3.4 倒易点阵

晶体具有空间点阵式的周期性结构，由晶体结构周期规律中抽象出来的点阵，称为晶体点阵L。晶体点阵以一套右手坐标轴系规定的单位矢量a，b，c表示其周期性，晶体点阵的晶胞参数用a，b，c，α，β，γ表示，V为晶胞体积。倒易点阵L^*是从晶体点阵推引出来，也用右手坐标轴系规定，单位矢量为a^*，b^*，c^*，倒易点阵的晶胞参数为a^*，b^*，c^*，α^*，β^*，γ^*，倒易晶胞体积为V^*。

在X射线晶体学中，倒易点阵的应用非常广泛，是研究晶体衍射性质的重要概念和数学工具。各种衍射现象的几何学、衍射公式的推导、现代衍射仪器的设计和应用、衍射数据的处理，以及用衍射数据测定晶体结构的许多环节，都离不开倒易点阵。倒易点阵是X射线晶体学的基本内容，新版《晶体学国际表》卷B就是以“倒易空间”作为卷名^［5］。为了了解倒易点阵的定义、性质和应用，下面分成几个小节讨论。

3.4.1 倒易点阵的定义

在上节讨论Bragg方程时，得到衍射hkl的衍射角θ_hkl和衍射面间距d_hkl的关系为：

由此可见，衍射角θ_hkl和衍射面间距的倒数1/d_hkl成正比。对立方、四方和正交晶系晶体，3个单位矢量a,b,c互相垂直的情况下，可得：

即衍射角的大小和点阵参数a,b,c的倒数有关。对于其他晶系，点阵面间距不仅涉及a,b,c等长度参数，还涉及α,β,γ等角度参数，计算晶面间距公式冗长复杂，对它们发生衍射的物理图像较难表达。引进倒易点阵就能清晰而明确地解决晶体产生衍射的问题。倒易点阵名称中“倒易”二字主要是源于计算d_hkl的倒数而引进的。

由点阵矢量a,b,c求算倒易点阵矢量a^*,b^*,c^*时，要用到矢量的点积和矢积。

两个矢量a和b，它的点积是个标量，其值等于两个矢量绝对值及其夹角γ的余弦的乘积，即

两个矢量的矢积a×b为矢量，它可用矢量c^*表示：

式中K为一常数。c^*为垂直于a和b所在的平面，如图3.10所示。a×b的绝对值为两个矢量的绝对值和夹角γ的正弦的乘积，即为a和b所形成的平行四边形的面积：

c^*的方向规定为将a转动到b时的右手螺旋运动的方向。由于这种关系，若把相乘的次序颠倒时，则矢积c^*的方向便会颠倒过来，即

图3.10两个矢量a和b的矢积c^*

倒易点阵是从晶体点阵中抽象出来的点阵，晶体点阵中的单位矢量为a,b,c,倒易点阵中的单位矢量为a^*,b^*,c^*,它们之间的关系（即倒易点阵的定义）为：

由此定义可见，倒易点阵的大小单位是晶体点阵长度单位的倒数来规定的。在纸面上作图可根据需要选或作单位线段。

图3.11示意地表示两种晶体点阵中，b垂直于纸面，箭头向下，β值不同的单位矢量a,c和倒易点阵a^*,c^*的情况。在图3.11（a）中，

β=90°,a∧a^*=0°，cos(a∧a^*)=1

这时a^*=1/a,a^*·a=1

在图3.11（b）中，

β=120°,a∧a^*=30°，cos(a∧a^*)=0.866

这时a^*=1/0.866a，a^*·a=a^*acos(a^*∧a)=1

图3.11晶体点阵a,c（上）和倒易点阵a^*,c^*(下)间的关系(a) β=90°；(b) β=120°

由上可见，晶体点阵由晶体的周期性结构直接推引出3个不共面的单位矢量a,b,c规定。该晶体的倒易点阵a^*,b^*,c^*则由下面数学表达式来定义：

若用矢积表达，由于c^*·c=1，由式(3.12)可得：

V是晶胞的体积，所以倒易点阵可定义为：

式(3.16)和式(3.17)是等效的，这两公式均能表达出晶体点阵与其倒易点阵具有相互变换的性质，即倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵。在数学公式上将全部不带*号的字符加上*号，将已带*的全去掉，等式同样成立，例如：

下面以单斜晶系通过原点垂直于b轴的二维平面点阵及其倒易点阵的关系为例说明。图3.12(a),(b),(c)分别表示(100),(001),(101)点阵面与倒易点阵h00,00l,h0h间的关系。由图可见，a^*和c^*分别和(100),(001)面垂直，而大小则分别和1/d₍₁₀₀₎及1/d_（001）成正比。图3.12（d）则是单斜晶系垂直b轴通过原点的二维点阵和倒易点阵关系图。该二维平面点阵用单位矢量a和c表示，a和c的夹角为β。从原点作垂直于（100）面的法线，沿此法线距原点为1/d₍₁₀₀₎处画一点，即为倒易点阵点100,由原点到100点的矢量为a^*,a^*的长度为：

