第4章 效 用
一、判断题
1效用函数u（x，y）＝（x＋y）3对应的无差异曲线为向下倾斜的直线。（ ）
【答案】T
【解析】y＝－x＋u1/3，对任意一条既定的无差异曲线来说，u都是常数，所以无差异曲线是直线。另解：效用函数u（x，y）＝（x＋y）3经过单调变换可得u′（x，y）＝x＋y，该效用函数为完全替代型的，单调变换不改变效用的性质，故原效用函数的无差异曲线是直线。
2效用函数是u（x，y）＝x＋y－y2，0≤y≤1/2对应为良性偏好。（ ）
【答案】T
【解析】
当0≤y≤1/2，曲线是单调的，也是凸的，所以对应的是良好性状的无差异曲线。
3对于拟线性偏好，沿着穿过原点的射线与无差异曲线交点的边际替代率是恒定不变的。（ ）
【答案】F
【解析】对于拟线性偏好，垂直于横轴的射线与无差异曲线交点的边际替代率恒定不变。
4若消费者的偏好可以由效用函数U（x，y）＝（x＋y）3－5表示，那么对于该消费者而言，x和y是完全替代品。（ ）
【答案】T
【解析】由于效用函数的单调变换并不改变它所表示的偏好，那么原偏好也可以用效用函数［U（x，y）＋5］1/3＝x＋y表示，因此x和y是完全替代品。
5小张所消费的两种商品均为厌恶品，效用函数为u＝－max{x，y}，他的无差异曲线所对应的弱偏好集为凸集。（ ）
【答案】T
【解析】厌恶品的无差异曲线为负。u＝－max{x，y}的无差异曲线在第三象限，呈L形凹向原点。因此无差异曲线所对应的弱偏好集是凸集。
6经过单调变换，效用函数仍能反映原有的偏好。（ ）
【答案】T
【解析】根据效用序数理论的基本性质，效用函数单调变换还是一个效用函数，这个效用函数代表的偏好与原效用函数代表的偏好相同。
7消费集为X＝{a，b，c}，在其上定义了两个效用函数u和v，如下表所示：
效用函数u和v描述了同一消费者的偏好。（ ）
【答案】F
【解析】效用函数u和v表示消费者对消费束a、b、c的偏好次序完全相反，不可能是同一消费者的偏好。
8不论可供消费者选择的消费束的数量是有限的还是无限的，如果偏好序不满足连续性假设，那么，效用函数就不存在。（ ）
【答案】F
【解析】如果偏好序满足完备性、反身性、传递性和连续性假设，则偏好序就可以用一个连续效用函数来表示，但如果偏好序不满足连续性假设，效用函数仍然存在，只是不能保证连续性了。
9一辆自行车和一把车锁总是捆在一起消费，消费者对自行车（x1）和车锁（x2）的效用可以表示为U＝x1＋x2。（ ）
【答案】F
【解析】自行车和车锁是完全互补关系，而题中效用函数所表示的是完全替代关系。因此消费者的效用函数应该表示为：U＝min{x1，x2}。
10货币的边际效用随着货币数量的增加而递减。（ ）
【答案】T
【解析】边际效用递减是一个普遍规律，货币边际效用也存在递减规律，但在货币变化的较小范围内，可以假定货币的边际效用不变。
11消费者均衡时，边际效用最大化。（ ）
【答案】F
【解析】消费者均衡时，消费者的总效用最大，而不是边际效用最大。
二、单项选择题
1小王的效用函数为u（x，y）＝xy，小王现消费5单位商品x和25单位商品y。下列哪一项是正确的？（ ）
A．小王将会愿意放弃5单位x以换取1单位y
B．如果每放弃1单位x，能换取5单位以上的y，小王将愿意放弃所有的x
C．小王对x和y同等喜欢，他将愿意以1单位商品x换1单位另一种商品y
D．以上答案都不正确
【答案】D
【解析】原来的效用为u（x，y）＝xy＝125。A项，x＝0，y＝26，则u＝0；B项，x＝0，y≥50，则u＝0；C项，假设小王用1单位x换取1单位y，x＝4，y＝26，则u＝104＜125。
2小马的效用函数为u（x，y）＝max{2x－y，2y－x}，以下哪一种说法正确？（ ）
A．小马的偏好是拟线性的
B．如果小马拥有x比y多，则任何y商品的增加都会降低他的效用
C．如果小马拥有x比y多，则任何y商品的减少都会降低他的效用
D．小马总是偏好消费更多数量的商品
