第5章　选　择

一、判断题

1某消费者的效用函数为u（x，y）＝（x＋2）（y＋1），如果他所消费的商品x和商品y都增加一倍，那么商品x和商品y的边际替代率仍保持不变。（　　）

【答案】F

【解析】边际替代率为：

当u（x，y）＝（x＋2）（y＋1）时，MRS＝－（y＋1）/（x＋2）；

当u（x，y）＝（2x＋2）（2y＋1）时，MRS＝－2（2y＋1）/[2（2x＋2）]＝－（2y＋1）/[2（x＋1）]。

商品x和商品y的边际替代率发生变化。

2在最优选择处，消费者的无差异曲线和预算线一定是相切的。（　　）

【答案】F

【解析】最优选择处，无差异曲线和预算线可以相切，也可以不相切。在凸性偏好和内部最优的条件下，相切是最优选择的充分条件，即相切处一定是最优选择，但最优选择不一定是相切的。在边界最优的情况下，如商品完全替代的情况下，无差异曲线与预算线是相交的，而不是相切的。

3已知一元钱的边际效用为5个单位，一支钢笔的边际效用为35个单位，则消费者需要用6元来买这支钢笔。（　　）

【答案】F

【解析】基数效用论中效用最大化条件为MU/P＝λ，本题中35/6＞5，消费者需要7元来购买这支钢笔。

4某消费者的效用函数为u（x，y）＝x＋4y1/2，商品x的价格为1元/单位，商品y的价格为2元/单位。如果他的收入从100元增加到150元，他对商品y的消费将增加超过10%，但少于50%。（　　）

【答案】F

【解析】根据效用最大化的条件

可得：1/（2y－1/2）＝1/2，即y＝1。当收入变动时，消费者对y的消费不变。

5某消费者效用函数为u（x，y）＝max{x，y}，如果商品x的价格与商品y的价格相等，该消费者会选择购买等量的x和y。（　　）

【答案】F

【解析】效用函数可写为：

消费者为了使效用最大化，会选择只消费其中一种商品。

6如果消费者不具有良性偏好，无差异曲线与预算线的切点仍可能为最优选择。（　　）

【答案】T

【解析】对于一些平滑的无差异曲线，尽管不具有良性偏好，其最优选择仍然是无差异曲线和预算线的切点。如图5-1所示。

图5-1　最优选择

7一个消费者从来不吃蜗牛但是会吃汉堡，这个消费者在他消费零数量蜗牛的时候，蜗牛对汉堡的边际替代率应该仍与蜗牛与汉堡的价格比相等。（　　）

【答案】F

【解析】消费者不吃蜗牛而吃汉堡，说明最优情况为边界最优，此时预算线与无差异曲线相交于边界点，但是未必是相切的情况，即二者的边际替代率与二者的价格比未必相同。

8在互补型的偏好下，无论征收从量税还是课征所得税，消费者的情况都没有区别。（　　）

【答案】T

【解析】当消费者的偏好为互补型时，无差异曲线为折线，无论征收从量税还是课征所得税，征税后导致预算线如何旋转变动，消费者的选择都不会改变，因此其情况都不会发生变化。

二、单项选择题

1某消费者的效用函数为u（x，y）＝x－1/y，他的收入为30元，以下哪个说法正确？（　　）

A．该消费者不喜欢商品y

B．该消费者的偏好存在餍足点

C．如果商品x的价格是4元/单位，商品y的价格是1元/单位，该消费者会买2个单位y

D．只有在商品y比商品x便宜时，该消费者会买y

【答案】C

【解析】AB两项，消费者的偏好属于拟线性偏好，因此消费者喜欢商品y，且认为消费越多越好，不存在餍足点；C项，可以利用效用最大化条件来求解拟线性偏好的效用最大化。根据效用函数解得：y2＝P_x/P_y＝4，即y＝2；D项，两者并不是完全替代的关系，因此最优解并不在边界上，不存在只购买比较便宜的商品这种最优选择。

2某消费者的效用函数为min{x，3y＋2z}，如果商品x的价格为1元/单位，商品y的价格为9元/单位，商品z的价格为8元/单位。该消费者的收入为8元，他对商品x的最优选择为多少？（　　）