图3.12单斜晶系垂直b轴通过原点的二维点阵和倒易点阵关系图［图中（a）,(b),(c)分别表示（100），（001），（101）点阵面与倒易点阵点h00,00l,h0h间的关系］

同理，从原点作垂直于（001）面的法线，并以1/d₍₀₀₁₎距离画出001点，得矢量c^*,c^*的长度为：

a^*和c^*的夹角为β^*。对单斜晶系，β^*=180°-β。和晶体点阵一样，倒易点阵点h0l的位置可由ha^*+lc^*求得，也可通过原点作垂直于晶体的衍射面h0l，并在距原点1/d_h0l处求得。

根据上述定义和矢量运算关系式，可以推引出三斜晶系的晶体点阵与倒易点阵的简单晶胞相互换算关系式，列于表3.2中，其他晶系可按此简化即得。例如，正交晶系α＝β=γ=90°,V=abc,由此即得：

表3.2三斜晶系的晶体点阵和倒易点阵的晶胞参数的关系

3.4.2 倒易点阵的性质

由晶体点阵L推引得到相应的倒易点阵L^*，它是符合点阵定义具有点阵性质的一种点阵。在其中每一倒易点阵点hkl和晶体点阵中的一组衍射面相应。倒易点阵和晶体点阵有着相同的对称性，适合于用它解释晶体的衍射现象和规律。下面列出它的基本性质和使用时的注意事项：

(1) 在倒易点阵中，由原点指向倒易点阵点hkl的矢量H_hkl为：

H_hkl必和晶体点阵中的平面点阵(hkl)垂直。

(2) H_hkl矢量的长度

它和晶体点阵中的衍射面间距d_hkl成反比，若将比例因子选为1，则得：

有时也将比例因子选为波长λ。

(3) 倒易点阵的单位。由倒易点阵的基本性质可得：

在晶体点阵中d_hkl用pm(或)为单位，因此a^*，b^*，c^*的单位为pm^-1(或^-1)。式(3.23)若改为：

这时a^*,b^*,c^*是没有因次的单位。

(4) 倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵，即晶体点阵和倒易点阵互为倒易关系，这在式（3.17）和式（3.18）关于倒易点阵的定义表达式中，就已明确地显示出来。表3.2的公式也可以通过换算进行验证。但是注意，引进倒易点阵是为了解决晶体的衍射方向的规律。这时讨论倒易点阵的倒易点阵就没有意义了。

3.4.3 关于复晶胞的变换

晶体点阵按复晶胞划分，相应的倒易点阵也为复晶胞，但倒易点阵的复晶胞的带心形式不一定和晶体点阵的带心形式相同。表3.3列出带心复晶胞和相应的倒易复晶胞换算表，表中倒易晶胞矢量是按式(3.16)或式(3.17)从a，b，c计算得到a^*，b^*，c^*，再乘以一定的倍数，如表3.3所列。举一例，某面心立方晶胞边长a=10，其倒易点阵的体心立方晶胞的边长为。

表3.3晶体点阵和倒易点阵晶胞矢量关系

① 矢量a^*,b^*,c^*按式（3.17）从a,b,c计算得到;

② 这里的hkl指标是按a^*,b^*,c^*的晶胞矢量进行指标化。图3.13示出晶体点阵晶胞与相应的倒易点阵的晶胞的关系。

为什么晶体点阵的体心晶胞所对应的倒易点阵为面心晶胞呢?为什么倒易晶胞参数为2a^*,2b^*，2c^*呢?下面以图3.14所示的体心立方晶胞和面心立方晶胞关系为例予以说明。

图3.13晶体点阵晶胞（点阵点用●表示）和相应的倒易点阵晶胞（倒易点阵点用○表示）

设体心立方晶胞边长为a，这个复晶胞可划分出菱面体素晶胞，它的晶胞参数用a_R,α_R表示，晶胞体积用V_R表示，则

该菱面体素晶胞的倒易晶胞也为菱面体素晶胞，它的晶胞参数为：

图3.14(a) 体心立方晶胞及其菱面体素晶胞；(b) 面心立方晶胞及其菱面体素晶胞

这个倒易简单菱面体晶胞,α^*_R=60°,可按图3.14（b）所示的关系画出倒易面心立方晶胞，它的晶胞参数为。所以，晶胞参数为a的体心立方晶胞，其倒易面心立方晶胞参数为。