【答案】B
【解析】消费者的效用函数是：
小马的无差异曲线如图4-1所示。无差异曲线不具有良好的形状，因此小马并不是消费越多的商品越好，其偏好也不是拟线性的。无差异曲线不是一条直线，x和y不是完全替代的。当x≥y时，任何y商品的增加都会降低他的效用。
图4-1 u（x，y）＝max{2x－y，2y－x}的无差异曲线
3有代号为A、B、C、D、E、F、G七个人，A的效用函数为u（x，y）＝xy，B的效用函数为u（x，y）＝1000xy，C的效用函数为u（x，y）＝－xy，D的效用函数为u（x，y）＝－1/（xy－1），E的效用函数为u（x，y）＝xy－10000，F的效用函数为u（x，y）＝x/y，G的效用函数为u（x，y）＝x（y＋1）。请问以上哪几位的偏好和A相同？（ ）
A．除了C之外的所有人
B．B和E
C．B、D和E
D．都不是
【答案】C
【解析】BDE三项的效用函数均属于A的效用函数的单调变换，因此其偏好与A是相同的。C项的效用函数与A的效用函数符号相反，那么当u1＞u2时所隐含的是f（u1）＜f（u2），与A所隐含的f（u1）＞f（u2）恰恰相反，因此不属于A的单调变换。
4当一个消费者同时消费其他商品和闲暇时，效用函数是U（C，L），下面关于效用函数的说法不正确的是（ ）。
A．其他商品C和闲暇L的边际效用都大于0
B．当消费者消费更多的闲暇，同时减少其他消费品时，闲暇和其他消费的边际替代率降低
C．当消费者增加其他消费品C的消费时，L的边际效用增加
D．当消费者增加闲暇的消费时，闲暇的边际效用增加
【答案】D
【解析】根据边际效用递减规律可知，在其他商品消费量不变的前提下，随着对一种商品消费的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量是递减的，即边际效用是递减的。
5小张的效用函数为u（x，y）＝25xy，他现在有12单位商品x，8单位商品y。对于同样的两种商品，小李的效用函数是u（x，y）＝4x＋4y，小李拥有9单位商品x，13单位商品y。下列哪一种说法是正确的？（ ）
A．相对于自己现有的消费束，小张更加偏好小李的，而小李更偏好自己的消费束
B．相对于自己现有的消费束，小李更加偏好小张的，但是小张偏好自己的消费束
C．两人各自偏好对方的消费束
D．没有一方偏好对方的消费束
【答案】A
【解析】u（x，y）＝25xy，则u（12，8）＜u（9，13），因此小张更加偏好小李的消费束；u（x，y）＝4x＋4y，u（12，8）＜u（9，13），因此小李更偏好自己的消费束。
6某消费者的效用函数为u（x，y）＝y＋4x1/2。他现有25单位商品x和12单位商品y。如果他对商品x的消费减少到0，则需要消费多少单位的商品y才能使他的状况和原来一样好？（ ）
A．48
B．37
C．32
D．112
【答案】C
【解析】根据效用函数，消费者原来的效用为：u（x，y）＝y＋4x1/2＝12＋4×5＝32。当x＝0，已知u＝32，则y＝32。
7某消费者的效用函数为U（x1，x2）＝min{x1＋2x2，2x1＋x2}，其中x1，x2分别为消费炸玉米片和炸薯条的数量。假设他在炸玉米片和炸薯条上共花费$40，如果炸玉米片的单价为1，炸薯条的单价为4，则他将消费多少炸玉米片和炸薯条？（ ）
A．至少消费和炸玉米一样数量的炸薯条，但是也可能两者都消费
B．至少消费和炸薯条一样数量的炸玉米，但是也可能两者都消费
C．肯定把收入全消费在炸玉米上
D．肯定把收入全消费在炸薯条上
【答案】C
【解析】无差异曲线如图4-2所示。预算约束线为x1＋4x2＝40。效用最大化的点在边界上。通过比较两个边界点，可知消费者应该把收入全部消费在炸玉米片上。
图4-2 U（x1，x2）＝min{x1＋2x2，2x1＋x2}的无差异曲线
8某消费者具有良性偏好，且当前消费束的边际替代率MRS的绝对值大于3。那么（ ）。
