3.2　动态Malmquist模型的构建

3.2.1　动态Malmquist模型的建模机理

FMC公司作为世界最著名的多元化化学企业之一，在农业、工业、消费品市场一直处于领先地位。然而在过去很长时间里，像大多数公司一样，每月检查各个业务部的财务绩效，年底对实现预期财务绩效的分部经理进行奖励，这使得各分部成功取得了连续的短期财务业绩而错失了长期持续发展的机会（德隆，2003）。中国光大银行上海分行一位高管曾指出目前商业银行单方面孤立的绩效评估体系导致了短期效应的过度激励和长期效应的激励不足（江小华，2008）。上述事件说明，在实践中，绩效评估往往只聚焦于独立的单期评估而忽略了资本的可持续性。然而，从投入产出要素的长期角度实施可持续发展战略是一种趋势，因此，无论是理论上还是实践中，如何从资本的可持续发展角度进行绩效评估都是一个值得研究的问题。如何将短期效益和长期发展有机结合在一起的评估要素则是可持续发展绩效的关键所在。本章围绕这一关键问题，基于资本的跨期效应和滞后效应，定义了动态要素，特指不仅影响当期绩效，其作用更多的延续在后期的发展过程中（如固定资产、贷款等）。

本书正是基于传统Malmquist没有考虑动态效应这个不足，将具有跨期效应的动态要素引入到全要素生产率研究中，构建了全要素绩效动态 Malmquist模型，从资本可持续发展的角度关注能源-经济绩效的动态效应。传统的Malmquist只关注于单期最优化而割裂了相邻期间的投入产出影响（Tone和Tsutsui，2010）。基于上述分析，为了评估动态要素的跨期效应，本模型引入除投入产出要素之外的第三要素——动态要素，新定义了一个代表动态效应的指数——动态进步指数（DC），建立了在动态Malmquist模型（DMPI），如图3-2所示。

假设评估期共t期（t=1，2，…，T），n 个DMU，每个DMU用X个投入要素生产Y个产出要素，Z个动态要素。动态要素作为一种具有跨期效应影响的特殊要素，不仅要考虑当期投入对当期绩效的影响，还应兼顾考虑当期要素投入需要积蓄力量而更多地为后期绩效发挥作用。动态模型与传统模型的不同之处在于：在评估过程中存在动态要素的跨期影响，即评估的是DMU的可持续发展战略绩效。此外，整个评估过程基于无导向非径向的SBM模型计算，即允许各种要素同时且非比例变化，当然，动态模型也可基于其他DEA模型计算，如CCR（Charnes等，1978），BBC（Banker等，1984）模型进行评估。

3.2.2　动态Malmquist模型的构建与分解

正如前面所言，为了评估动态效应，与传统模型相比，本模型新定义了一个代表动态效应的指数——动态进步指数（DC）。基于此，为了分析结构因素、技术因素及动态因素对动态绩效的影响，本书基于传统Malmquist模型的分解方法（Färe 等，1994），将引入跨期效应的动态Malmquist模型分解为总技术效率改变指数（OEC，代表前沿面追赶效应）和动态技术进步指数（DTC，代表前沿面变动效应）。其中，前者可分解为纯技术效率改变指数（PTC）和规模效率改变指数（SEC）；后者可分解为技术进步指数（TC）和动态进步指数（DC）。OEC是指现有技术水平的发挥程度，其中PTC是指纯技术效率的提高，如管理效率的提高、生产经验的积累等，SEC是指规模效率的改善，如企业规模的优化等。DTC是指技术水平发生变化，其中TC是指技术进步，如采用新机器等，DC是指动态要素的可持续优化，如资本的跨期优化等。动态Malmquist模型分解效率指数之间的关系如图3-3所示。

如图3-3所示，代表前沿面追赶效应的总技术效率改变指数（OEC）是指相邻两期总技术效率指数的比率，从概念模型的角度，该指数反映了某DMU相对于最优前沿面上的有效DMU的动态绩效的追赶情况，即代表评估要素配比效率的结构因素对最优绩效的追赶贡献。当OEC>1时，表示相对于前期，本期技术效率有所改进；当OEC<1时，表示本期该DMU更远离最优前沿面；当OEC=1时，表示两期之间没有变化。同理，代表前沿面改变效应的动态技术进步指数（DTC）是第t期到第t+1期动态技术效应指数（DTP）的几何平均值，从概念模型的角度，该指数反映了代表技术水平变动的技术因素和代表跨期效应的动态因素对最优前沿面变动的跨期影响。当DTC>1时，表示在考虑跨期效应的前提下，相对于前期，本期前沿面向更多正产出、更少负产出的方向改进；当DTC<1时，表示本期发生倒退，即向更少正产出、更多负产出的方向倒退；当DTC=1时，两期之间没有变化。

为了从资本可持续发展的角度评估绩效，本书继而对动态技术进步指数进一步分解，新定义了一个代表动态效应的指数——动态进步指数（DC）。这个指数是某DMU的动态要素在第t+1期生产集中的效率影响与第t期生产集中的效率影响之间的变动，该指数代表动态要素的跨期效应。当DC>1时，表示相对于前期，本期动态效应促进前沿面向更多正产出、更少负产出的方向改进，即符合长期可持续发展；当DC<1时，表示本期发生倒退，即动态效应导致前沿面向更少正产出、更多负产出的方向倒退，即可持续性差；当DC=1时，表示两期之间没有变化。值得指出的是，在特殊情况下（动态效应影响不变时），动态Malmquist模型与传统Malmquist模型相等，也就是说，动态Malmquist模型比传统Malmquist模型更具有一般性。综上所述，动态Malmquis模型分解如式（3-2）所示。