A．2

B．1.6

C．5

D．7

【答案】A

【解析】先考虑y、z的消费量，单位货币在商品y上支出所带来的边际效用（1/3）高于在商品z上支出所带来的边际效用（1/4）。所以这部分支出中，该消费者会把全部支出都用于消费商品y。因此效用函数可写为：min{x，3y}。可知商品z和商品y为完全替代品，因此最优选择在x＝3y上。预算约束为：x＋9y＝8。联立可得：x＝2。

3商品x和商品y的价格都是1元/单位。某消费者打算花20元在商品x和商品y上，并考虑购买10个单位x和10个单位y。该消费者对商品x和商品y的偏好是良性的。记横轴为x的数量，纵轴为y的数量，该消费者的无差异曲线在（10，10）的斜率为－2。据此可以判断（　　）。

A．消费束（10，10）是他所能购买的最优消费束

B．他可以多消费商品x，少消费商品y从而变得更好

C．他可以多消费商品y，少消费商品x从而变得更好

D．他一定是不喜欢其中某种商品

【答案】B

【解析】偏好是良性的，则最优选择的条件是边际替代率等于价格之比。A项，在（10，10）的斜率不等于价格比，因此不是最优选择；B、C项，MU_x/MU_y＝2＞P_x/P_y＝1，因此他可以多消费商品x，降低x的边际效用，少消费y，提高y的边际效用，最终使得MU_x/MU_y＝P_x/P_y，达到效用最大化；D项，因为其偏好是良性的，因此他认为两种商品都是越多越好。

4下面哪一种情况可能改变一个理性消费者的需求？（　　）

A．对效用函数进行立方

B．把效用函数乘以3并减去100

C．把所有价格和他的收入都增加3元

D．所有价格和收入都乘以2

【答案】C

【解析】AB两项是原效用函数的单调变换，不改变消费者的需求；C项，把所有价格和他的收入都增加3元，改变了消费者的预算线进而改变了消费者的需求；D项，所有价格和收入均乘以2，预算约束线和无差异曲线均无变化，消费者的最优选择也不发生变化。

5某消费者只消费啤酒和香肠。他的收入为100元，啤酒每罐为0.5元，香肠每根为1元。x表示啤酒的数量，y表示香肠的数量，该消费者的效用函数为u（x，y）＝－［（x－50）2＋（y－40）2］，那么（　　）。

A．因为效用函数始终为负值，因此该消费者无论消费多少都不满意

B．该消费者具有单调递增的偏好

C．即便消费者的收入增加，他也不会改变原来的选择

D．如果啤酒价格下降，他会买得更多

【答案】C

【解析】消费者的预算约束方程为：（1/2）x＋y≤100，由效用函数可知，该消费者的效用为非正值，所以该消费者的最大效用为0，此时x＝50，y＝40，即消费者只需要收入50×0.5＋40×1＝65就可达到最大效用。即使消费者的收入大于65，消费者也不会把多余的钱用来消费，因为增加消费不仅不能使其效用增加，反而使其效用减少。

6某消费者只消费x和y两种商品，且两种商品对他而言都是喜好品。如果他的收入增加一倍，两种商品价格保持不变，则（　　）。

A．他会增加两种商品的消费

B．商品x和商品y的消费比例可能发生变化

C．效用增加一倍

D．如果偏好是凸性的，他一定会增加x的消费

【答案】B

【解析】如果他的收入增加一倍，两种商品价格保持不变，则他的预算约束线会向外移动。ABD三项，如果其中一种商品是劣等品，且偏好是凸性的，则收入增加并不会使这种商品的消费量增加，同时也决定了两者商品的消费比例可能会发生变化；C项，在其效用函数未知的情况下，无法判断他是否会增加或减少某种商品的消费，也无法计算其效用的增减程度。

7下列说法正确的是（　　）。

A．消费者均衡点一定要在预算集的边界上

B．消费者均衡点可以在预算集的边界上，也可以在预算集的内部，视无差异曲线的具体形状而定

C．消费者均衡点应该在预算集的内部，因为保留一部分货币也可以带来效用

D．只有在商品完全替代时，消费者均衡点才可能位于角点上

【答案】A

【解析】A项，当偏好满足局部非饱和性的假设时，消费者均衡点一定位于预算线上；BC两项，无论是哪种类型的无差异曲线，均衡点都在预算线的边界上；D项，在拟线性偏好中，当收入很少，无法购买两种商品中的其中一种时，消费者均衡也位于角点上。此时，两种商品并不存在完全替代关系。