A．按照3单位商品2交换1单位商品1的比例换走一些商品1，一定使他的境况变糟
B．按照3单位商品2交换1单位商品1的比例换走一些商品1，一定使他的境况变好
C．按照3单位商品2交换1单位商品1的比例换走一些商品2，一定使他的境况变糟
D．按照3单位商品2交换1单位商品1的比例换走一些商品2，一定使他的境况变好
【答案】A
【解析】因为边际替代率MRS的绝对值大于3，因此换走1单位的商品1，必须以大于3单位的商品2来补偿，A项中仅仅用3单位的商品2来交换1单位的商品1，情况一定会变糟；D项，边际替代率MRS是递减的，所以当按照3单位商品2交换1单位商品1的比例换走一些商品2时，不一定境况就会变好。
9垂直的无差异曲线意味着（ ）。
A．当消费者增加横轴上的商品的消费时，他的满足不会增加
B．当消费者增加纵轴上的商品的消费时，他的满足不会增加
C．当两种商品的消费量都增加时，消费者的满足会增加
D．以上说法都不正确
【答案】B
【解析】无差异曲线垂直于横轴，表明消费者的效用仅由横轴商品的消费量决定，因此，当消费者增加纵轴上的商品消费量时，消费者的满足不会增加。
10需求曲线上的任意一点反映的是（ ）。
A．MU/P等于货币的边际效用
B．消费者的边际效用最大化点
C．收入变化时消费者均衡点的变化轨迹
D．消费者预算的内点
【答案】A
【解析】需求曲线是从消费者最大化效用的行为中推导出来的，因此需求曲线上的每点都满足消费者均衡的一般条件，即MU/P等于货币的边际效用。
11某消费者消费商品1和商品2。他认为两单位商品1总是与3单位商品2完全替代。以下哪一个效用函数无法表示此消费者的偏好？（ ）
A．u（x1，x2）＝3x1＋2x2＋1000
B．u（x1，x2）＝9x12＋12x1x2＋4x22
C．u（x1，x2）＝min{3x1，2x2}
D．u（x1，x2）＝30x1＋20x2－10000
【答案】C
【解析】u（x1，x2）＝min{3x1，2x2}表示两种商品是完全互补品，因此无法表示消费者对于完全替代品的偏好。
12U（x）代表消费者偏好的效用函数，则下列效用函数中，不是正单调变换的是（ ）。
A．u（x）＝lnU（x）
B．u（x）＝100U（x）
C．u（x）＝［U（x）］3
D．u（x）＝［U（x）］－3
【答案】D
【解析】单调变化只不过是对无差异曲线重新表明数字，而不改变这些商品组合的效用水平的次序。D项，U（x）和u（x）所表示的偏好次序完全相反，因此不是正单调变换。
13边际效用函数递减对应下列偏好的哪个性质？（ ）
A．严格凸性
B．局部非饱和性
C．完备性
D．可微性
【答案】A
【解析】偏好的严格凸意味着无差异曲线凸向原点，而这表示边际替代率是递减的，边际替代率可以表示为边际效用之比。
14当偏好关系是商品空间上的一个等价关系且连续时，则效用函数为（ ）。
A．存在
B．不一定存在
C．存在且唯一
D．存在但不唯一
【答案】D
【解析】效用函数概括了偏好关系所传递的信息，且存在性参考德布鲁1954年的证明。当效用函数存在时，任何一个单调变换仍然是同一偏好的函数。
15当消费者对商品X的消费达到饱和点时，则边际效用MUX为（ ）。
A．正值
B．负值
C．零
D．不确定
【答案】C
【解析】根据边际效用和总效用的关系：当边际效用为正时，总效用处于递增状态；当边际效用为0时，总效用达到最大；当边际效用为负时，总效用处于递减状态。消费者对商品X的消费达到饱和点，亦即商品X的效用达到最大时，边际效用为零。
16以下各效用函数中，不具有凸性的是（ ）。
A．v（x1，x2）＝2x1＋x2
B．v（x1，x2）＝min（2x1，x2）
C．v（x1，x2）＝max（2x1，x2）
D．v（x1，x2）＝x1αx21－α
【答案】C
【解析】v（x1，x2）＝max（2x1，x2）的效用曲线如图4-3所示，其不具有凸性。
图4-3 凹性偏好
17边际效用随消费量的增加而（ ）。
A．递减
B．递增
C．按相同方向变动
