3.10　叠代模型

3.10.1　个人消费和储蓄的决定

1958年，萨缪尔森（Samuelson）在其经典论文中探究了现收现付制对个人决策的影响。下面我们具体介绍萨缪尔森的叠代模型，该模型假定每一代人生活两个时期，他们在第一期工作，第二期退休，人口的增长率为n。

如表3-2所示，每个时期都是由老年人和青年人构成，本期老年人是上一期出生的青年人，本期青年人则是本期新出生人口。为了便于理解，我们假设在经济运行第0期出生的人属于第0代人，也即0期的青年人；0期前出身的人属于-1代，为0期的老年人。以此类推，第n期出生的人属于第n代人，也是n期的青年人和n+1期的老年人。

暂且先不考虑养老保险制度，只考虑个人储蓄，那么个体如何选择最优储蓄水平使其一生效用最大化？[2]

假设效用函数为，其中下标t表示第t期，上标i取值1和2，分别表示年轻时期和老年时期。该效用函数满足边际效用大于0（u′＞0）和边际效用递减（u″＜0）。个体最优化问题可以表述为：

假定工资和利率对个体而言是外生的，不受其控制，则约束条件的含义是，t期出生的个体在年轻时通过劳动获得工资wt，第二期工资为0，因此个体通过选择一个储蓄水平st来决定两期的消费水平。当选定储蓄水平后，年轻时期的消费水平就已经给定，同时，老年时期的消费水平也由外生的利率水平r决定。ρ为主观贴现率，衡量人们对当前消费和远期消费的偏好程度，也是外生给定。由于缺乏耐心或是未来存在不确定性等因素，人们总是倾向于“及时行乐”，对当期效用评价更高，对未来的效用会“打个折扣”，因此，ρ通常大于0，这个值越大，说明人们越不喜欢延迟消费。

个体通过选择两期的消费，最大化自身效用：

对st求导数，当导数等于0时效用达到最大化，可得如下一阶条件：

这个一阶条件有如下几点性质：

（1）增加ρ会提高年轻时期的消费，同时减少老年时期的消费。

（2）增加r会提高老年时期的消费，但对于年轻时期消费水平的影响方向取决于消费函数的具体形式。

（3）可以将ρ理解成主观贴现率，将r理解成市场贴现率。

若主观贴现率大于市场贴现率，他会在第一期借贷，用于第一期的消费，第二期偿还借贷，即第一期消费多于第二期（此时假设第二期的收入不为0）。但如果存在信贷约束，则第一期的消费不能超过收入，这时他会将第一期的收入全部消费掉。

若主观贴现率小于市场贴现率，他将在第一期储蓄，用于第二期消费。

此外，工资提高会同时提高两期的消费水平。

专栏　边际效用

3.10.2　同时考虑养老保险和储蓄的叠代模型

在上一小节我们放松了假设，允许经济体存在金融市场和资本市场，个体可以通过储蓄平滑跨期消费。现在进一步放松假设，政府会向青年人征收养老保险费，同时向老年人支付养老金。

个体年轻时消费水平由工资、养老保险缴费和储蓄水平三个因素决定：

=wt（1-τ）-st

老年时期消费水平由储蓄、利率及政府发放的养老金决定：

=bt+1+（1+r）st

t+1期的养老基金总收入为：

Tt+1=τwt+1Lt+1

养老基金总支出为：

Bt+1=bt+1Lt

收支平衡要求：

Tt+1=Bt+1

bt+1=τwt（1+g）（1+n）

将bt+1计算公式和st=wt（1-τ）-代入计算公式，可得：

式（3-25）左边为个体一生消费金额的贴现值，n+g为养老保险收益率，r为市场利率。养老保险的引入对个体的福利有何影响取决于市场利率和养老保险收益率的相对大小。

（1）当r＞n+g时，由公式可知，个体一生消费数量小于其工资收入，意味着养老保险的引入导致其福利下降。

（2）当r=n+g时，个体消费等于工资，福利和没有养老保险时相同。

（3）当r＜n+g时，消费大于工资，个体的福利水平因养老保险的引入而提高。然而对于0时期的老年人而言，因为在其工作时没有缴纳养老保险，但在老年时却获得了一笔养老保险金，所以他们的福利的确定性会提高。

专栏　参加养老保险各代人的收益