4.2　课后习题详解

一、概念题

1．年百分比率（annual percentage rate）

答：年百分比率又称“名义年利率”，是指不考虑复利计息的一年期利率，它一般指债券上标明的利率，或者是银行一年期定期存款的利率。

2．实际年收益率（effective annual yield）

答：实际年收益率又称为“实际年利率”，是指考虑一年内若干期复利计息的一年期实际利率。由于复利计息的缘故，实际年收益率高于名义年利率。其计算公式为：其中r为名义年利率，m为一年内计息的次数。

3．年金（annuity）

答：年金是指在一定期间内，每隔相同时期（一年、半年、一季等）收入或支出相等金额的款项。根据收入或支出发生情况的不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。不论哪种年金，都是建立在复利基础上的，都有终值和现值之分。

4．终值（future value）

答：终值是指现在某一特定金额按规定利率折算到未来某一时点的价值，亦称“本利和”。它是现值的对应概念，是计算货币时间价值的重要概念。

一笔投资在多期后的终值可以按照以下公式计算：FV=C₀×（1+r）^T，其中T为投资持续期数，r为对应的利率。

5．年金系数（annuity factor）

答：年金系数是指在适当贴现率为r的情况下，T期内每年获得1美元的年金的现值。用公式可以表达为：年金系数=

6．增长年金（growing annuity）

答：增长年金是指在某一有限时期内现金流以一定速度增长的年金。其现值计算公式为：

式中，C是指第1期末开始支付的现金流；r是利率；g是每期的增长率（用一个百分比来表示）；T是年金支付的持续期。

7．适当贴现率（appropriate discount rate）

答：适当贴现率是指投资者投资回报的收益率。在计算资金（或货币）的时间价值时，将未来的一笔金额（终值），按给定的利息率折算成现在的价值（现值）。其中用于把终值转化为现值的利息率，称为“贴现率”或“折现率”。资金的风险大小决定了投资者能够接受的适当贴现率水平，两者相匹配。风险越大，适当贴现率越高，未来资金的现值也越小。

8．永续增长年金（growing perpetuity）

答：永续增长年金是指其增长趋势将永远持续下去的现金流序列，无限期的收入或支出金额为无穷等比数列。该年金是永久性的，一般只有永续增长年金的现值，而不计算永续年金的终值。其现值的计算公式为：

其中，C是现在开始一期以后收到或支出的现金流；g是每期的增长率；r是适当贴现率。此时，贴现率高于增长率，才使永续增长年金公式有意义。

9．复利（compounding）

答：“复利”是指在计算终值时，不仅本金要计算利息，本金所产生的利息也要计算利息，即通常所说的“利滚利”，与“单利”相对应。复利值是指若干年以后包括本金和利息在内的未来价值，又称本利和。其计算公式：复利本利和=本金×（1+利率）ⁿ。式中，n为期数。

10．净现值（net present value）

答：净现值（net present value，NPV）是指投资项目投入使用后的净现金流量，按资本成本或企业要求达到的报酬率即适当贴现率折算为现值，减去初始投资以后的余额（如果投资期超过一年，则应是减去初始投资的现值以后的余额）。其计算公式为：NPV= 其中NCF_t为第t期净现金流，r为贴现率，C为初始投资额。

11．复利利息（compound interest）

答：复利利息是指按照复利方式计算终值时，本金所产生的利息也计算利息，并且逐期滚动计算所获得的超过本金的额外现金流。其计算公式为：复利利息=本金×（1+利率）ⁿ－本金。其中，n为期限数，利率即为复利利率。

12．永续年金（perpetuity）

答：永续年金是指无限期支付的年金。西方有些债券为无限期债券，这些债券的利息可视为永续年金。优先股因为有固定的股利而又无到期日，因而有时可以看作是永续年金。其现值计算公式为：

13．复利值（compound value）

答：复利值又可称为复利终值，是指一笔资金经过一个时期或多个时期以后包括本金和利息在内的未来价值。它是现值的对应概念，其实质内容为当前所持有的本金在将来特定时间的本利之和。计算公式为：复利值=本金×（1+利率）ⁿ。其中，n为期限数，利率即为复利利率。

14．现值（present value）

答：现值是指未来某一特定时间的货币资金按照适当贴现率折算成的当前价值。它是货币时间价值的内涵概念之一，与终值共同形成一种对立统一的货币时间价值概念，其实质内容为将来特定时间的本利和（即终值）所需的本金。计息标准决定实际的货币资金现值，如按复利标准计息的现值称为复利现值，按单利标准计息的现值称为单利现值，按年金计息的称为年金现值等。