D．保持不变
【答案】A
【解析】根据边际效用递减规律，边际效用随消费量增加而递减，其原因主要有两个：①人们的心理作用；②最先消费的单位往往用在最需要的地方，因而产生的效用大于随后消费的单位。
18当消费达到饱和点时，总效用曲线呈（ ）。
A．向右上方倾斜
B．向右下方倾斜
C．水平状
D．向左上方弯曲
【答案】C
【解析】当消费达到饱和点（即总效用最大）时，边际效用为零。可知，在此点上，总效用曲线呈水平状。
19基数效用论关于消费者均衡的条件是（ ）。
A．无差异曲线与预算线相切
B．MRSxy＝Px/Py
C．MUx/Px＝MUy/Py
D．MUx/MUy＝Py/Px
【答案】C
【解析】基数效用论的消费者均衡条件为：MU1/P1＝MU2/P2＝…＝MUn/Pn＝λ，其经济含义是，当消费者达到均衡时，每种商品在该处的边际效用与其价格之比等于单位货币的效用，或者说消费者应使花费在各种商品上的最后一元钱所带来的边际效用相等。上式也可以表达为：MUi＝λPi（i＝1，2， …，n），无差异曲线与预算线相切、MRSxy＝Px/Py为序数效用论关于消费者均衡的条件。
20基数效用与序数效用的主要差异在于两种商品的（ ）。
A．边际替代率是否递增
B．边际替代率是否递减
C．效用是否可加
D．边际替代率是否不变
【答案】C
【解析】序数效用论认为，效用只能表示为一种排序、等级或偏好，因为这种效用不可数，所以不可叠加。序数效用论用无差异曲线、预算线等来分析消费者行为。基数效用论认为，效用是可数的，因而可以加总求和（即叠加）。基数效用论用效用函数、效用单位、总效用、边际效用等来说明消费者行为。
三、简答题
1对于如下效用函数：
（1）U（x，y）＝xy；
（2）U（x，y）＝x2y2；
（3）U（x，y）＝lnx＋lny。
证明：尽管这些效用函数具有递减的MRS，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。你能从中得出什么结论？
证明：（1）Ux＝y，Uxx＝0，Uy＝x，Uyy＝0，MRS＝y/x；
（2）Ux＝2xy2，Uxx＝2y2，Uy＝2x2y，Uyy＝2x2，MRS＝y/x；
（3）Ux＝1/x，Uxx＝－1/x2，Uy＝1/y，Uyy＝－1/y2，MRS＝y/x。
从以上分析可知，单调变化会影响递减的边际效用，但是不会影响边际替代率MRS。
2某消费者的效用函数为u（x，y）＝xa＋yb，a，b＞0。请问，需对两个系数a和b分别增加什么额外约束才能满足以下偏好？
（1）偏好是拟线性偏好，且无差异曲线呈凸性。
（2）偏好是相似偏好。
（3）偏好是相似偏好，且无差异曲线呈凸性。
（4）商品x和y是完全替代的。
答：（1）拟线性偏好的方程一定采取x＝k－v（y）的形式，其中k是对不同的无差异曲线取不同值的常数。因此，①当a＝1，0＜b＜1时，u（x，y）＝xa＋yb＝x＋yb是拟线性偏好；②当b＝1，0＜a＜1时，u（x，y）＝xa＋yb＝xa＋y是拟线性偏好。
（2）如果偏好是相似的，就意味着当收入按任意的比例t递增或递减，需求束也会按相同的比例递增或递减，那么此时a＝b。
（3）如果偏好是相似的，则a＝b，效用函数为u（x，y）＝xa＋ya。在x和y均大于0的情况下，分别对x和y求偏导数，并且令各自的偏导函数都是减函数，但是偏导数恒大于0，则可得0＜a＜1，此时无差异曲线呈凸性。
（4）当a＝b＝1时，u（x，y）＝x＋y，由此可知商品x和y是完全替代的。
3某消费者喜欢拥有等量的商品x和商品y。他的效用函数是u（x，y）＝min{2x－y，2y－x}。
（1）画出经过点（0，0）的无差异曲线，以及经过点（4，4）的无差异曲线。
（2）如果该消费者具有比（0，0）更好的消费束，现在他对两种商品的消费都增加一倍，问他的状况是不是变好了？
（3）对这两种商品，该消费者是不是偏好拥有更多数量的某种商品？
答：（1）消费者的效用函数是：
