3.1.3　高分辨像形成过程中的衬度传递函数

试样透射函数q（x，y）在理想物镜的背焦面上经过傅里叶变换（用表示）成为衍射波：

　　（3.16）

式中，（u，v）是背焦面上衍射花样的倒易坐标，其单位为1/nm，在轴对称条件下可以简化为u，此时u表示背焦面上离光轴的倒易距离。在正焦条件下，像平面上的图像ψ（x，y）可以表示为衍射波Q（u）的傅里叶反变换：

　　（3.17）

此时，弱相位像的强度分布为：

I（x，y）=|ψ（x，y）|²=|exp［iσV_t（x，y）］|²=1　　（3.18）

由此可见，对于理想透镜系统，无法在像平面上看到弱相位物的任何衬度。然而实际情况是物镜存在像差，高分辨像的形成过程依赖于物镜的球差C_s、离焦量Δf以及物镜光阑的限制，以及色差、束发散的影响。这些因素都会导致背焦面上的衍射波产生附加的振幅及相位调制，即：

Q'（u）=Q（u）T（u）　　（3.19）

式中，T（u）称为衬度传递函数（contrast transfer function，CTF），描述不同方向衍射波的衬度能准确地传递到像平面的程度，反映了电镜的固有性能，可以表示为：

T（u）=R（u）D（u）S（u）exp［iχ（u）］　　（3.20）

式中，R（u）是物镜光阑函数，描述因物镜光阑的衍射效应而引起的波的衰减；D（u）和S（u）分别为电子源的非相干性（色差效应）和电子源的光延性（束发散）引起的衰减包络函数；χ（u）是相位函数。一般来说，T（u）是一个随着空间频率的变化在［-1，1］区间震荡的函数。值得注意的是部分书籍和论文将exp［iχ（u）］定义为衬度传递函数^［14］，这和本书中的定义并不冲突。T（u）函数中仅exp［iχ（u）］项反映物镜对电子波相位的调制效应。若仅考虑电镜系统对衍射波的相位调制效应，根据欧拉公式及卷积定理，像平面上的波函数可以表示为：

　　（3.21）

对应图像的强度及衬度分布分别表示为：

　　（3.22）

　　（3.23）

由此可见，非理想的透镜系统可使相位变化转换成可观察的强度分布，且主导这一转换的是sinχ，因此称之为相位衬度传递函数（phase contrast transfer function）。显然，sinχ干扰了图像强度与试样投影势之间的线性关系，决定了图像的分辨率，是高分辨透射电镜分辨本领的判定指标。只有当|sinχ|在相当范围内接近于1，此时是冲激函数，卷积可忽略，图像衬度才与试样投影势呈现线性关系，图像才直接反映试样的真实结构。值得注意的是只有在弱相位物近似及最佳成像条件下拍摄的高分辨像才能正确反映晶体结构，但弱相位物近似的要求极其苛刻较难满足。当不满足弱相位物近似条件时，尽管仍可获得清晰的高分辨像，但像衬度与晶体结构投影不存在一一对应关系，图像衬度会随着离焦量和试样厚度的改变而发生反转，此时的高分辨像仅反映晶体的平移周期信息，尽管能获取晶面间距等结构信息，但无法确定原子投影分布的细节。此外，电子束倾斜或试样倾斜将在衍射束中引入不对称的相位移动，轻微倾斜也会对高分辨像产生较明显影响。

电镜系统对衍射波的相位调制主要由物镜的离焦量与球差决定。首先考虑离焦的影响，先明确电子束由上而下时欠焦面在背焦面的下面，过焦面在背焦面的上面。按照几何光学，在正焦情形下，物的平面波会聚于背焦面的光轴点上，且各条光线的相位都相同。如图3.3所示，继续向下传播到达欠焦面时，沿光轴的光线OA和以很小的夹角α前进的光线OB的相位差χ_d为：

　　（3.24）

球差是由于透镜中心区域和边缘区域对电子波会聚能力不同，导致同一物点散射的电子波经过透镜后不会聚于单独像点而形成弥漫圆斑。在图3.4（a）中，在像平面上，以孔径角α入射的光束散开成半径为Δr的圆斑，且可以表示为：

