B为互不相容．

注意：任意两个基本事件之间都是互不相容的．

例如在试验E2中，令A表示“出现偶数点”，B表示“出现5点”，显然A与B不能同时发生，即A与B是互不相容的．

设n个事件A1,A2,…,An两两互不相容，即AiAj=ø(i≠j;i,j=1,2,…,n)，称A1,A2,…,An互不相容．

6. 对立事件

称“事件A不发生”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作，即，也就是意味着在一次试验中A与有且仅有一个发生，不是A发生就是发生．即．

显然有，．

【例1.13】　设有100件产品，其中5件产品为次品，从中任取50件产品．记A={50件产品中至少有1件次品}，则={50件产品中没有次品}={50件产品全是正品}．

由此说明，若事件A比较复杂，往往它的对立事件比较简单，因此我们在求复杂事件的概率时，往往可能转化为求它的对立事件的概率．

注意：若A与B为互不相容事件，则A与B不一定为对立事件．但若A与B为对立事件，则A与B互不相容．

图1.1～图1.6可以直观地表示以上事件之间的关系与运算．例如，图1.1中矩形区域表示样本空间S，圆域A与圆域B分别表示事件A与事件B．又如图1.3中阴影部分表示积事件AB．

在进行事件运算时，经常要用到下述运算规律，设A,B,C为三事件，则有

交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A．

结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)．

分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，

德摩根律：．

德摩根律也叫对偶律，对于n个事件，德摩根律也成立，即

【例1.14】　设A,B,C为S中的随机事件，试用A,B,C表示下列事件．

（1）仅A发生；

（2）A,B,C都不发生；

（3）A,B,C至少有一发生；

（4）A,B,C不全发生；

（5）A,B,C恰有一个发生．

解（1）；

（2）；

（3） A∪B∪C；

（4）；

（5）.

【例1.15】　某射手向同一目标射击3次，Ai表示“第i次射击命中目标”，i=1,2,3，Bj表示“3次射击中恰命中目标j次”，j=0,1,2,3，试用Ai（i=1,2,3）表示Bj（j=0,1,2,3）．

解（1）；

（2）；

（3）；

（4）B3 = A1A2A3.

【例1.16】　某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成（见图1.7）．每个水源都足以供应城市的用水．

设事件Ai表示“第i个管道正常工作”i=1,2,3．于是，“城市能正常供水”可表示为(A1∪A2)∩A3，

由德摩根原则可知，“城市断水”可表示为