所以，其无差异曲线由斜率分别为1/2和2的两条直线组成，如图4-4所示。
（2）消费者状况变好了，因为2x－y和2y－x都增加了一倍。
图4-4 u（x，y）＝min{2x－y，2y－x}的无差异曲线
（3）不是。当x＞y时，y不变只增加x会使其境况变差；当y＞x时，x不变只增加y也会使其境况变差。
4如果效用函数满足：
则称它的两种商品具有独立的边际效用。试证明当我们假定每一种商品的边际效用为递减时，具有独立边际效用的效用函数都会有递减的边际替代率。举例证明其逆命题是错的。
证明：f12＝0意味着只要f11，f22＜0，则有f22f11－2f1f2f12＋f12f22＜0。
因此MRS递减。原命题得证。原命题的反命题是：如果具有独立边际效用的任一效用函数都会有递减的边际替代率，则每一种商品的边际效用是递减的。下面来证明此命题不一定成立。
在两种消费商品的效用函数下，递减的边际替代率意味着下式成立：f22f11－2f1f2f12＋f12f22＜0。
当f12＝0时，上式变为f22f11＋f12f22＜0
显然，这无法推出f11，f22＜0的结论。
四、计算题
1假定小王（A）和小李（B）的效用函数分别为：UA＝XAYA，UB＝XB＋YB。
（1）请针对两人分别写出X对Y的边际替代率公式。
（2）如果交易通过价格体系来实施，请写出均衡时的价格比率。
（3）假定共有100单位的X和200单位的Y。最初，小王有25单位的X和75单位的Y，而小李有75单位的X和125单位的Y。请说明经过市场交易后，均衡时两人分别拥有的两种商品的数量。
解：（1）小王（A）的X对Y的边际替代率公式为：
小李（B）的X对Y的边际替代率公式为：
（2）如果交易通过价格体系来实施，均衡时的（可行的）价格比率必须满足条件：
所以，均衡时的价格比为：PX/PY＝1。
（3）由（1）知，二者的消费量达到帕累托最优时
假设PX＝1，可得PY＝1。
假设经过市场交易后，均衡时两人拥有的商品的数量组合分别为：（XA*，YA*）和（XB*，YB*）。均衡时：
同时，消费者A和消费者B必须满足各自的预算约束：
联立上述方程式可得：XA*＝50，XB*＝50，YA*＝50，YB*＝150。
因此，达到均衡时，消费者A和B消费X商品和Y商品分别为：
（XA*，YA*）＝（50，50）
（XB*，YB*）＝（50，150）
2如果某消费者在三维商品世界（l＝1，2，3）中的需求函数为：x1＝y/（2p1＋p3），x2＝p3y/p2（2p1＋p3），x3＝p1y/p3（2p1＋p3）。你能写出该消费者的效用函数u（x1，x2，x3）吗？他对x＝（x1，x2，x3）∈X+3的偏好关系是属于什么类型的？
解：首先把题中的需求函数改写为：x1＝［p1/（2p1＋p3）］·（y/p1），x2＝［p3/（2p1＋p3）］·（y/p2），x3＝［p1/（2p1＋p3）］·（y/p3）。因为［p1/（2p1＋p3）］＋［p3/（2p1＋p3）］＋［p1/（2p1＋p3）］＝1，再令α1＝p1/（2p1＋p3），α2＝p3/（2p1＋p3），α3＝p1/（2p1＋p3），则α1＋α2＋α3＝1，从而：x1＝α1y/p1，x2＝α2y/p2，x3＝α3y/p3。显然其效用函数应为柯布-道格拉斯函数类型，则有：
他对x＝（x1，x2，x3）∈X+3的偏好关系也是属于柯布-道格拉斯函数类型的。
3对于常替代弹性效用函数：
证明：
（1）当ρ→0时，该效用函数趋近于
。
（2）当ρ→－∞时，该效用函数趋近于u（x1，x2）＝min{x1，x2}。
证明：（1）当ρ→0时，此时对效用函数
两边变换求极限有：
（2）当ρ→－∞时，对效用函数
两边变换求极限有：
最后一个等号用到洛必达法则，下面分情况讨论：
①x1＞x2时：
上式中倒数第二个等号成立是因为当x1/x2＞1时，
②当x1＜x2时：
③当x1＝x2时，有u（x）＝x1＝x2＝min{x1，x2}。
综上可知：
