3.1.2　电子波的传播和衍射

如图3.2所示，平行光经过试样后得到的出射波q（x，y）从试样上的（x，y）点以球面次波方式传播到观察点（s，t）后可以表示为：

　　（3.10）

式中，c为常数；k=2π/λ为波数；α为散射角；r是（x，y）到（s，t）的距离并且可以表示为：

r²=R²+（s-x）²+（t-y）²　　（3.11）

图3.2　电子散射示意图

当散射角很小时，满足菲涅尔衍射条件，上式可做如下近似处理：

r=［R²+（s-x）²+（t-y）²］^1/2≈R+（s-x）²/2R+（t-y）²/2R　　（3.12）

上述小角近似（又称菲涅尔近似）的本质是在近光轴区域用二次曲面形的电子波代替球面波。在此简化条件下，菲涅尔衍射的结果为：

　　（3.13）

式中，*为卷积符号；p（s，t）为菲涅尔传播函数（Fresnel Propagation Function），是菲涅尔衍射的扩展函数，也是描述电子波近场传播的基本函数。

进一步假定试样线度比物平面到观察平面的距离R小很多，即R≫x、y，满足夫琅禾费衍射条件，可做如下近似处理：

r=［R²+（s-x）²+（t-y）²］^1/2≈［R²+s²+t²-2（sx+yt）］^1/2≈r₀-sx/r₀-yt/r₀　　（3.14）

式中，r₀是物平面原点到（s，t）的距离。令s/（λr₀）=u，t/（λr₀）=v（u和v的量纲是长度的倒数），代入式（3.10），可得：

　　（3.15）

式（3.15）右侧与傅里叶变换形式一致，表明傅里叶变换可作为处理远场问题、计算夫琅禾费衍射振幅和强度分布的数学工具。这就是说，在观察点离试样很远的条件下，所观察到的电子波经过物的传播是夫琅禾费衍射，或试样透射函数的傅里叶变换。由于电子显微镜中的物镜可将平行束会聚在其背焦面上，因此夫琅禾费衍射条件在透镜的背焦面处也是成立的，背焦面上的衍射花样在数学上可以用傅里叶变换来表述。