MD=总技术效率改变指数（OEC）×动态技术进步指数（DTC）=纯技术效率改变指数（PTC）×规模效率改变指数（SEC）×技术进步指数（TC）×动态进步指数（DC）　　 （3-2）

3.2.3　动态Malmquist模型推导简要说明

首先，t期传统的生产可行集为：

St=，t=1，…，T　　 （3-3）

其中x为投入要素的数量向量，y为产出要素的数量向量。

我们定义t期的生产可行集：

=，t=1，…，T　　 （3-4）

其中x为投入要素的数量向量，y为产出要素的数量向量，z为动态要素的数量向量。

进而，定义DMU在t期的效率为下列距离函数：

（3-5）

（3-6）

其中sup表示上确界，inf表示下确界。这里的距离函数实际上是被评估要素组合相对于动态技术有效的前沿面的效率指标，具体而言：

①Dt（（x，y））=某决策单元（x，y）相对于最优前沿面上的有效决策单元（Xt，Yt）的效率。可简化为Dt（x，y）表示，这与传统模型的效率评估相一致。

②（（x，z-，y，z））=某决策单元（x，z-，y-，z）相对于最优前沿面上的有效决策单元（Xt，Zt-1，Yt，Zt）的效率。可简化为（x，z-，y，z）表示，这里考虑了动态要素的跨期效应。

基于式（3-1），定义基于t期生产可行集的生产率指数：

=（xt+1，zt，yt+1，zt+1）/（xt，zt-1，yt，zt）　　 （3-7）

定义基于t+1期生产可行集的生产率指数：

=（xt+1，zt，yt+1，zt+1）/（xt，zt-1，yt，zt）　　 （3-8）

取上述生产率指数的几何平均数为引入跨期效应的从t到t+1期的动态Malmquist生产率指数：

（3-9）

上式中的前沿面追赶效应（CU）是总效率改变指数（OEC），前沿面改变效应（FS）是动态技术进步指数（DTC）。正如前面所言，代表前沿面追赶效应的总技术效率改变指数（OEC）是指相邻两期总技术效率指数的比率，从概念模型的角度，该指数反映了某DMU相对于最优前沿面上的有效DMU的全要素绩效的追赶情况，即因素的配置对最优绩效的追赶贡献。而代表前沿面改变效应的动态技术进步指数（DTC）是第t期到第t+1期动态技术效应指数（DTP）的几何平均值，从概念模型的角度，该指数反映了技术因素及动态因素对最优前沿面变动的跨期影响。

为了进一步明晰动态要素在绩效评估中的作用，可将动态Malmquist模型进一步分解。由前面定义的动态效应的概念和技术效率改变指数的内涵，代表动态前沿面追赶效应的OEC可进一步分解为：

（3-10）

需要指出的是，这里的SEC和PTC与传统Malmquist指数体系中的规模效率改变指数和纯技术效率改变指数在含义上有所不同，传统指数表现为生产函数的追赶程度，而这里的SEC和PTC则分别是传统指数的表现形式之一，表现为在考虑动态要素的跨期效应下的仅仅改变生产可行集而引起的最优要素组合所对应的最大产量的追赶程度。

由前面定义的动态效应的概念和技术进步指数的内涵，代表动态前沿面改变效应的DTC可进一步分解为：

（3-11）

其中，DTC是t+1期相对于t期的动态技术改变程度，我们称其为动态技术进步指数。本质是在考虑动态效应的前提下，由于生产可行集外沿扩展而引起的最大产量的扩张，表现为既定投入产出和动态要素下，仅仅改变生产可行集而引起的y的实现度的提升。其中，DTPt+1是基于t+1期的生产能力实现度指数，而DTPt是基于t期的生产能力实现度指数，取它们的几何平均数能够有效地避免由于基期选取而带来的指标计算不准的问题。

根据上述定义，我们进而可得：

（3-12）

因此我们定义：

（3-13）

其中DC是t+1期相对于t期的动态进步程度，我们称其为动态进步指数。

总之，代表动态前沿面改变效应的DTC可进一步分解为：

（3-14）

综上所述，我们有：

（3-15）

上式是最终推导得出的结论，即动态全要素生产率指数等于①规模效率改变指数、②纯技术效率改变指数、③技术进步指数和④动态进步指数的乘积。

本书采用数据包络分析中无径向无导向的SBM模型对上述公式分两步进行求解。假设第t期为基期，DMU用m个投入要素（i=1，…，m）生产p个产出要素（i=1，…，p），定义在相邻两期中有r个（i=1，…，r）动态要素。首先是同期内的效率求解，如式（3-16）所示：

同理，我们可以求解（xt+1，zt，yt+1，zt+1）。

其次，对跨期的效率改变求解，如式（3-17）所示：

（3-17）

如果无解，我们可以通过超效率模型（Tone，2002）进行评估。这种方法适用于DMU数小于评估标准数的情况下。

此时，上式总有解，我们可以得出。

同理，我们可以评估出决策单元的各分解效率。