Δr=C_sα³　　（3.25）

现在考虑球差在背焦面上引起的相位移动。如图3.4（b）所示，在前焦面发射的与光轴夹角为θ的光波经过透镜后偏离了平行光轴的方向变成稍微会聚的光波，会聚角为δ。从前面的分析可知，dR=C_sθ³≈δf，则球差引入的相位移动可以表示为：

　　（3.26）

式中，f为焦距。考虑到物点发出的所有夹角的光波经透镜后的球差效应，相位差应为上式的积分：

　　（3.27）

若写成倒易坐标的形式，则有α²=λ²（u²+v²），代入得到欠焦和球差引起的相位变化为：

χ（u，v）=χ_d+χ_s=π［Δfλ（u²+v²）+0.5C_sλ³（u²+v²）²］　　（3.28）

这里的（u，v）是背焦面上的倒易坐标。在轴对称条件下上式可以简化为

χ（u）=π（Δfλu²+0.5C_sλ³u⁴）　　（3.29）

此外，由于电磁透镜不能严格满足轴对称性，光轴外成像电子束不再在像平面上会聚成几何点，物点的像将变为短线或模糊圆点，这就是像散。像散引起的衍射波振幅的相位移动与离焦效应有类似的性质，也与成像电子束的散射角的二次方成比例。商业化的高分辨透射电镜一般都配备了性能良好的消像散器，通过附加的电场校正电磁透镜磁场的轴对称不完善，使像散在日常的操作条件下减小至可忽略的地步。因此，在本书的讨论中，我们不再讨论像散对成像的影响。

式（3.29）表明相位衬度传递函数是离焦量、加速电压（波长）和球差系数的函数，而传统的高分辨透射电镜的球差系数C_s是固定的，因此对于特定的加速电压，离焦量是影响相位衬度传递函数的主要因素。图3.5反映了200kV下球差系数为1.2mm时离焦量对相位衬度传递函数的影响。可以看出，衬度传递函数随成像时的离焦条件改变而发生急剧变化。值得注意的是，在Δf=-66nm（欠焦为负，过焦为正）的条件下，sinχ（u）≈-1处有一个较宽的平台，图像在此范围内受到衬度传递函数的干扰较小，其强度与试样的投影势成正比，此时能得到清晰、可分辨、不失真的图像。

u较小时，对应大的晶面间距，若在左侧偏离平台，大尺寸晶体结构细节可以在透射电子显微镜中被观察到，但可能是失真的；u较大时，在右侧偏离平台，由于成像系统引起的相位变化中包含有空间频率u的高阶项，相位衬度传递函数曲线迅速振荡引起失真，从而不能直观地利用。通常，图像质量的关键是有效范围的最大波数或空间频率u，波数越大，空间分辨率越高。因此，在透射电镜成像过程中，通过优化离焦量的值使|sinχ（u）|≈1的平台展开最宽，继而达到最佳成像效果。在最佳成像条件下，成像系统对平台范围内的所有衍射波近似地进行相同的相位调制，对透射束则是零相位调制。这些经过调制的衍射波如同通过了一个Zernike相位板，将反映原子尺度结构细节（即势函数）的相位分布转化为可观察的衬度分布。

理论计算表明欠焦量满足Scherzer条件时平台最宽^［3］，即：

Δf=-1.2（C_sλ）^1/2　　（3.30）

在Scherzer欠焦条件下，sinχ曲线和波数轴u的交点值为1.6λ^-3/4。定义该交点对应的空间频率的倒数为电子显微镜的点分辨率d_s，即：

　　（3.31）

由上式可知，点分辨率依赖于C_s和λ。传统电镜的球差系数C_s是固定的，因此要获得高分辨率，缩短波长（提高加速电压）会有较大的效果。图3.6为透射电镜（C_s=1.2mm）在不同加速电压及最佳离焦条件下的相位衬度传递函数曲线。加速电压为60kV，sinχ（u）在（1.2～2.3）/nm的范围内接近于-1，它的分辨率为0.394nm；加速电压为80kV，平台范围拓宽至（1.3～2.5）/nm，分辨率为0.352nm；加速电压为200kV，平台范围为（1.9～3.7）/nm，分辨率提高至为0.24nm；加速电压为300kV，平台范围拓宽至（2.3～4.4）/nm，分辨率提高至为0.20nm。由此可见，随着加速电压增加，平台的范围拓宽，并向高u方向移动，可分辨更小的晶面间距。然而，300kV以上的TEM价格昂贵，且极易破坏试样的晶体结构，不利于试样的高分辨结构表征。人们希望能在200kV甚至更低加速电压下得到高的分辨率，这就有必要采用新的方法来减小球差以提高分辨率。

