3.1.1　试样对入射电子的散射

入射电子沿光轴z方向穿透试样时受晶体势V（x，y，z）影响，在试样的下表面（x，y）处形成了振幅和相位均发生变化的出射电子波ψ_t（x，y），即：

　　（3.1）

　　（3.2）

式中，ψ_inc为入射波，可以视为单位强度的平面波；q（x，y）为试样透射函数（transmission function），描述试样对入射电子波的散射；φ（x，y）是相位函数；μ（x，y）是试样对电子波的吸收函数，描述散射导致的电子波振幅衰减。

入射电子在穿透试样的过程中，由于受晶体势的调制，波长发生了变化，即：

　　（3.3）

式中，h为普朗克常数；m为电子质量；e为电子电荷大小；U为加速电压。进一步假定电子在穿透试样的过程中仅沿z轴方向运动，传播dz的距离后产生的相位变化为：

　　（3.4）

考虑到V/U<<1，上式可以简化为：

　　（3.5）

式中，σ=π/（λU）为相互作用常数（interaction constant），对特定加速电压而言σ为常数。严格来讲，式（3.3）还需考虑相对论效应，σ值也需进行相应修正。σ值一般很小，且随加速电压升高而变小。例如，80kV时，σ值为0.01009V^-1·nm^-1；200kV时，σ值为0.00729V^-1·nm^-1。

当入射电子穿透厚度为Δz的试样到达下表面时，在（x，y）处产生的总相位变化为：

　　（3.6）

式中，V_t（x，y）是晶体势V（x，y，z）在z方向的投影。该处理忽略了菲涅尔扩展效应，即（x，y）处出射波的相位调制仅来源于沿入射波方向到达（x，y）处对应晶柱的静电势散射，该过程也称为相位栅近似（phase-grating approximation）。相位栅近似是一种投影近似，物理上等价于将爱瓦尔德球用平面代替。投影势V_t（x，y）可以简单表示为试样内部的平均势V（x，y）和试样厚度的乘积。平均势不仅与原子序数有关，而且依赖于密度，数值一般在5～30V范围内^［14］。

由式（3.6）可知，电子在试样内产生的相位移仅依赖于试样的投影势。将其代入式（3.2），可得：

　　（3.7）

如果电子穿透试样后仅发生相位变化而无振幅变化，则该试样称为相位物（phase object），上式进一步简化为：

q（x，y）=exp［iσV_t（x，y）］　　（3.8）

在相位物近似下，不同散射波之间的相互干涉仍将导致非线性效应，使图像和投影势之间呈现复杂关系。进一步假定试样足够薄使σV_t（x，y）≪1，上式可以展开为：

q（x，y）≈1+iσV_t（x，y）　　（3.9）

满足上述条件的试样称为弱相位物（weak phase object），弱相位物下表面（x，y）处的出射波函数保持了面内的周期性且与试样的投影势呈线性关系。弱相位物近似条件苛刻，当加速电压为200kV时，重原子满足弱相位物近似的临界厚度为2～3nm，轻原子的临界厚度为5～6nm；当加速电压为80kV时，重原子的临界厚度为1～2nm，轻原子的临界厚度为3～5nm。由此可见，单层及少层二维材料成像时可视为弱相位物。