15．连续复利计息（continuous compounding）

答：连续复利计息是指在无限短的时间间隔内按复利计息。按照连续复利计息，T年后的终值可以表达为：C₀×e^rT。

其中：C₀是最初的投资；r是名义利率；T是投资所持续的年限；e是一个常数，其值约为2.718。

16．现值系数（present value factor）

答：现值系数是指由确定的货币时间价值规律确定的用来计算未来现金流现值的系数。它有两种表达方式，一是按时间价值的定义确定下来的计算现值的公式；二是按计算公式编列的现成的函数表。现值系数可用专门的符号表示它，如一次支付的现值系数表示为（P/F，i，n），年金现值系数表示为（P/A，i，n）等。

17．贴现（discounting）

答：贴现是指计算未来现金流当前价值的过程。它是计算复利终值的反过程。其计算公式为其中r为适当贴现率，n为计算期数。

18．单利利息（simple interest）

答：单利利息是指在本金经过一个或多个时期以后，所派生的利息均不加入本金重复计算利息所获得的利息。其计算公式为：单利利息=本金×利率×期数。

19．实际年利率（effective annual interest rate）

答：实际年利率又称为“实际年收益率”，是指考虑一年内若干期复利计息的一年期实际利率。由于复利计息的缘故，实际年利率高于名义年利率。其计算公式为：其中r为名义年利率，m为一年内计息的次数。

20．名义年利率（stated annual interest rate）

答：名义年利率又称“年百分比率”，是指不考虑复利计息的一年期利率，它一般指债券上标明的利率，或者是银行一年期定期存款的利率。

二、复习题

1．复利与阶段当你增加时间的长度时，终值会发生什么变化?现值会发生什么变化?

答：假设现金流量和利率都为正，则终值增加，现值减少。

2．利率如果利率增加，年金的终值会有什么变化?现值会有什么变化?

答：假设现金流量和利率都为正，现值会下跌，而终值会上升。

3．现值假设有2名运动员均签署了一份10年8000万美元的合同。一种情况是8000万美元分10次等份支付。另一种情况是8000万美元分10次、支付金额为每年5％递增。哪一种情况更好?

答：8000万美元分10次等份支付的情况较好。

4.APR和EAR贷款法是否应该要求贷款者报告实际利率而不是名义利率?为什么?

答：是的，他们应该报告实际利率。APR一般不提供其他相关的利率。惟一的好处是他们容易计算，但随着现代计算设备的进步，这种优势就显得不是很重要了。

5．时间价值有津贴斯坦福联邦贷款（subsidized Stafford loans）是为大学生提供财务帮助的一种普遍来源，直到偿还贷款才开始计息。谁将收到更多的津贴，新生还是高年级学生?请解释。

答：新生将收到更多的津贴。原因是在开始计息以前新生可以使用贷款的时间更长。

根据下面的信息回答接下去的5个问题：

在1982年12月2日，通用汽车的一个辅助部门，即通用汽车金融服务公司（GMAC）公开发行了一些债券。根据交易的条款，GMAC许诺在2012年12月1日偿还给这些证券的所有者10000美元，但在这之前，投资者什么都不能得到。投资者在1982年12月2日向GMAC支付500美元购得一张债券，从而得到30年后偿还10000美元的承诺。

6．货币的时间价值为什么GMAC愿意接受如此小的数额（500美元）来交换在未来偿还20倍数额（10000美元）的承诺?

答：它是一种货币时间价值的体现。GMAC可以立即使用这500美元。如果GMAC有效地使用它，在30年以后它的价值将超过10000美元。

7．赎回条款GMAC有权力在任意时候，以10000美元的价格赎回该债券（这是该特殊交易的一个条款）。这一特性对投资者投资该债券的意愿有什么影响?

答：这会使债券的吸引力下降。GMAC只会在对它有利的时候回购债券，如利率下降。考虑到利率需下降到对GMAC有利的程度，公司不太可能回购债券。这是一个“看涨”特性的例子，这些特性在后面的章节会详细讨论。

8．货币时间价值你是否愿意今天支付500美元来换取30年后10000美元的偿付?回答是或不是的关键因素是什么?你的回答是否取决于承诺偿还的人是谁?

