3.3 Bragg方程

晶体的空间点阵可按不同方向划分为一族族平行而等间距的平面点阵，不同族的点阵面用点阵面指标或晶面指标(hkl)表示。同一晶体不同指标的点阵面在空间的取向不同，晶面间距d_(hkl)也不同。

X射线入射到晶体上，对于一族(hkl)平面中的一个点阵面，若要求面上各点的散射线同相而互相加强，则要求入射角θ和衍射角θ′相等，入射线、衍射线和平面法线三者在同一平面内，才能保证光程一样，如图3.6(a)所示。图中入射线S₀在P，Q，R时波前的周相相同，而散射线S的波前在P′，Q′，R′处仍是同相，这是产生衍射的重要条件。

再考虑平面1，2，…，相邻两个平面的间距为d_(hkl)，射到面1上的X射线和射到面2上的X射线的波程差为MB+BN，而MB=BN，则

图3.6Bragg方程的推引

如图3.6(b)所示。根据衍射条件，当波程差为波长λ的整数倍时，各平面的衍射互相加强，得：

式中，n为1，2，3，…整数，称为衍射级数；θ_n为衍射角。同一族其晶面指标为(hkl)的点阵面，由于它和入射X射线取向不同，波程差不同，可产生衍射指标为hkl，2h2k2l，3h3k3l，…的一级、二级、三级、……衍射。例如，晶面指标为(110)这组点阵面，在不同衍射角θ₁，θ₂，θ₃，…可出现衍射指标为110，220，330，…的衍射。由于sinθ≤1，使得nλ≤2d_(hkl),所以n的数目是有限的，n大者衍射角θ_n也大。

图3.7(a)示出衍射面间距d₁₁₀和d₂₂₀的关系。由图可见，d₁₁₀=d₍₁₁₀₎，d₂₂₀=d₍₁₁₀₎／2。对点阵面间距为d_(hkl)的n级衍射，衍射面间距为：

图3.7(a)衍射面间距d₁₁₀和d₂₂₀的关系；(b)和(c)分别示出衍射110和220的衍射方向

图3.7(b)示出衍射面间距为d₁₁₀，在θ₁位置产生110衍射，相邻衍射面间波程差为1λ;图3.7(c)示出衍射面间距为d₂₂₀，在θ₂位置产生220衍射，相邻衍射面间波程差仍为1λ。所以，可将式(3.6)改成：

这时不加括号的衍射指标hkl这3个数不一定互质［在许多文献中将衍射称为反射(reflection)，衍射指标hkl称为反射指标(reflective index)］。

对于式(3.8)，若不注明衍射面间距d_hkl下标时，只要公式右边不加n，这时d≡d_hkl，即

在利用图3.6推导Bragg方程时，所用的条件是相邻两个点阵面上的点阵点处在同一垂直线位置，计算两个面间的波程差如图3.6（b）或图3.8（a）所示。这时：

图3.8(a)相邻两点阵面的点阵点处在同一垂直线位置，推导Bragg方程；（b）相邻两点阵面的点阵点不处在同一垂直线位置，推导Bragg方程

对于相邻面上不在同一垂直线位置的点B′,这时入射角和衍射角仍为θ,但MB′≠B′N,可按其几何关系证明下式依然成立，即

由图可见：

由于点阵点是从晶体中原子排列的周期结构抽象所得的几何点，而实际上晶面是由原子排列形成，图3.8（b）表示出只要θ角满足衍射条件，晶面上全部原子对衍射的贡献是相同的，它更能反映出实际的情况。

Bragg方程和Laue方程是等效的，可证明如下：设在三维点阵中有任意一直线点阵，周期为a，如图3.9所示。入射X射线S₀和直线点阵交角为₀，衍射线S和直线点阵交角为。根据Laue方程［式(3.1)］可得：

式中，n是整数。按三角函数的和差关系：2sinαsinβ=cos(α-β)-cos(α+β)将式（3.9）展开，得：

图3.9Laue方程和Bragg方程等效性的证明

作AA′和BB′线代表点阵面(hkl)，使这组面和入射线与衍射线的夹角均为θ，这时：

将θ和d代入式(3.10)，即得：

2dsinθ=nλ

此即Bragg方程。