8假定消费者的收入为50元，商品x的单位价格为5元，商品y的单位价格为4元。消费者计划购买6单位的x和5单位的y商品，商品x、y的边际效用分别为60和30。如果要得到最大效用，他应该（　　）。

A．增加x和减少y的购买量

B．增加y和减少x的购买量

C．同时减少x和y的购买量

D．同时增加x和y的购买量

【答案】A

【解析】消费者效用最大化条件为：MU₁/P₁＝MU₂/P₂＝…＝MU_n/P_n＝k（这里k为不变的货币的边际效用）。由已知可得5×6＋4×5＝50，即消费者花费掉了其全部的收入。同时有：MU_x/P_x＝60/5＝12，MU_y/P_y＝30/4＝7.5。即有：MU_x/P_x＞MU_y/P_y。又因为边际效用是递减的，所以为了使MU_x/P_x＝MU_y/P_y，必须增加x的购买量，同时减少y的购买量。

9某消费者消费商品x和商品y，效用函数为u（x，y）＝x2＋y，商品x的价格记为P_x，商品y的价格记为P_y。他有足够的收入至少能消费一种商品，当他选择最优消费束的时候，那么（　　）。

A．预算线必须与无差异曲线相切

B．他一定只消费x

C．如果P_x2/P_y超过他的收入，他只消费y

D．如果P_x＝P_y，他一定选择每种商品都消费一些

【答案】C

【解析】无差异曲线y＝u－x2，预算线为：P_yy＋P_xx＝m。根据无差异曲线的形状得知，最佳选择只可能是两个，一个是预算线与纵轴的交点（0，m/P_y），此时只消费y；另一个则是u＝m/P_y对应的无差异曲线与预算线相交的点（m/P_x，0）。比较两点对应的效用，可知C项正确。

10某消费者对商品1和商品2的效用函数为min{3x₁，x₂}，则在该消费者看来，两种商品属于（　　）。

A．不完全替代

B．完全互补品

C．替代比例为1:3

D．替代比例为3:1

【答案】B

【解析】该消费者的效用函数如图5-2所示。对于此效用函数，最佳的消费组合为3x₁＝x₂，即两种商品（x₁，x₂）必须按照固定的比例（1，3）同时被消费，所以应该属于完全互补品。

图5-2　消费者的效用函数

三、计算题

1某消费者消费三种商品，效用函数为

若该消费者收入m＝100，三种商品p₁＝1，p₂＝2，p₃＝1，求消费者的最优选择。

解：首先讨论x₂、x₃的需求量，两者是完全替代的，因为p₂＝2＞p₃＝1，则消费者不会消费商品2。

此时效用函数可以改写为：

由效用最大化的条件可得：

解得：x₃＝1/4。

又因为m＝100，p₁＝1，p₃＝1，所以x₁＝99.75。因此消费者的最优选择为：（99.75，0，0.25）。

2小王的效用函数为u（x，y）＝x2/2＋y，已知他的收入为m，p_x＝p，p_y＝1。

（1）写出小王对x、y的需求函数；

（2）如果m＝3，p_x＝0.5他的需求是多少？如果m＝3，p_x＝1，他的需求是多少？

（3）小王的福利因p_x的上涨是上升了还是下降了，为什么？

解：（1）无差异曲线x2/2＋y＝u，即y＝u－x2/2是凹的，所以最优化问题的解是角点解。预算线方程是px＋y＝m，从而y＝m－px。代入效用函数，得：u（x，y）＝u（x，m－px）＝x2/2＋m－px＝（x－p）2×（1/2）＋m－p2/2，即为u（x）。要求u（x）在0≤x≤m/p时的极大值，应在端点处取到u（0）＝m，u（m/p）＝m2/（2p2）。