答：关键因素是：（1）隐含在其中的回报率是否相对于其他类似的风险投资更有吸引力？（2）投资的风险有多高，也就是说，将来得到这10000美元的确定性程度如何？因此，这一答案的确取决于承诺偿还的人是谁。

9．投资比较假设当GMAC以500美元的价格发行该债券时，财政部也提供实质上是一样的债券。你认为后者的价格应该更高还是更低?为什么?

答：财政部提供的债券的价格更高些，因为财政部是所有借款人中信誉最高的。

10．投资时间长期GMAC的债券可以在纽约证券交易所进行购买与销售。如果你今天在看价格，你是否会认为该价格应该超过之前的价格500美元?为什么?如果你在2010年看价格，你认为价格会比今天更高还是更低?为什么?

答：价格会更高。因为随着时间的推移，该证券的价格将趋于上升至10000美元。这种上升只是货币时间价值的反映。随着时间的推移，距收到1万美元的时间变短，导致现值上升。到2010年，价格由于同样的原因可能会更高。但是不能肯定，由于利率可能会高得多，或GMAC的财政状况可能恶化。无论哪种情况发生都将倾向于压低证券的价格。

11．计算终值计算以下情况下1000美元的复利终值：

a．以6％的利率复利10年。

b．以9％的利率复利10年。

c．以6％的利率复利20年。

d．为什么c题中计算得到的数值不是a题中数值的两倍?

答：计算终值：FV=PV（1+r）^t

a．FV=1000×（1.06）¹⁰=1790.85（美元）

b．FV=1000×（1.09）¹⁰=2367.36（美元）

c．FV=1000×（1.06）²⁰=3207.14（美元）

d．因为在复利的计算中，利息也产生利息。在（c）中利息所获的的利息比（a）中利息获得的利息2倍还多，因此，终值较高。

12．计算现值Imprudential公司有一笔尚未支付的养老金，金额为7.5亿美元，将要在20年内进行支付。为了确定公司股票的价值，财务分析师希望能将这项债务折现为现值。如果相关折现率为8.2％，请问这项负债的现值是多少?

答：为了得到总金额的现值，利用公式，可得：

PV=FV/（1+r）^t=750000000/（1.082）²⁰=155065808.54（美元）

13．永续年金一名购买了英国金边债券的投资者将永远享有在英国政府领取利息的权利。请问如果该金边债券下一次的支付期是1年后，每年支付120美元，那么请问这份金边债券的价格是多少?假设市场利率为5.7％。

答：金边债券是一种永续年金。为了得到永续年金的现值，利用公式PV＝C/r，可得：

PV＝120/0.057=2105.26（美元）

14．连续复利请计算以下情况下1900美元连续复利的终值：

a．利息率为12％，连续复利5年。

b．利息率为10％，连续复利3年。

c．利息率为5％，连续复利10年。

d．利息率为7％，连续复利8年。

答：为了得到连续复利下的终值，用到公式：

FV=PVe^RT

a．FV=1900e^0.12×5=3462.03（美元）

b．FV=1900e^0.1×3=2564.73（美元）

c．FV=1900e^0.05×10=3132.57（美元）

d．FV=1900e^0.07×8=3326.28（美元）

15．计算年金现值一项投资在15年内每年支付4300美元，其中第一次支付期为1年后。如果必要收益率为9％，请问投资的价值是多少?如果在40年内持续支付，或75年内持续支付，或是永续支付，这项投资的价值又各为多少?

答：为了得到年金现值，用到以下公式：

为了得到永续年金现值，根据公式有：

PV=4300/0.09=47777.78（美元）

注意，随着年金支付时间的增长，年金现值也逐渐接近永续年金的现值。从75年期的年金现值和永续年金现值的对比中可以看出，永续年金的现值仅仅比75年期的年金现值多了74.51美元。

16．计算实际年利率：计算以下情况下的实际年利率（EAR）： 

（％）

答：对于离散复利，得到实际年利率（EAR），用到以下公式：

为了得到连续复利下的EAR，根据公式EAR=e^q-1，可得：

EAR=e^0.14-1=15.03%

17．计算名义年利率：计算以下情况下的名义年利率（APR）：

（％）

答：这里已知实际年利率（EAR），需要得到名义年利率（APR）。根据离散复利的公式：

可以得到APR：

解连续复利下EAR公式：

EAR=e^q-1

可得：

APR=In（1+EAR）=ln（1+15.9%）=14.76%

18．计算收益率你试着在两项投资中进行选择，二者的投资成本都为75000美元。G投资在5年内每年将产生135000美元的回报。H投资在10年内每年的回报额则为195000美元。请问这两项投资哪个收益率更高?

