第1章　实数集与函数[视频讲解]

1.1　本章要点详解

本章要点

■实数

■数集•确界原理

■函数的概念

■复合函数与反函数

重难点导学

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一、实数

1．实数的表示

若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数．

2．两个实数的大小关系

给定两个非负实数

其中a₀，b₀为非负整数，a_k，b_k（k＝1，2…）为整数，0≤a_k≤9，0≤b_k≤9．若有

则称x与y相等，记为x＝y；若a₀＞b₀或存在非负整数l，使得

则称x大于y或y小于x．分别记为x＞y或y＜x．

对于负实数x，y，若按上述规定分别有－x＝－y与－x＞－y，则分别称x＝y与x＜y（或y＞x）．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．

3．实数的性质

（1）实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数．

（2）实数集是有序的，即任意两实数a，b必满足下述三个关系之一：a＜b，a＝b，a＞b．

（3）实数的大小关系具有传递性，即若a＞b，b＞c，则有a＞c．

（4）实数具有阿基米德性，即对任何a，b∈R，若b＞a＞0，则存在正整数n，使得na＞b．

（5）实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数．且既有有理数，也有无理数．

（6）实数集R与数轴上的点有着一一对应关系．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点都唯一地代表一个实数．

4．绝对值与不等式

（1）绝对值

①定义

②性质

a．|a|＝|－a|≥0；当且仅当a＝0时有|a|＝0；

b．－|a|≤a≤|a|；

c．|a|＜h⇔－h＜a＜h；|a|≤h⇔－h≤a≤h（h＞0）；

d．三角形不等式：；

f．；

g．．

（2）几个重要不等式

①，，；

②均值不等式：，令

有平均值不等式

等号当且仅当时成立．

③Bernoulli不等式

，有不等式，且当时，．

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二、数集•确界原理

1．区间与邻域

（1）区间

设a,b∈R，且a＜b．称数集{x|a＜x＜b}为开区间，记作（a，b）；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a，b]；数集{x|a≤x＜b}和{x|a＜x≤b}都为半开半闭区间，分别记作[a，b）和（a，b]，以上这几类区间统称为有限区间．

满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a，＋∞）．符号∞读作“无穷大”，＋∞读作“正无穷大”．记

其中－∞读作“负无穷大”．以上这几类数集都称为无限区间．有限区间和无限区间统称为区间．

（2）邻域

设a∈R，δ＞0，满足绝对值不等式|x－a|＜δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），或简单地写作U（a）．即有

U（a；δ）＝{x||x－a|＜δ}＝（a－δ，a＋δ）

点a的空心δ邻域定义为

U⁰（a；δ）＝{x|0＜|x－a|＜δ}

2．上确界与下确界

（1）相关概念

①设S是R中的一个数集．若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的个上界（下界）．

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．

②设S是R中的一个数集．若数η满足

a．对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；

b．对任何α＜η，存在x₀∈S，使得x₀＞α，即又是S的最小上界．

则称数η为数集S的上确界，记作

η＝supS

③设S是R中的一个数集．若数ξ满足

a．对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；

b．对任何β＞ξ，存在x₀∈S，使得x₀＜β，即ξ又是S的最大下界．

则称数ξ为数集S的下确界，记作

ξ＝infS

④上确界与下确界统称为确界．

（2）重要定理

①确界原理：设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界,则S必有下确界；

②推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界．

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三、函数的概念

1．函数的定义

给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有唯一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作

数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y称为f在点x的函数值，常记为f（x）．

2．函数的表示法

主要有三种：表格法、图像法、解析法（公式法）．

3．几个特殊的函数

（1）常值函数

y=c

其定义域为D=(－¥，＋¥),其值域为R_f={c}．

（2）绝对值函数

其定义域为D＝(－¥,＋¥),其值域为R_f=[0,＋¥)．

（3）符号函数

其定义域为D＝(－¥，＋¥),其值域为R_f={－1，0，1}．

（4）取整函数：y=[x]，[x]表示不超过x的最大整数；

（5）“非负小数部分”函数

，

它的定义域是，值域是．

（6）狄利克雷函数

其定义域为D＝(－¥，＋¥)，其值域为={0，1}．

（7）取最值函数

,

（8）Riemann 函数

4．函数的性质

（1）有界性

①设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有

则称f为D上的有上（下）界函数．M（L）称为f在D上的一个上（下）界；

②设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个x∈D有

则称f为D上的有界函数．

（2）单调性

设f为定义在D上的函数，若对任何x₁，x₂∈D．当x₁＜x₂时，总有

①f（x₁）≤f（x₂），则称f为D上的增函数．特别当成立严格不等式f（x₁）＜f（x₂）时，称f为D上的严格增函数；

②f（x₁）≥f（x₂），则称f为D上的减函数．特别当成立严格不等式f（x₁）＞f（x₂）时，称f为D上的严格减函数．

（3）奇偶性

设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数，若对每一个x∈D有

f（－x）＝－f（x）（f（－x）＝f（x））

则称f为D上的奇（偶）函数．

（4）周期性

设f为定义在数集D上的函数，若存在σ＞0，使得对一切x∈D，x±σ∈D，有f（x±σ）＝f（x），则称为周期函数，σ称为f的一个周期．若σ为f的周期，则nσ（n为正整数）也是f的周期．若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的基本周期，或简称周期．

5．函数的四则运算

给定两个函数，和g，，记，并设，定义f与g在D上的和、差、积运算如下

F（x）＝f（x）＋g（x），x∈D

G（x）＝f（x）－g（x），x∈D

H（x）＝f（x）g（x），x∈D

若在D中剔除使g（x）＝0的x值，即令

可在D^*上定义f与g的商的运算如下

注：若，则f与g不能进行四则运算．以后为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写作

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四、复合函数与反函数

1．复合函数

设有两函数

　 （1-1）

记E^*＝{x|g（x）∈D}∩E．若，则对每一个x∈E^*，可通过函数g对应D内唯一的一个值u，而u又通过函数f对应唯一的一个值y，这就确定了一个定义在E^*上的函数，它以x为自变量，y为因变量，记作

称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，式（1-1）中的u为中间变量．函数f和g的复合运算也可简单地写作．

2．反函数

设函数

y＝f（x），x∈D

满足：对于值域f（D）中的每一个值y，D中有且只有一个值x，使得

f（x）＝y

则按此对应法则得到的函数称为反函数，它是一个定义在f（D）上的函数，记作

或

x＝f^－1（y），y∈f（D）

3．初等函数

（1）基本初等函数

①常量函数y＝c（c是常数）；

②幂函数y＝x^α（α为实数）；

③指数函数y＝a^x（a＞0，a≠1）；

④对数函数y＝log_ax（a＞0，a≠1）；

⑤三角函数y＝sinx（正弦函数），y＝cosx（余弦函数），y＝tanx（正切函数），y＝cotx（余切函数）；

⑥反三角函数y＝arcsinx，（反正弦函数），y＝arccosx（反余弦函数），y＝arctanx（反正切函数），y＝arccotx（反余切函数）．

（2）初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，称为初等函数．