3.3　基于负产出的动态Malmquist模型的构建

3.3.1　基于负产出的动态Malmquist模型的建模机理

许多有关Malmquist的实证研究往往忽略了负产出因素，这会给全要素生产率带来一定的误导信息（Bye等，2009），考虑负产出因素也因此成为近几年该方法研究的热点之一。对负产出影响的处理起源于20世纪90年代（Pastor，1996），前期大部分研究是将代表负产出的数据处理为正值投入。利用数据包络分析中的SBM模型处理负产出（Emrouznejad等，2010；Zhou等，2010；Hadad等，2011），为负产出的处理带来了新的方向。王兵等（2010）运用SBM模型的方向性距离函数和Luenberger生产率指标测度中国30个省份1998～2007年的环境全要素生产率及其成分，指出在可持续发展中资源和环境不仅是经济发展的内生变量，还是经济发展规模和速度的刚性约束。这些文献多采用有导向或径向模型来处理负产出数据，本书正是基于传统Malmquist模型不足，在SBM模型基础上，采用无导向非径向UOM模型处理负产出要素，从而可以更好地控制评估要素的非比例变化，更符合现实中存在市场等外部因素的不确定性。

基于上述分析，本章在考虑负产出的前提下，依然引入动态要素，定义了一个代表动态效应的指数——动态进步指数（DC），构建了基于负产出的动态Malmquist模型，如图3-4所示。动态要素的处理方式与前面动态模型中的方法相同。

假设评估期共t期（t=1，2…T），n个DMU，每个DMU用X个投入要素生产Y个产出要素，其中Yd为正产出要素，Yu为负产出要素，Z个动态要素。整个评估过程基于无导向非径向的UOM模型（Cooper等，2007），即允许各种要素同时且非比例变化，当然，与第四章的动态模型相同，基于负产出的动态模型也可基于其他DEA模型，如CCR（Charne等，1978），BBC（Banker等，1984）模型进行评估。

与动态模型分解方式相同，基于负产出的Malmquist动态分解为总技术效率改变指数（OEC，代表前沿面追赶效应）和动态技术进步指数（DTC，代表前沿面变动效应）。其中，前者可分解为纯技术效率改变指数（PTC）、规模效率改变指数（SEC）；后者可分解为代表要素质量变动的技术进步指数（TC）和代表动态效应的动态进步指数（DC）。OEC是指现有技术水平的发挥程度，其中PTC是指纯技术效率的提高，如管理效率的提高、生产经验的积累等，SEC是指规模效率的改善，如企业规模的优化等。DTC是指技术水平发生变化，其中TC是指技术进步，如采用新机器等，DC是指动态要素的可持续优化，如资本的跨期优化等。

3.3.2　基于负产出的动态Malmquist模型推导简要说明

首先，t期的传统生产可行集为：

（3-19）

式中，x为投入要素的数量向量；y为产出要素的数量向量；yd为正产出要素；yu为负产出要素。

我们定义t期的生产可行集：

（3-20）

式中，x为投入要素的数量向量；y为产出要素的数量向量；yd为正产出要素；yu为负产出要素；z为动态要素的数量向量。

进而，定义DMU在t期的效率为下列距离函数：

（3-21）

（3-22）

这里的距离函数实际上是被评估要素组合相对于动态技术有效的前沿面的效率指标，具体而言：

①（（x，yd，yu）|（Xt，Ydt，Yut））=某决策单元（x，yd，yu）相对于最优前沿面上的有决策单元（Xt，Ydt，Yut）的效率。本书简化为（x，yd，yu）表示，这里考虑了负产出。

②（（x，z-，yd，yu，z）|（Xt，Zt-1，Ydt，Yut，Zt））=某决策单元（x，z-，yd，yu，z）相对于最优前沿面上的有效DMU（Xt，Zt-1，Ydt，Yut，Zt）的效率。本书简化为（x，z-，yd，yu，z）表示。这里除了考虑了负产出外，还考虑了动态要素的跨期效应。

基于式（3-1），定义基于t期生产可行集的生产率指数：

（3-23）

定义基于t+1期生产可行集的生产率指数：

（3-24）

取上述生产率指数的几何平均数为引入跨期效应的从t到t+1期的考虑负产出的动态Malmquist生产率指数：

（3-25）

式（3-25）中的前沿面追赶效应（CU）是总效率改变指数（OEC），前沿面改变效应（FS）是动态技术进步指数（DTC）。与动态Malmquist模型相同，本节继续对考虑负产出约束下的动态模型进一步分解。代表动态前沿面追赶效应的OEC可进一步分解为：

（3-26）

需要指出的是，这里的SEC和PTC考虑了负产出要素的约束。代表动态前沿面改变效应的DTC可进一步分解为：

（3-27）

综上所述，我们进而可得：

（3-28）

因此我们定义：

（3-29）

其中DC是t+1期相对于t期的动态进步程度，我们称其为动态进步指数。总之，代表动态前沿面改变效应的DTC可进一步分解为：

（3-30）

综上所述，我们有：

（3-31）

上式是我们最终推导得出的结论，即与动态全要素生产率指数相同，基于负产出的动态全要素生产率指数等于①规模效率改变指数、②纯技术效率改变指数、③技术进步指数和④动态进步指数的乘积。

本书采用数据包络分析中无径向无导向的UOM模型对上述公式分两步进行求解。假设第t期为基期，DMU用m个投入要素（i=1，…，m）生产p个正产出要素（i=1，…，p），q个负产出要素（i=1，…，q），定义在相邻两期中有r个（i=1，…，r）动态要素。首先是同期内的效率求解，如式（3-32）所示：

（3-32）

同理，我们可以求解.

其次，对跨期的效率改变求解，如式（3-33）所示：

（3-33）

如果无解，我们可以通过超效率模型（Tone，2002）进行评估。这种方法适用于DMU数小于评估标准数的情况下。

（3-34）

此时，上式总有解，我们可以得出。

同理，我们可以评估出DMU的各分解效率。