答：这里，需要得到两个投资计划的收益率。每个投资计划都是一次性全额付款，所以：

G投资：PV=75000=135000/（1+r）⁵

（1+r）⁵=135000/75000

H投资:PV=75000=195000/（1+r）¹⁰

（1+r）¹⁰=195000/75000

19．永续增长年金Mark Weinstein正致力于激光眼部治疗的一项先进技术，他的技术将在近期得到应用。他预测该技术首次产生的年度现金流将为215000美元，而这将发生在2年后。其后的年度现金流将以4％的增长率永续增长。请问如果折现率为10％，那么这项技术的现值是多少?

答：这是一个永续增长年金。永续增长年金的现值为：

PV=C/（r－g）=215000/（0.1－0.04）=3583333.33（美元）

重要的一点是，当处理年金或者永续年金的时候，该现值公式计算的是第一次支付前一期的现值。在本题中，第一次支付是在两年后，所以上步中求得的现值是从现在开始下一年的现值。为了得到现在的现值，仅仅需要对上述现值进行一期的折现。当前的现金流计算如下：

PV=FV/（1+r）^t=3583333.33/（1+0.1）1=3257575.76（美元）

20．增长年金你所从事的工作每年支付一次工资。今天是12月31日，你刚刚获得了60000美元的工资，而且你计划将其全部花完。但是你想从明年开始为你的退休储蓄资金。你决定从1年后起，你将年度工资的5％存入银行账户，该账户将提供9％的利息。在你的职业生涯中，你的工资将以每年4％的增长率增长。请问你在40年后退休时，你将能获得多少钱?

答：由于工资以每年4%增长，所以下一年度的工资为：

下一年的工资=60000×（1+0.04）=62400（美元）

这就意味着下一年度的储蓄额为：

下一年度储蓄额=62400×0.05=3120（美元）

由于工资以4%的比例增长，储蓄也将以4%的比例增长。可以运用增长年金现值公式来得到储蓄额的现值。如下：

现在，可以得到40年后该金额的终值：

FV=PV（1+r）^t=52861.98×（1+0.09）⁴⁰=1660364.12（美元）

21．计算债务清偿额你需要一份30年期、固定利率的抵押贷款来购买一幢250000美元的新住房。你的抵押贷款银行将以6.8％的年实际利率（APR）提供一项360个月期的贷款。但是，你只能负担1200美元的每月偿还额，因此你要求在贷款到期时提供一笔balloon付款，以清偿所有剩余的数额。如果你将月度清偿额保持在1200美元的水平，那么这笔balloon付款的数额会是多少?

答：偿还贷款本金的数额是每月偿还额的现值。每月偿还1200美元的现值为：

每月偿还1200美元，则偿还的总额为184070.2美元。未还的本金为：

250000－184070.20＝65929.80（美元）

所欠本金将会按照贷款利息增长到贷款到期。30年后balloon付款就是所欠本金的终值：

balloon付款=65929.8×[1+（0.068/12）]³⁶⁰=504129.05（美元）

22．现值与盈亏平衡点利率假设有家公司签订了一项合同，该合同约定在3年后以135000美元的价格售出一项资产。该资产今天的价格为96000美元。如果这项资产的相关折现率为每年13％，那么公司在这项资产上能否赚取利润?在什么利率下公司刚好盈亏平衡?

答：公司所得利润就是出售资产价格的现值减去资产的成本。出售资产价格的现值：

PV=135000/1.13³=93561.77（美元）

公司的利润：

利润=93561.77-96000.00＝-2438.23（美元）

为了得到使公司盈亏平衡的利率，需要运用现值（或终值）的计算式。本题需要利用现值公式，可得：

96000=135000/（1+r）³

23．多项利率一份15年期的年金每月支付1500美元，每月月底支付。如果在前7年采用的是以13％利率进行月度复利。而在之后采用利率为9％的月度复利，请问这份年金的现值是多少?

答：这个问题问的是一组年金的现值，但是在年金持续期间，利率却发生变化。首先计算最后8年现金流的现值，

注意，这是距今7年的年金现值。现在，需要对它进行折现。折现到当前的现值为：

PV=102387.66/[1+（0.13/12）]⁸⁴=41415.7（美元）

还需要计算前七年的年金现值：

现金流折现到当前的值是两组现金流的和：

PV＝82453.99+41415.70=123869.69（美元）

24．计算先付年金你打算从Pings公司租赁高尔夫球俱乐部，租赁合约为24个月的同等支付额，名义年利率为10.4％，采用月度复利。由于俱乐部的零售成本为3500美元，因此Pings希望这项租赁中所有支付额的现值等于3500美元。假定你马上就要进行首次支付。请问你每月的租金会是多少?