当m＞m2/（2p2），即m＜2p2，u（x）在x＝0取极大值，此时y＝m。

当m＜m2/（2p2），即m＞2p2，u（x）在x＝m/p取极大值，此时y＝0。

当m＝m2/（2p2），即m＝2p2，u（x）在两个端点处的效用是相等的。

即有：x＝0，y＝m，u（x）＝m；x＝m/p，y＝0，u（x）＝m2/（2p2）。

（2）由m＝3，p_x＝0.5推出m＞2p2，所以x＝m/p_x＝3/0.5＝6，y＝0，u（6，0）＝18。由m＝3，p_x＝1推出m＞2p2，所以x＝m/p_x＝3/1＝3，y＝0，u（3，0）＝4.5。

（3）这种价格上涨使得小王的福利下降。价格上涨而收入不变，预算线要向内移动，其他条件不变的情况下，效用减小。本题中角点为最优解，价格上涨也导致预算线与横轴和纵轴的截距变小，从而效用减少。

3假设x和y商品的效用函数为U（x，y）＝xy＋y，计算x和y的马歇尔需求函数，并描述收入I或其他商品价格变化怎样使x和y的需求曲线发生变化。

解：设x和y的价格分别为p_x和p_y，消费者的收入为I，由效用函数U（x，y）＝xy＋y，及预算约束函数xp_x＋yp_y＝I联立，构造拉格朗日函数为：L（x，y，λ）＝xy＋y＋λ（I－xp_x－yp_y）。效用最大化的一阶条件为：

联立上述方程可求得x和y的马歇尔需求函数分别为：x＝（I－p_x）/（2p_x），y＝（I＋p_x）/（2p_y）。

根据需求函数可以判断，当收入I增加时，在价格不变的情况下，x和y的需求量都会增加，因此它们的需求曲线都会向右移动（需求量为横坐标）。相反，当收入I下降时，在价格不变的情况下，x和y的需求量都会减少，因此它们的需求曲线都会向左移动。

y的价格对x的需求曲线没有影响，而x的价格对y的需求曲线有影响。具体来说就是，当x的价格上升时，在收入不变的情况下，y的需求量增加，因此y的需求曲线向右移动，而当x的价格下降时，在收入不变的情况下，y的需求量减少，因此y的需求曲线向左移动。

4假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是：1，2，3，同时该社会存在着两种商品，分别是x和y。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1，2，3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示：

1：U₁（x，y）＝xy；

2：U₂（x，y）＝xαyβ，其中α＞0，β＞0；

3：U₃（x，y）＝γlnx＋（1－γ）lny，其中γ∈（0，1）。

（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集；

（2）假如商品x和商品y的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对x和y的最优消费量；

（3）证明：消费者2和消费者3的偏好是一致的；

（4）现在假设商品x和商品y的价格分别是P₁和P₂，消费者2拥有I单位货币。请计算他的消费选择。

解：（1）令效用等于常数，x和y的关系即为消费者的无差异曲线。消费者1的无差异曲线及上等值集如图5-3所示：

图5-3　无差异曲线以及偏好的上等值集

（2）消费者1的问题可以用下面的数学规划表示：

效用最大化条件为：MU_x/MU_y＝y/x＝P_x/P_y＝2/3，即3y＝2x。代入预算约束方程可得：x＝30，y＝20。

（3）根据效用函数的性质：效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数。

对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可以得到：lnU₂＝αlnx＋βlny。令α＝γ，β＝1－γ，因此lnU₂＝γlnx＋（1－γ）lny＝U₃。

由此可得，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏好是一致的。

（4）消费者2的问题可以用下面的数学规划表示：

根据C-D效用函数的性质，上述问题等价：

构造拉格朗日函数为：

L（x，y，λ）＝αlnx＋βlny－λ（P₁x＋P₂y－I）

效用最大化的一阶条件为：

从上式可以得到：x＝αI/［P₁（α＋β）］，y＝βI/［P₂（α＋β）］。

5考察一个存在两种消费品的世界。这两种商品分别是X和Y。它们的价格分别为P₁和P₂。消费者W生活在其中，他的收入为m。W具有如下形式的效用函数：U（X，Y）＝（X－X₀）a（Y－Y₀）b，其中，X₀、Y₀都是大于零的常数。参数a、b均大于零。

