第2章　数列极限[视频讲解]

2.1　本章要点详解

本章要点

■数列极限的定义

■数列极限的性质

■数列极限的四则运算

■数列极限存在的条件

■柯西收敛准则

重难点导学

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一、数列极限

1．相关定义

（1）数列极限

设{a_n}为数列，a为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时，有

|a_n－a|＜ε

则称数列{a_n}收敛于a．定数a称为数列{a_n}的极限，并记作

读作“当n趋于无穷大时，{a_n}的极限等于a或a_n趋于a”，若数列{a_n}没有极限，则称{a_n}不收敛，或称{a_n}为发散数列．

（2）无穷小数列

若，则称{a_n}为无穷小数列．

（3）无穷大数列

若数列{a_n}满足：对任意正数M＞0，总存在正整数N，使得当n＞N时有

则称数列{a_n}发散于无穷大，并记作

注：若，则称{a_n}是一个无穷大数列或无穷大量．

（4）若数列{a_n}满足：对任意正数M＞0，存在正整数N，使得当n＞N时有

则称数列{a_n}发散于正（负）无穷大，并记为

2．重要定理

数列{a_n}收敛于a的充要条件是：{a_n－a}为无穷小数列．

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二、收敛数列的性质

1．性质

（1）唯一性

若数列{a_n}收敛，则它只有一个极限．

（2）有界性

若数列{a_n}收敛，则{a_n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有

注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．

（3）保号性

若，则对任何存在正数N，使得当n＞N时有

a_n＞a′（或a_n＜a′）

推论：设，则存在N，使得当n＞N时有

a_n＜b_n

（4）保不等式性

设{a_n}与{b_n}均为收敛数列，若存在正数N₀，使得当n＞N₀时有a_n≤b_n，则

（5）迫敛性

设收敛数列{a_n}，{b_n}都以a为极限，数列{c_n}满足：存在正数N₀，当n＞N₀时有

则数列{c_n}收敛，且．

2．四则运算法则

若{a_n}与{b_n}为收敛数列，则也都是收敛数列，且有

特别当b_n为常数c时有

若再假设b_n≠0及则也是收敛数列，且有

3．定理

数列{a_n}收敛的充要条件是：{a_n}的任何子列都收敛．

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三、数列极限存在的条件

1．单调有界定理（充分条件）

在实数系中，有界的单调数列必有极限．

2．致密性定理

任何有界数列必定有收敛的子列．

3．柯西收敛准则

数列{a_n}收敛的充要条件是：对任给的ε＞0，存在正整数N,使得当n，m＞N时有