答：月度利率是年度利率除以12，可得：

月度利率=0.104/12=0.00867

令租赁支付的现值等于设备的成本，即3500美元。租赁支付是以先付年金的形式完成，所以：

C=160.76（美元）

25．计算年金你最近在华盛顿州的博彩中获得了超级大奖。在阅读宣传册时，你发现有两种方案：

a．你将收到31次年度支付，每次支付额为175000美元，今天将进行首次支付。该笔收入将以28％的税率征税，支票开具时就进行征收。

b．现在你将收到530000美元，而且你不需要为此付税。而且，在1年后，你将在此后的30年中获得每年125000美元的支付额。而这项年金的现金流同样将以28％的税率征税。

假设折现率为10％，请问你将会选择哪个方案?

答：这里需要对比两种方案，为此，需要得到两组现金流在同一时期的价值，所以计算每一方案的现值。因为税后现金流更为恰当，所以计算两种方案的税后现金流。

对于方案A，税后现金流为：

税后现金流=税前现金流×（1-税率）=175000×（1-0.28）=126000（美元）

A方案的税后现金流是以先付年金的形式支付的，所以其现值为：

对于方案B，税后现金流为：

税后现金流=税前现金流×（1-税率）=125000×（1-0.28）=90000（美元）

方案B的税后现金流是一组普通年金加上当前的现金流，所以其现值为：

因为B方案的税后现金流现值更高，所以应该选择B方案。

26．计算年金价值Bilbo Baggins希望能够存钱来实现三个目标。首先，他希望30年后退休时，能够在其后的20年内每月获得20000美元的退休收入，首次支付发生于30年又一个月后。其次，他希望10年后能够在Rivendell购买一间小屋，预计成本为320000美元。最后，在获得20年的退休收入后，他希望能够留下1000000美元的遗产给他的侄子Frodo。他在未来10年中每月可以负担的存款额为1900美元。如果他在退休前可以获得11％的实际年利率（EAR），退休后可以获得8％的实际年利率（EAR），那么他在第11～30年间每月必须存入的金额是多少?

答：本题中的现金流是月度现金流，而给的利率则是实际年利率（EAR）。现金流按月发生，需要得到月度实际利率。一种方法是得出基于月度复利的名义年利率，然后除以12。所以，退休前的名义年利率为：

退休后的名义年利率为：

首先，计算出他在退休的时候需要多少现金。退休时需要现金的数额就等于每月支出的现值加上遗产的现值。这两部分现金流的现值为：

PV=1000000/（1+0.08）²⁰=214548.21（美元）

所以，在退休的时候，他需要：

2441554.61+214548.21=2656102.81（美元）

在购买小屋之前的10年间，他每个月储蓄1900美元。10年之后他的储蓄终值为：

在购买小屋之后，他的余额为：

400121.62-320000=80121.62（美元）

他还有20年才退休。当退休时，这个数额将会增长到：

FV=80121.62×[1+（0.1048/12）]^12×20=646965.5（美元）

所以，当他要退休的时候，基于他现在的储蓄，他将缺少：

2656102.81-645965.50=2010137.31（美元）

这个数额就是他必须在10年至30年间每月储蓄的终值。所以，通过年金终值公式可以得到年金支付金额，他每月的支付为：

C=2486.12（美元）

27．计算年金价值在决定购买一辆新车时，你可以进行租赁或是借入一份3年期的贷款来购买。你打算购买的新车价格为38000美元。经销商的租赁合约很特别，他要求你在今天支付1美元，并在未来3年中每月支付520美元。如果你选择购买汽车，那么在8％的名义年利率下，你在未来3年每月进行支付就可以清偿贷款。你认为你可以在3年后以26000美元的价格售出该车。请问你应该进行租赁还是进行购买?请问能使这两种方案无差别的盈亏平衡点对应的3年后的再售价格是多少?