在实际的高分辨电子显微像的观察中，除物镜的球差和离焦量会引起相位变化，物镜光阑、色差和试样上入射电子的会聚角等也会引起分辨率下降。物镜光阑的影响表现在它限定了衍射波的范围，可以表示为背焦面上的低通函数，即：

　　（3.32）

式中u₀为物镜光阑半径。为了避免传递函数的高空间频率振荡引起的像衬度复杂化，通常选用适当尺寸的物镜光阑刚好挡住所有高频振荡部分，只让对应传递函数平台部分的衍射束通过。一般情况下，物镜光阑引起的效应较球差和离焦量的影响相比可以忽略。

色差主要来自于电子枪出射电子的能量涨落ΔE、加速电压的随机涨落ΔU和物镜电流的随机涨落ΔI，它们对相位衬度传递函数的影响是非相干的。可以把色差的影响表示为高斯型包络函数D（u）：

D（u）=exp（-0.5π²λ²δ²u⁴）　　（3.33）

式中，δ为色差引起成像时聚焦的变化，可以表示为：

　　（3.34）

式中，C_c为色差系数。色散效应的物理本质相当于在物镜的背焦面上引入一个虚拟的光阑。由于D（u）与exp（-u⁴）成正比，色差效应对衍射花样中的高频分量有严重的衰减。δ综合了各种产生波长不稳定性的因素，它的值越大，衰减包络越窄，被衰减的范围越向衍射花样中心收缩，像的分辨率越低。当衰减包络宽度大于物镜光阑大小时，它就不再是限制分辨率的因素。

此外，TEM图像是直径远大于晶体周期的电子束获得的图像，需要考虑电子源尺寸的影响，主要表现为电子束会聚角α（会聚到物点上的电子束会聚角）的影响。α又被称为发散角，因为电子束会聚到物后继续向前的传播是发散的。入射电子来自电子源不同的出射点，相互间是相干的。假定电子源强度分布为高斯分布时，可以把会聚角α的影响表示为另一高斯型包络函数S（u）：

　　（3.35）

由于色散和束发散产生的衰减包络函数使得高空间频率中的结构信息极大的衰减。图3.7是场发射枪200kV电镜在Scherzer条件下（C_s=1.2mm，C_c=1.2mm，Δf=-66nm，α=0.1mrad）并考虑色散效应和束发散影响后的衬度传递函数。色差包络函数和会聚角包络函数均为实的高斯函数，可以和相位衬度传递函数直接相乘。根据卷积定理，两函数卷积的傅里叶变换是两函数各自傅里叶变换的乘积，D（u）或S（u）的影响就是它的傅里叶反变换和相位衬度传递函数的傅里叶反变换进行卷积。根据高斯函数的傅里叶反变换仍是高斯函数，D（u）或S（u）的影响相当于在像平面将点函数扩展为具有一定模糊斑的高斯函数，从而影响分辨率。从图3.7可见，D（u）或S（u）对低空间频率的衬度传递函数影响不大，对高空间频率的影响较大。

将相位衬度传递函数振幅衰减到1/e的分辨极限标线与衰减包络函数曲线的最远交点对应的空间频率的倒数规定为电镜的信息分辨率。D（u）或S（u）的影响实际上是把信息分辨率右侧的信号降低到噪声水平，因此通过减小球差改善点分辨率时，只能达到但不能超过信息分辨率。要改善信息分辨率，需要减小色差和电子源会聚焦，如用场发射电子枪等。热电子发射枪发射的电子能量涨落为1～2eV，场发射电子枪发射的电子能量涨落为0.2～0.7eV，因此，后者的信息分辨率更高。