1.2　配套考研真题解析

一、证明题

1．证明：定义在对称区间（－1，1）内的任何函数f（x），必可以表示成偶函数H（x）与奇函数G（x）之和的形式，且这种表示法是唯一的．[合肥工业大学研]

证：令，则f（x）＝H（x）＋G（x），且H（x）是偶函数，G（x）是奇函数．

下证唯一性．

若还存在偶函数H₁（x）和奇函数G₁（x）有f（x）＝H₁（x）＋G₁（x），则

H（x）―H₁（x）＝G₁（x）―G（x）　  （1-1）

用―x代入式（1-1）中

H（x）―H₁（x）＝G（x）―G₁（x）　  （1-2）

由式（1-1）＋式（1-2）可得

H（x）＝H₁（x）

再代入式（1-1）可得

G（x）＝G₁（x）

故唯一性得证．

2．设函数f（x）定义在区间x上，如果对于任何x₁，x₂∈I及λ∈（0，1）．恒有

f[λx₁＋（1－λ）x₂]≤λf（x₁）＋（1－λ）f（x₂）

证明：在区间x的任何闭子区间上f（x）有界．[华中师范大学研]

证：，则存在λ∈（0，1），使

则

　 （1-3）

其中，则

所以

  （1-4）

由式（1-3），式（1-4）可知．再由M的定义，可知

若令

此即证f（x）在[a，b]上有界．

二、计算题

1．设，求f[f(x)]．[同济大学研]

解：当x≥0时，f[f（x）]＝f（1）＝1；

当－1≤x＜0时，f[f（x）]＝f（1＋x）＝1；

当x＜－1时，f[f（x）]＝f（1＋x）＝x＋2．

所以．

2．设求：

（1）f（x）的定义域；

（2）；

（3）．[西北工业大学研]

解：（1）

∴f（x）的定义域为（－∞，＋∞）．

（2）

所以．

（3）

不存在．