答：要解答该问题，需要得出并比较两种选择下的净现值。选择购买汽车的话，最低的净现值是最好的选择，租赁下的净现值是每月支付的净现值再加1美元。租赁选择下的利率应等于贷款利率。租赁选择下的现值为：

贷款购买汽车情况下的现值为新车价格减去再售价格的现值，再售价格的现值为：

购买选择下的现值为：38000-20468.62＝17531.38（美元）

在本题中，租赁汽车的现值比购买汽车的现值更低，故选择租赁该汽车。要得到盈亏平衡的再售价格，需要找出使两种选择的现值相等的价格。也就是说，购买汽车选择下的现值应该为：

38000-再售价格的现值=16595.14

再售价格现值=21404.86（美元）

使租赁选择和购买选择下的现值相等的再售价格是该价格的终值，所以：

盈亏平衡的再售价格=21404.86×（1+0.08/12）^12×3=27189.25（美元）

28．实际年利率与名义年利率地区中的两家银行提供30年期，200000美元的抵押贷款，利率为6.8％，同时收取2100美元的贷款申请费用。但是，Insecuity信托银行收取的该项申请费用在贷款申请被拒绝时可以退还，然而I．M．Greedy and Sons抵押银行的该项费用却不能退还。当前披露法规规定任何在申请被拒时可以退还的费用在计算名义年利率（APR）时应该计算在内，但对那些无法退还的费用没有进行要求（这可能是因为可退还的费用是贷款的一部分，而非费用）。请问这两项贷款的实际年利率（EAR）是多少?名义年利率又是多少?

答：首先，要计算出可退还申请费用贷款的实际利率（EAR）和名义利率（APR）。通常，要利用实际现金流来得出利息率。在收取2100美元贷款申请费用的情况下，需要借202100美元，使在减去2100美元申请费用后，还有200000美元。在此情况下，有：PVA=202100= 其中0.00567=0.068/12，则C=1317.54（美元）。

现在可以利用这一数值以及希望借到的初始贷款额200000美元来计算r，有：

解得：月利率r=0.5752%

APR=12×0.5752%=6.9%

EAR=[1+0.005752]¹²-1=7.13%

对于不可退还申请费用的贷款，贷款的名义利率就是已知利率，因为申请费用没有被视作贷款的一部分。

APR=6.8%

EAR=[1+0.68/12]¹²-1=7.02%

29．盈亏平衡点投资收益率你的财务规划师为你提供了两种投资方案。X方案是每年支付20000美元的年金。Y方案是10年期，每年支付35000美元的年金。两种方案都将在1年后开始支付。请问当折现率为多少时，这两项方案对你而言是无差异的?

答：这里，需要找出使永续年金与年金无差别的利息率。为了解决这一问题，要计算两种情况下的现值并令它们相等。

永续年金的现值为：

PV=20000/r，

年金的现值为：

令两者相等，得到：

解得：r=5.76%

30．普通年金与先付年金正如教材中讨论过的，先付年金除了其支付时点为每期期初而非期末外，与普通年金完全相同。请证明在其他条件均相同的情况下，一份普通年金的价值与一份先付年金的价值符合以下关系：

先付年金的价值=普通年金的价值×（1+r）

请运用现值与终值分别进行证明。

答：运用现值：

 

运用终值：

普通年金终值FVA＝C+C（1+r）+C（1+r）²+….+C（1+r）^t-1

先付年金终值FVA_due＝C（1+r）+C（1+r）²+….+C（1+r）^t＝（1+r）[C+C（1+r）+….+C（1+r）^t-1]＝（1+r）FVA

31．72法则常用于计算离散复利下一项投资翻倍时间的拇指法则就是“72法则”。要运用该法则，你只需简单地用72除以利率来确定价值翻倍所需的期数。例如，当利率为6％时，72法则表明要实现价值翻倍所需要的期数就等于72／6=12年，这近似等于实际结果11.90年。72法则同样可以应用于确定在期数确定的情况下，要实现价值翻倍所需的利率。对于许多利率和期数来说，72法则是非常有效的近似方法。请问在什么利率下，72法则可以得到准确的结果?

答：由于72法则只是一个近似值，因此可知只有一个利率使得用72法则得出的值是准确值。使某一价值翻倍并用基本的终值公式解出时间t，可得：

FV＝PV（1+R）^t

2＝1×（1+R）^t

ln（2）＝t×ln（1+R）

t＝ln（2）/ln（1+R）

同时可以得到运用72法则计算的近似值：

t=72/R

令两式相等解出R。注意，终值方程使用的是小数，求准确值时72应换成0.72，所以方程为：

0.72/R=ln（2）/ln（1+R）

利用计算器，可以解出使得72法则所得值为准确值的利率为7.846894%。