（1）证明：W的效用函数等价于：U（X，Y）＝rln（X－X₀）＋（1－r）ln（Y－Y₀）。

（2）假设W的收入满足m＞P₁X＋P₂Y。根据（1）中新的效用函数，构造Lagrange函数，求W对X、Y的需求函数。

证明：（1）由效用函数的性质知，效用函数的正单调变化依然是表示同一偏好的效用函数。对U（X，Y）＝（X－X₀）a（Y－Y₀）b进行正单调变换，等式两边取对数，得：

lnU（X，Y）＝ln［（X－X₀）a（Y－Y₀）b］＝aln（X－X₀）＋bln（Y－Y₀）

令a＝r，b＝1－r，即可得：

lnU（X，Y）＝rln（X－X₀）＋（1－r）ln（Y－Y₀）

因为U（X，Y）等价于lnU（X，Y），所以W的效用函数等价于：

U（X，Y）＝rln（X－X₀）＋（1－r）ln（Y－Y₀）

即得证。

（2）由题意，消费者最优化问题如下：

maxU（X,Y）＝rln（X－X₀）＋（1－r）ln（Y－Y₀）

s.t. P₁X＋P₂Y≤m

因而，构造的Lagrange函数为：

L（X，Y，λ）＝rln（X－X₀）＋（1－r）ln（Y－Y₀）－λ（P₁X＋P₂Y－m）

一阶条件为：

解得W对X、Y的需求为：X＝X₀＋r（m－P₁X₀－P₂Y₀）/P₁，Y＝Y₀＋（1－r）（m－P₁X₀－P₂Y₀）/P₂。

6以柯布-道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

解：（1）如果消费者的效用函数为柯布-道格拉斯效用函数，那么他的效用最大化问题可以描述为：

构造该问题的拉格朗日函数：

ψ（x₁,x₂,λ）＝Ax₁αx₂1－α＋λ（m－p₁x₁－p₂x₂）。

拉格朗日函数对x₁、x₂和λ分别求偏导得：

　①

　②

　③

从①式和②式中消去λ后得：

x₂＝（1－α）p₁x₁/（αp₂）④

把④式代入③式中解得：

x₁＝αm/p₁⑤

把⑤式代入④式中解得：

x₂＝（1－α）m/p₂⑥

⑤⑥两式就是与柯布-道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数，把它们代入目标函数式中，就得到了间接效用函数：v（p，m）＝Am（α/p₁）α[（1－α）/p₂]1－α。

（2）消费者的支出最小化问题为：

构造该问题的拉格朗日函数：

ψ（x₁,x₂,λ）＝p₁x₁＋p₂x₂＋λ（u－Ax₁αx₂1－α）。

拉格朗日函数对x₁、x₂和λ分别求偏导得：

　①

　②

　③

从①式和②式中消去λ后得：x₂＝（1－α）p₁x₁/（αp₂）④

把④式代入③式中解得商品1的希克斯需求函数为：

　⑤

把⑤式代入④式中解得商品2的希克斯需求函数为：

　⑥

把⑤，⑥两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

（3）下面来验证问题的结论：对柯布-道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

把间接效用函数的表达式代入商品1和2的希克斯需求函数中，就得到了它们的马歇尔需求函数：

把支出函数的表达式代入商品1和2的马歇尔需求函数中，就得到了它们的希克斯需求函数：

由此可知，对柯布-道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

7假定消费者的收入为m，他要消费两种商品1和2，其价格分别为p₁和p₂。这个消费者的效用函数为U（x₁,x₂）＝x₁2＋4x₂2。

其中x₁和x₂分别为这两种商品的消费量，请计算消费者的消费决策。

解：由效用函数U（x₁,x₂）＝x₁2＋4x₂2得MU₁＝2x₁，MU₂＝8x₂，边际替代率MRS＝MU₁/MU₂＝x₁/（4x₂）。可见随着x₁的增加边际替代率的绝对值是增加的，所以不能根据消费者均衡条件MU₁/MU₂＝p₁/p₂去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足），此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得。

可计算得出，当消费者把所有的收入都用于购买商品1时，效用为（m/p₁）2，当消费者把所有的收入都用于购买商品2时，效用为4（m/p₂）2。因此，当p₂＞2p₁时，消费者把所有的收入都用于购买商品1；当p₂＜2p₁时，消费者把所有的收入都用于购买商品2；当p₂＝2p₁时，消费者既可选择把所有的收入都用于购买商品1，也可以选择把所有的收入都用于购买商品2。